1、2014 年工程硕士（GCT ）数学真题试卷及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 将一张正方形纸片沿对角线折叠，在得到的三角形的三个角各挖去一个圆洞，展开正方形纸片后得到的图形是( )2 甲和乙两人在 300 米的环形跑道上同时同地起跑，如果同向而跑，2 分 30 秒甲追上乙；如果背向而跑，半分钟相遇，则甲的速度是( )米/ 秒。（A）6（B） 55（C） 5（D）453 设 a1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6 是由自然数 1，2，3，4，5，6 组成的没有重复的数字的任意序列，则a 1-a2 +a
2、2-a3+a 3-a4+a 4-a5+a 5-a6+ a 6-a1的最大值是( ) 。（A）20（B） 18（C） 16（D）144 ( )（A）2（B） 1（C） -1（D）-25 两张相同的矩形纸片，每张都画出 7 个大小相同的矩形，放置如右图所示，重叠的顶点记作 A，顶点 C 在另一张纸片的分割线上，若 ，则 AB 的长是( )（A）（B）（C）（D）6 已知数列a n对于任意正整数 p 和 q，都有 ap+aq=ap+q,若 ，则 a2014=( )（A）19（B） 38（C） 53（D）1067 已知 02+2x+cosa=0 的两个实根 x1，x 2 满足 则 =( )（A）（B）
3、（C）（D）8 两个正数 a 与 b 使得 a， b，a+b 成等比数列，则其公比是( )（A）（B）（C）（D）9 点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)是反比例函数 在第一象限图像上的两点，如图所示，已知 则AOB 的面积等于 ( )（A）（B）（C）（D）10 已知函数 f(x)对任意实数 x 均有 f(x)=kf(x+2)，其中常数 k0，且 f(x)在区间(0，2上有表达式 f(x)=x(x，-2) ，则 ( )（A）（B）（C）（D）11 已知 i 为虚数单位，则(i+i 2+i3+i4+i5+i6+i7+i8+i9+i10)2=( )（A）1+i（B） -1+i（C） 2i
4、（D）-2i12 如图所示，两同心圆的半径分别为 6 厘米和 8 厘米，矩形 ABCD 的边 AB、CD分别为两圆的弦，当矩形面积取最大值时，它的周长等于( )厘米（A）386（B） 392（C） 398（D）40413 椭圆 如图所示，以点 B1 为圆心，椭圆的半长轴为半径画圆弧，交A1A2 于点 C1 和 C2，P 为椭圆上的一点。若 APC1C2 的面积为 9，则PC 12 的内切圆的面积为( ) （A）（B） （C）（D）214 一个长方体的对角线长为 厘米，全表面积为 94 平方厘米，如果这个长方体的长、宽、高都是整数，则该长方体的体积是( )立方厘米（A）48（B） 54（C） 6
5、0（D）6415 若函数 f(x)在(-1 ，1) 内有定义，且满足 则有( )（A）f(0)=1（B）（C） f(0)=1（D）16 设正方形 ABCD 的中心为点 O，在以点 A、B、C、D、D 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为( )（A）（B）（C）（D）17 设函数 f(x)=x-2+1，g(x)=kx，若方程 f(x)-g(x)=0 有两个不相等的实根，则k 的取值范围的是( ) （A）（B）（C） (1，2)（D）(2 ，+)18 点(1 ，3) 到曲线 上各点的最短距离等于( )（A）2（B）（C）（D）119 设 ，则( )（A） 不存在（B） 存
6、在，但在 x=1 处 g(x)不连续（C）在 x=1，处 g(x)连续，但不可导（D）在 x=1 处 g(x)导数存在20 定积分 等于( )（A）（B）（C）（D）221 若 则 g(x)的极大值点 x=( )。（A）一 2（B） 1（C）一 1（D）一 222 若 ，则 F(0)=( )（A）一 4（B）一 2（C） 2（D）423 若向量组 1=(1,0,2,a)T， 2=(2,1,a,4)T， 3=(0,a,5,-6)T 线性相关，则其中 a=( )（A）一 3（B）一 1（C） 3（D）524 设 =一 1 是矩阵 的特征值，(一 22b)T 是属于该特征值的特征向量，则其中 a 与
7、 b 分别等于 ( )（A）3 与 2（B） 3 与-2（C） 1 与 2（D）1 与一 225 若 3 阶矩阵 A，B 满足 AB 一 A=B，且 则 B 的第 1 行是( )（A）(1 ，一 1，1)（B） (1，一 1，1)（C） (-1，1，-1)（D）(-1，-1，1)2014 年工程硕士（GCT ）数学真题试卷答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查的就是正方形的对角线的问题，根据题意我们将正方形对折之后就会出现一个三角形，在三个角各挖一个洞，也就可以看出在对角的位
8、置会有一个洞，这样就排除 A、D，而 C 选项中的洞没有在角上而是在对角线上，所以排除 C，所以本题答案为 B.2 【正确答案】 A【试题解析】 根据题意，设甲的速度为 V 甲 ，乙的速度为 V 乙 ，甲乙两人在 300米的环形跑道上同时起跑，2 分 30 秒甲追上乙可以理解为(V 甲 一 V 乙 )150 秒=300米，背向而跑，半分钟相遇，则可以理解为(V 甲 +V 乙 )30秒=300 米，将两式并列，求出 V 甲 =6(米秒)，所以本题答案为 A.3 【正确答案】 B【试题解析】 由题目中给出的式子a 1 一 a2+a 2 一 a3+ a 3 一 a4+a 4 一a5+ a5a 6+
9、a 6 一 a1我们可以看出本题实际上就是相邻两数字相减观察本式我们可以采用特值法进行计算，假设 a2 为 6，那么通过a 1 一 a2以及a 6一 a1就可以知道 a6 和 a2 要尽可能的小，所以就可以假设 a2 为 1，a 6 为 2，这样a 1 一 a2以及a 6 一 a1得出的值就会尽可能的大，那么又因为a 2 一a3，确定 a2 为 1 后，a 3 就应该为 5，这样a 2 一 a3的数值就会最大，依次类推，a4 为 3，a 5 为 4，所以本题中 a1,a2,a3,a4,a5,a6 分别为 6，1，5，3，4，2则以 1一 a2+a 2 一 a3+ a 3 一 a4+ a 4 一
10、 a5+a 5 一 a6+a 6 一a1=5+4+2+1+2+4=18，所以本题答案为 B。4 【正确答案】 C【试题解析】 本题首先应当进行因式分解，则所以本题答案为 C.5 【正确答案】 A【试题解析】 本题应采用余弦定理，在ABC 中，假设 AB 为 x，根据图示，AC=AB=x，则 ，根据本题中已经给出的条件，可用余弦定理BC2=AB2+AC2 一 2AB.AC.cosBAC 即 推出6 【正确答案】 D【试题解析】 可以看出本题为一个等差数列，a p+aq=ap+q，可直接令 q=1，则ap+aq=ap+q=ap+a1=ap+1，这样就可以理解为 ap 与 ap+1 是数学中的相邻两
11、项，这两个数相减就正好等于 a1，即 ，则该题目就理解为公差为南的 差数列，据此可以推出7 【正确答案】 D【试题解析】 本题可以根据韦达定理推出 因为 08 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查的是等比数列，因为 a，b，a+b 成等比数列所以b2=a(a+b)=a2+ab，本题中求公比即求 ，利用 b2=a2+ab 化简，最后求出公比为9 【正确答案】 B【试题解析】 由 A 点向 x 轴做垂线与 x 轴相交处记为 C 点，B 点向 x 轴做垂线与x 轴相交处记为 D 点，则 根据图示 AOB 的面积可认为是四边形AODB 的面积减去OBD 的面积，又因为 SOAC=SOBD，所以可以认
12、为 AOB 的面积实际上就是四边形 ABDC 的面积，四边形 ABDC 恰巧为梯形，梯形的面积为10 【正确答案】 A【试题解析】 令 x=一 1，代入 f(x)=kf(x+2)中，则 f(一 1)=kf(1)，令 代入f(x)=kf(x+2)则 则 所以，将 f(1)和 分别代入指定函数 f(x)=x(x 一 2)中，得11 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查的是复数计算，我们知道相邻四个 i 的连续次幂相加结果肯定等于零，也就是说 i 的连续次幂相加之和的周期 T=4，本题中一共有 10 个数相加，从后往前，i 7、i 8、i 9、i 10 四个数相加等于零，i 6、i 5、i 4、i
13、 3 四个数相加等于零，这样(i+i 2+i3+i4+i5+i6+i7+i8+i9+i10)2 就可以化简为(i+i 2)2=(i 一 1)2=(1 一 i)2=一2i。12 【正确答案】 B【试题解析】 如图所示：连接 OA，OD，作 OPAB 于 P，OM 上 AD 于 M，ON上 CD 于 N。根据矩形的面积以及三角形的面积公式发现，矩形的面积是三角形AOD 面积的 4 倍，因为 OA，OD 的长是定值，则 AOD 的正弦值最大时，三角形面积最大，即AOD=90，则 AD=10，根据三角形的面积公式求得OM=6810=4 8，又因为 AB=20M=96，则矩形 ABCD 的周长是(10+
14、96)2=39 2。13 【正确答案】 B【试题解析】 根据题意可得 C1，C 2 是椭圆的焦点，且 a=5，b=3，c=4，内切圆半径 面积=14 【正确答案】 C【试题解析】 设长方体的棱长为 a，b，c，则 a2+b2+c2=502(ab+ac+bc)=94a， b，cZ 综上三式可推出 a=3，b=4 ，c=5 最后得出 abc=6015 【正确答案】 D【试题解析】 根据极限存在定理，当 x0 时，分母为 0，则要求分子也必须为0，否则极限不存在，所以 故本题答案为 D.16 【正确答案】 C【试题解析】 共有 8 个三角形，其中四个小三角形(以正方形的两个顶点和中心为顶点构成)全等，四个大三角形(以正方形的三个顶点为顶点构成)全等，p=17 【正确答案】 B【试题解析】 当 x2，当 x联立解得18 【正确答案】 A【试题解析】 圆心(1，0)，半径为 1，点(1，3)到圆上点的最短距离为 3 一 1=219 【正确答案】 C【试题解析】 故连续，因此不可导。20 【正确答案】 C【试题解析】 设 ，则21 【正确答案】 C【试题解析】 故极大值点为一 122 【正确答案】 A【试题解析】 23 【正确答案】 B【试题解析】 24 【正确答案】 A【试题解析】 25 【正确答案】 A【试题解析】
