1、GCT 工程硕士（一元函数微积分）数学历年真题试卷汇编 2 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （2008 年真题）设 f(x)= 则有 。（A）f(f(x)=(f(x)。（B） f(f(x)=f(x)（C） f(f(x)f(x)（D）f(f(x) f(x)2 （2005 年真题）函数 f(x)= 在(-， +)上有 。（A）1 条垂直渐近线，1 条水平渐近线（B） 1 条垂直渐近线，2 条水平渐近线（C） 2 条垂直渐近线，1 条水平渐近线（D）2 条垂直渐近线，2 条水平渐近线3 （2009 年真题）设函
2、数 g(x)在 x=0 点的某邻域内有定义，若 =1 成立，则 。（A）g(x)在 x=0 点连续（B） g(x)在 x=0 点可导（C） 存在，但 g(x)在 x=0 点不连续（D）x0 时，g(x) 是 x 的高阶无穷小量4 （2011 年真题）当 x3 -时，下述选项中为无穷小量的是 。5 （2003 年真题）如果函数 f(x)在 x0 处可导， f(x0)=f(x0+x)-f(x0)，则极限 。（A）等于 f(x0)（B）等于 1（C）等于 0（D）不存在6 （2006 年真题）设 f(x)0，且导数存在，则 = 。（A）0（B） （C） lnf(a)（D）7 （2010 年真题）设函
3、数 g(x)导数连续，其图象在原点与曲线 y=ln(1+2x)相切，若函数 在原点可导，则 a= 。（A）-2（B） 0（C） 1（D）28 （2004 年真题） 如图 42 所示，f(x)，g(x)是两个逐段线性的连续函数。设 u(x)=fg(x)，则 u(1)的值为 。9 （2009 年真题）若可导函数 f(x)满足 f(x)=f2(x)，且 f(0)=-1，则在 x=0 的三阶导数 f“(0)= 。（A）-6（B） -4（C） 4（D）610 （2005 年真题）若 f(x)的二阶导数连续，且 =1，则对任意常数 a 必有 = 。（A）a（B） 1（C） 0（D）af“(a)11 （20
4、09 年真题） = 。（A）-（B） -1（C） 0（D）112 （2006 年真题）曲线 在(0，2)区间内有 。（A）2 个极值点，3 个拐点（B） 2 个极值点，2 个拐点（C） 2 个极值点，1 个拐点（D）3 个极值点，3 个拐点13 （2007 年真题）如图 45 所示，曲线 的点与单位圆 x2+y2=1 上的点之间的最短距离为 d，则 。（A）d=1（B） d(0， 1)（C）（D）14 （2003 年真题）方程 x2=xsinx+cosx 的实数根的个数是 。（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个15 （2003 年真题）设 f(x)=0xt2(t-1)dt，则
5、f(x)的极值点的个数是 。（A）0（B） 1（C） 2（D）316 （2011 年真题）若方程 x-elnx-k=0 在(0，1上有解，则 k 的最小值为 。（A）-1（B）（C） 1（D）e17 （2007 年真题）设函数 f(x)可导，且 f(0)=1，f(-lnx)=x，则 f(1)= 。（A）2-e -1（B） 1-e-1（C） 1+e-1（D）e -118 （2005 年真题）设连续函数 y=f(x)在0，a内严格单调递增，且 f(0)=0，f(a)=a，若 g(x)是 f(x)的反函数，则 0af(x)+g(x)dx= 。（A）f 2(a)+g2(a)（B） f2(a)（C） 2
6、0af(x)dx（D）2 0ag(x)dx19 （2009 年真题）设函数 g(x)在 上连续，若在 内 g(x)0，则对任意的 x 有 。（A）（B） x1g(t)dtx1g(sint)dt（C） x1g(t)dtx1g(sint)dt（D）20 （2011 年真题）设 f(x)在0 ，2上单调连续，f(0)=1，f(2)=2，且对任意x1，x 20，2总有 ，g(x)是 f(x)的反函数，P= 12g(x)dx，则 。（A）3P4（B） 2P3（C） 1P2（D）0P121 （2004 年真题）f(x)为连续函数，且 0f(xsinx)sinxdx=1，则 0f(xsinx)xcosxdx
7、= 。（A）0（B） 1（C） -1（D）22 （2006 年真题）如图 411 所示，函数 f(x)是以 2 为周期的连续周期函数，它在0， 2上的图形为分段直线，g(x) 是线性函数，则 0f(g(x)dx= 。（A）（B） 1（C）（D）23 （2008 年真题）若 e-x 是 f(x)的一个原函数，则 = 。（A）（B） -1（C）（D）124 （2010 年真题）若连续周期函数 y=f(x)(不恒为常数) ，对任何 x 恒有 -1x+0f(t)dt+x-3xf(t)dt=14 成立，则 f(x)的周期是 。（A）7（B） 8（C） 9（D）1025 （2004 年真题）过点(p，si
8、np)作曲线 y=sinx 的切线，设该曲线与切线及 y，轴所围成的面积为 S1，曲线与直线 x=p 及 x 轴所围成的面积为 S2，则 。26 （2010 年真题）设曲线 L：y=x(1-x)，该曲线在点 O(0，0)和 A(1，0)的切线相交于 B 点，若该两切线与 L 所围区域的面积为 S1，L 和 x 轴所围区域的面积为S2，则 。（A）S 1=S2（B） S1=2S2（C） S1=（D）S 1=GCT 工程硕士（一元函数微积分）数学历年真题试卷汇编 2 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】
9、 B【试题解析】 本题主要考查函数的概念与函数求值的运算。解法 1 由易知，当 x0 时，f(x)0。又所以 f(f(x)=f(x)。故正确选项为 B。解法 2 特殊值代入法。取 x=2，则 f(2)=2，f(f(2)=f(2)=2，这时选项 A，C ，D 都不成立。故正确选项为 B。【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查求函数的极限和求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。所以 y=1 是曲线 y=f(x)的一条水平渐近线。所以 y=-1 是曲线 y=f(x)的一条水平渐近线，因此，曲线 y=f(x)有 2 条水平渐近线。 所以x=1 是曲线 y=f(x)的一条垂直
10、渐近线。 所以x=2 是曲线 y=f(x)的一条垂直渐近线，因此，曲线 y=f(x)有 2 条垂直渐近线。故正确选项为 D。【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查了重要极限 =1，极限运算法则及无穷小量阶的比较。解法 1 故正确选项为 D。解法 2 利用排除法。的存在与 g(x)在 x=0 点是否有定义无关，因此，无法考查 g(x)在 x=0 点的连续性和可导性，由此排除了 A，B，C，从而选 D。解法 3 特殊函数代入法，取 g(x)=x2，它满足题设条件，显然，它在 x=0 点可导，排除 C。又取 g(x)=x2sin 它在 x=0 点没有定义，因此它不连
11、续，而且还不可导，排除 A，B，从而选D。【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查无穷小量的概念和计算函数的极限。解法 1 因为所以 为无穷小量。故正确选项为 A。解法 2 用排除法。不存在。故正确选项为 A。注：【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查导数的定义和微分运算。解法 1故正确选项为C。解法 2 特殊值代入法。取 f(x)=x，则满足题设条件且f(x 0)=x，这时 f(x)=1，故 df(x0)=x，所以f(x 0)-df(x0)=0。【知识模块】 导数与微分的概念与运算6 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查导数
12、定义及复合函数求导法则。解法 1故正确选项为 D。解法2 特殊值代入法。取 f(x)=ex，则 f(x)满足题设条件且 lnf(x)=x，因此所以，不选 A、B 。又 lnf(a)=a，也不选C，由排除法得正确选项为 D。【知识模块】 导数与微分的概念与运算7 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查：(1)连续的定义；(2) 可导与连续的关系；(3)导数几何意义；(4)洛必达法则；(5) 复合函数导数。解法 1解法 2 特殊函数代入法。取 g(x)=ln(1+2x)，则 故正确选项为 D。【知识模块】 导数与微分的概念与运算8 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查导数的几何意义和复合函数的求
13、导法则。从图 43 可以看出 g(1)=3，(3，f(3)在直线 AB上，(1 ，g(1)在直线 CD 上，由导数的几何意义， f(3)是直线 AB 的斜率kAB，g(1)是直线 CD 的斜率 kAD。直线 AB 过点(2，4)和(6，3)，因此直线 CD 过(0，6)和(2，0)，因此 =-3，从而 g(1)=-3。由复合函数的求导法则，得故正确选项为 A。【知识模块】 导数与微分的概念与运算9 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查了高阶导数、导数的四则运算(本题考查的是乘法法则)以及抽象复合函数的求导法则。对方程 f(x)=f2(x)两边关于 x 求导，得 f“(x)=2f(x)f(x)
14、，对上式再关于 x 求导，得 f“(x)=2f(x)2+2f(x)f“(x)。而 f(0)=f2(0)=1，f“(0)=2f(0)f(0)=-2，故 f“(0)=2f(0)2+2f(0)f“(0)=2+4=6。故正确选项为 D。【知识模块】 导数与微分的概念与运算10 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查拉格朗日中值定理。解法 1f(x)在 x，x+a 之间利用拉格朗日中值定理，得故正确选项为A。解法 2 特殊值代入法,设 f(x)= ，则 f(x)=x，f“(x)=1，即 f(x)满足题设条件，这时，f(x+a)-f(x)=a，所以有 f(x+a)-f(x)=a。【知识模块】 导数的应用1
15、1 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查如何求函数的极限。解法 1 利用洛必达法则。故正确选项为 B。解法 2 利用重要极限 =1 以及无穷小量的等价代换定理。故正确选项为 B。【知识模块】 导数的应用12 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查利用一阶导数，二阶导数判断函数的极值点和拐点。导数 y在点 两侧改变了符号，因此 是极值点；二阶导数 y“在点两侧改变了符号，因此 是拐点的横坐标。故正确选项为 A。注：不必求分段点 x=1 处的 y和 y“，只需判断 y和 y“在 x=1 两侧是否变号。【知识模块】 导数的应用13 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查函数最值的求法。由图形的对称
16、性，只须考虑 x0，y0的情形(如图 45 所示) 。因为单位圆 x2+y2=1 上各点到原点的距离都为 1，所以只需考查曲线 y=x+ 上点 B(x，y)到原点 O 的距离的平方 L=x2+y2=x2+2 的最小值即可，令 =0，得 2x4=1，故 从而故正确选项为 D。【知识模块】 导数的应用14 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要考查零点存在定理和利用导数的符号判断函数的单调性。解法 1 设 f(x)=x2-(xsinx+cosx)，f(x) 是偶函数，只需考虑0，+)的情形，0，由零点存在定理，f(x)在 内至少存在一个零点。f(x)=x(2-cosx)0，x (0，+) ，由此
17、f(x)在0，+)内仅有 1 个零点，所以 f(x)在(-，+)内仅有 2 个零点。故正确选项为 B。解法 2 就本题而言，由 f(0)=-1，f(+)=+及 f(x)=x(2-cosx)0，x(0，+)，立即可得出正确选项为 B。【知识模块】 导数的应用15 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查了变上限积分的导数及函数取得极值的必要条件和充分条件。令 f(x)=x0(x-1)=0，得 x=0，x=1，在 x=0 两侧 f(x)不变号，所以 x=0 不是极值点；在 x=1 两侧 f(x)变号，所以 x=1 是极值点。故正确选项为 B。注在 x=1 两侧附近，f(x)的符号由负变正，从而可判断
18、 x=1 是极小值点。【知识模块】 导数的应用16 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查极限的保号性，利用函数单调性及连续函数的零点存在问题讨论一般方程根的存在性。记 f(x)=x-elnx-是，则 f(x)=1- 0，x(0，1，这表明 f(x)在(0，1内单调递减，因而它在 (0，1内最多只有一个零点。又=+，由极限的保号性，存在 r，0r1 ，使得 f(r)0，f(x) 在r ，1上连续，f(r)0， f(1)=1-k。当 f(1)=1-k=0，即 k=1 时，x=1 是 f(x)的一个零点，即 x=1是方程 x-elnx-k=0 的一个解。当 f(1)=1-k0，即 k1 时，由在闭
19、区间上连续函数的零点存在定理，函数 f(x)在(r ，1) (0，1)内有一个零点，即方程 x-elnx-k=0 在(0，1)内有一个解。当 f(1)=1-k0 时，在(0 ，1上 f(x)0，这时方程 x-elnx-k=0在(0， 1内没有解，因此，如果方程 x-elnx-k=0 在 (0，1上有解，则 k 的最小值为1。故正确选项为 C。【知识模块】 导数的应用17 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查变量替换及求原函数。 解法 1 令-lnx=t，则 x=e-1，从而f(t)=et，求积分得 f(t)=-e-t+C，将 f(0)=1 代入其中，得 C=2，因此 f(1)=2-e-1 故
20、正确选项为 A。 解法 2 也可用定积分计算本题，f(1)-f(0)= 01f(t)dt=01e-tdt=-e-t|01=1-e-1，f(1) -1=1-e-1+f(0)=2-e-1。【知识模块】 不定积分18 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查函数与其反函数的关系及定积分的几何意义。解法 1 若g(x)是 f(x)的反函数，则曲线 g(x)与 f(x)关于 y=x 对称，如图 47(a)与(b)所示。由 y=f(x)在0，a内严格单调递增，且 f(0)=0 可得在 0，a内 f(x)0 与 g(x)10。由定积分的几何意义， 0af(x)dx 等于图 47(a)所示阴影部分曲边三角形的面
21、积， 0af(x)dx 等于图 47(b)所示阴影部分曲边三角形的面积。又图 47(a)中曲边形 OCO 的面积等于图 47(b)中曲边形OCO 的面积，从而 0af(x)+g(x)dx 等于图 47(b)直角三角形 OaC(或图 47(a)直角三角形 OaC)面积 2 倍，即 0af(x)+g(x)dx=2 f(a)=af(a)=f2(a)。故正确选项为 B。解法 2 特殊值代入法。设 ，则 f(x)满足题设条件，其反函数为，因此=a2=f2(a)。【知识模块】 定积分19 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查了函数单调性的判断及定积分的性质。因在 内 g(x)0，所以 g(x)在 内单调
22、增加，又 t 时有 tsint，因而，当 t 时，g(t)g(sint)，从而 成立。故正确选项为 A。注：当 0x1时，有 x1g(t)dtx1g(sint)dt 成立；当 1x 时，有 x1g(t)dtx1g(sint)dt 成立。【知识模块】 定积分20 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查曲线凹、凸的定义，函数与反函数关系及定积分的几何意义。根据题设条件：对任意 x1，x 20，2 总有 ，可知曲线 f(x)在0，2上是凸的，因 f(x)在0，2上单调连续和 f(0)=1，f(2)=2，所以 f(x)在0，2上单调递增，进而 f(x)0，x0，2，又 g(x)是 f(x)的反函数，因
23、此，g(1)=0， g(2)=2，g(x)在0 ，2上是凹的，且 g(x)0， x1，2。 如图 410 所示，曲线 CD 是 f(x)的图形，曲线 AC 是 g(x)的图形由定积分的几何意义，P= 12g(x)dx 表示图 410 中曲边三角形 ABC 的面积，显然 P=12g(x)dx0，而且 P=12g(x)dx 小于直边三角形 ABC 的面积，即 P=12g(x)dx 12=1。因此有 0P= 12g(x)dx1。故正确选项为 D。注特殊值代入法。取 f(x)= +1，则 g(x)=2(x-1)2，所以 0P= 12g(x)dx=122(x-1)2dx=【知识模块】 定积分21 【正确
24、答案】 C【试题解析】 本题考查牛顿-莱布尼茨公式及微分法则。解法 1 设 f(x)的一个原函数是 F(x)，则 0f(xsinx)d(xsinx)F(xsinx)|0=0，0= 0f(xsinx)d(xsinx)=0f(xsinx)sinxdx+xcosxdx=0f(zsinx)sinxdx+0f(xsinx)xcosxdx=1+0f(xsinx)xcosxdx，所以0f(xsinx)xcosxdx=-1。故正确选项为 C。解法 2 特殊值代入法。注意到 0sinxdx=-cos|0=2，取 f(xsinx)= ，则 0f(xsinx)sinxdx=1。这时故正确选项为 C。【知识模块】 定
25、积分22 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查定积分的几何意义，定积分换元法及周期函数的定积分性质。先求 g(x)的表达式，由图形可知，线性函数 g(x)的斜率为 =3，因此g(x)=3x+1，g(x)=3。在 02(g(x)dx 中令 g(x)=0，则当 t=0 时 t=1；t=2 时 t=7，且g(x)dx=dt,于是 02f(g(x)dx= 17f(t)dt。由于函数 f(x)是以 2 为周期的连续函数，所以它在每一个周期上的积分相等，因此 01f(t)dt=302f(t)dt。根据定积分的几何意义，02f(t)dt= 21=1。从而 02f(g(x)dx= 17f(t)dt= 302
26、(t)dt=1。故正确选项为 B。【知识模块】 定积分23 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查原函数概念和牛顿-莱布尼茨公式。由于 f(x)=(e-x)=-e-x，所以 f(1nx)=-e-lnx= ，从而 故正确选项为 A。【知识模块】 定积分24 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查周期函数的定义以及变限函数的导数。由 -1x+6f(t)dt+x-34=14求导，得 f(x+6)-f(x-3)=0， f(x+6)=f(x-3)，令 x-3=t，则 x=t+3，代入 f(x+6)=f(x-3)中得 f(t+9)=f(t)，所以，f(x)以 9 为周期。故正确选项为 C。【知识模块】 定
27、积分25 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查利用导数求切线方程、利用定积分计算图形面积及利用洛必达法则计算极限，如图 412 所示， 过点(p，sinp)的切线方程为 y=(x-p)cosp+sinp 令 x=0，得 y=-pcosp+sinp因为 S2=0psinzdx-1-cosp，而S1+S2 是一个直边梯形的面积，其值为故正确选项为D。【知识模块】 定积分26 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查求曲线的切线方程以及利用定积分计算平面图形面积。y=1-2x，y| x=0=1，y| x=1=-1，因此，曲线 L 过点(0，0)的切线方程为 y=x，曲线 L 过点(1， 0)的切线为 y=-(x-1)，由此可知曲线 L 过点(0，0)和点(1，0)的切线与 x 轴所围的OAB 为等腰三角形，如图 414 所示， 其高，其面积 曲线 y=x(1-x)与 x 轴所围面积 故正确选项为 C。【知识模块】 定积分
