1、GCT 工程硕士（几何与三角）数学历年真题试卷汇编 2 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （2004 年真题）如图 33 所示， 长方形ABCD 由 4 个等腰直角三角形和一个正方形 EFGH 构成，若长方形 ABCD 的面积为 S，则正方形 EFGH 的面积为 。2 （2006 年真题）如图 35 所示， 小半圆的直径 EF 落在大半圆的直径 MN 上，大半圆的弦 AB 与 MN 平行且与小半圆相切，弦 AB=10cm，则图中阴影部分的面积为 cm 2。（A）10（B） 125（C） 20（D）253 （
2、2008 年真题）如图 39 所示，MN 是圆 O 的一条直径，ABCD 是一个正方形，BC 在 MN 上，A，D 在圆 O 上，如果正方形的面积等于 8，则圆 O 的面积等于 。（A）6（B） 8（C） 10（D）124 （2009 年真题）在边长为 10 的正方形 ABCD 中， 若按图 313 所示嵌入 6 个边长一样的小正方形，使得 P，Q ，M，N 四个顶点落在大正方形的边上，则这 6 个小正方形的面积之和是 。5 （2004 年真题）在圆心为 O，半径为 15 的圆内有一点 P，若 OP=12，则在过 P点的弦中，长度为整数的有 。（A）25 条（B） 24 条（C） 13 条（D
3、）12 条6 （2005 年真题）在ABC 中，AB=10，AC=8 ，BC=6，过 C 点以 C 到 AB 的距离为直径作一网，该圆与 AB 有公共点，且交 AC 于 M，交 BC 于 N，则 MN 等于 。7 （2004 年真题）如图 324 所示， 直角ABC中 C 为直角，点 E 和 D， F 分别在直角边 AC 和斜边 AB 上，且AF=FE=ED=DC=CB，则A= 。8 （2007 年真题）ABC 中，A： B：C=3： 2：7，如果从 AB 上的一点 D 作射线 l，交 AC 或 BC 边于点 E，使 ADE=60，且 l 分ABC 所成的两部分图形的面积相等，那么 。（A）l
4、 过 C 点(即 E 点与 C 重合)（B） l 不过 C 点而与 AC 相交（C） l 不过 C 点而与 BC 相交（D）l 不存在9 （2003 年真题）已知两平行平面 ， 之间的距离为 d(d0)，l 是平面 内的一条直线，则在平面 内与直线 l 平行且距离为 2d 的直线有 。（A）0 条（B） 1 条（C） 2 条（D）4 条10 （2005 年真题）一个圆锥形容器(甲)与一个半球形容器(乙)，它们的开口圆的直径与高的尺寸如图 332 所示(单位：dm)，若用甲容器取水注满乙容器，则至少要注水 次。（A）6（B） 8（C） 12（D）1611 （2007 年真题）一个直圆柱形状的量杯
5、和一根长为 12cm 的搅棒(搅棒直径不计)，当搅棒的一端接触量杯下底面时，另一端最少可露出杯口边缘 2cm，最多能露出4cm，则这个量杯的容积为 cm 3。（A）72（B） 96（C） 288（D）38412 （2009 年真题）一个四面体木块的体积是 64cm3，若过聚在每个顶点的三条棱的中点作截面，沿所作的四个截面切下该四面体的 4 个“角”( 小四面体)，则剩余部分的体积是 cm 3。（A）44（B） 40（C） 36（D）3213 （2011 年真题）一个盛满水的圆柱形容器，其底面半径为 1，母线长为 3，将该容器在水平的桌面上平稳地倾斜使水缓慢流出，当容器中剩下的水为原来的 时，圆
6、柱的母线与水平面所成的角等于 。（A）75（B） 60（C） 45（D）3014 （2007 年真题） 如图 337 所示，BAF=FEB=EBC=ECD=90，ABF=30，BFE=45，BCE=60，且AB=2CD，则 tanCDE= 。15 （2009 年真题）等腰ABC 中，AB=AC= ，底边 BC3，则顶角A 的取值范围是 。16 （2003 年真题）过点 P(0，2)作圆 x2+y2=1 的切线 PA 和 PB，A，B 是两个切点，则 AB 所在直线的方程为 。17 （2004 年真题）直线 l 与直线 2x-y=1 关于直线 x+y=0 对称，则直线 l 的方程为 。（A）x-
7、2y=1（B） x+2y=1（C） 2x+y=1（D）2x-y=118 （2009 年真题）在直角坐标系中，若直线 y=kx 与函数的图象恰有 3 个不同的交点，则 k 的取值范围是 。（A）(-，0（B）（C）（D）2 ，+)19 （2005 年真题）设一个圆的圆心为 P(6，m)，该圆与坐标轴交于 A(0，-4)，B(0，-12)两点，则 P 到坐标原点的距离是 。（A）（B） 8（C） 10（D）20 （2007 年真题）在圆 x2+y2-6x-8y+21=0 所围区域 (含边界)中，P(x,y)，Q(x,y)是使得 分别取得最大值和最小值的点，线段 PQ 的长是 。21 （2010 年
8、真题）如果图 351 中四边形 ABCD 顶点的坐标依次为 A(-2，2)，B(-1， 5)，C(4 ，3)，D(2，1)，那么四边形 ABCD 的面积等于 。（A）165（B） 15（C） 135（D）1222 （2005 年真题）已知|tan|1，若圆(x+cos) 2+(y+sin)2=1 的圆心在第四象限，则方程 x2cos-y2sin+2=0 的图形是 。（A）双曲线（B）椭圆（C）抛物线（D）直线23 （2008 年真题）AB 是抛物线 y2=4x 过焦点 F 的一条弦，若 AB 的中点 M 到准线的距离等于 3，则弦 AB 的长等于 。（A）5（B） 6（C） 7（D）824 （
9、2010 年真题）若由双曲线 =1 的右焦点 F2(c，0)向曲线 所引切线的方程是 ，则双曲线的离心率 等于 。（A）（B） 1（C）（D）2GCT 工程硕士（几何与三角）数学历年真题试卷汇编 2 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查了等腰直角三角形的边长之间的关系及矩形与正方形的面积公式。设小正方形的边长是 n，则 GC 的长度是 2a，HB 的长度是 3a，从而 BC 的长度是 ，AB 的长度是 ，所以长方形 ABCD 的面积为 S=AB.BC= =12a2，即
10、a2= 故正确选项为C。【知识模块】 平面几何2 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要考查圆的基本性质、勾股定理和平移方法。如图 36 所示，将小半圆的直径沿大半圆的直径平移，在平移过程中，阴影部分的面积始终等于这两个半圆的面积之差，设两圆的圆心重合于O 点，弦 AB 与小圆切于 D 点，记大圆半径为 R，小圆半径为 r，则阴影部分的面积为 故正确选项为 B。【知识模块】 平面几何3 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查了勾股定理、圆的面积公式和圆的弦的性质。如图310 所示， 连 OA，0D，设正方形的边长为 a，则 BO=OC=，且 a2=8，根据勾股定理可知 OD2=DC2+OC
11、2=a2+ =10，所以圆 O的面积等于 OD2=10。故正确选项为 C。【知识模块】 平面几何4 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查了投影的概念及图形对称性、勾股定理和正方形的面积。作如图 314 所示的辅助折线，显然所得的小直角三角形与直角DMN 及BPQ 全等，设小直角三角形的两条直角边的长度分别为 a，b，则 5b=10，5a+26=10，所以 b=2，a= ，从而 a2+b2= ，所求面积之和是 故正确选项为 A。【知识模块】 平面几何5 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要考查了圆的弦的性质及直角三角形的勾股定理。如图 317 所示，过点 P 且与直径垂直的弦的长度是这也是过
12、 P 点的弦中长度最短的，由于直径是过 P 点的弦中最长的一条，且从 18 到 30 共有 13 个整数，根据对称性可知在过 P 点的弦中长度为整数的有 2+211=24 条。故正确选项为 B。【知识模块】 平面几何6 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要考查了圆周角的概念和性质，及直角三角形斜边上的高与三条边的关系。处理本题的关键是能正确地画出定性图。如图 320 所示，根据条件可知ACB 是直角三角形，由于圆周角MCN 是直角，所以 MN 是直径，即 MN=CP，又因为 CP 是直角ABC 斜边上的高，所以 MN=CP= 故正确选项为 B。【知识模块】 平面几何7 【正确答案】 C【试题
13、解析】 本题主要考查了三角形的外角与内角的关系、直角三角形两锐角的和及等腰三角形两底角相等的结论。 如图 325 所示，根据条件可知，三角形AFE， FED，DEC 与DCB 都是等腰三角形，由于三角形的外角等于不相邻的两个内角之和及等腰三角形的底角相等，所以EFD=2A， CED=3A，BDC=4 A，因此在直角 ABC 中， B=4A，所以B+A=5A= 。从而A= 故正确选项为 C。【知识模块】 平面几何8 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要考查了三角形内角和的大小、三角形的面积公式与正弦定理。由于A ： B： C=3：2：7，且 A+B+C=180，所以B=215=30，C=715
14、=105 。如图 328 所示，过点 C 作 CD，使ADC=60，因此BCD=ADC-B=30=B，从而 CD=BD。在ADC 中，由于 ACD=105-30=75，A=45，根据正弦定理可知 ADCD=BD。由于ADC 与 BDC 同高，所以ADC 的面积大于BDC 的面积，因此当射线 l 分ABC 所成两部分的面积相等时，l 不过 C 点而与 AC 相交。故正确选项为 B。【知识模块】 平面几何9 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查了空间想象能力及在平行平面内如何作平行线的问题。如图 331 所示，过直线 l 作平面与平面 ， 相交，则交线平行。当所作平面与平面 ， 垂直时，两平
15、行线间的距离为 d，根据对称性可知，在平面 内与直线 l 平行且距离为 2d 的直线应有 2 条。故正确选项为C。【知识模块】 空间几何图形10 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要考查了圆锥与半球的体积公式。由图 332 可知圆锥形容器(甲)的底面半径为 ，高为 1，所以其容积等于 类似地可以求得乙容器的容积是 ，所以用甲容器取水注满乙容器，至少要注水 8 次。故正确选项为 B。【知识模块】 空间几何图形11 【正确答案】 A【试题解析】 本题主要考查空间想象能力、勾股定理及圆柱体积公式。如图 334 所示，一个长为 12cm 的搅棒放在量杯内，搅棒的另一端最多能露出 4cm，表明直圆柱的
16、高 BC=12-8=4cm；搅棒的另一端最少可露出2cm，表明直圆柱的轴截面矩形的对角线长为 AC=12-2=10cm。由勾股定理可知圆柱底面圆的直径是 =6cm，半径为 3cm，因此，这个玻璃杯的容积为328=72(cm3)。故正确选项为 A。【知识模块】 空间几何图形12 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查了四面体(三棱锥)的体积公式及相似三角形的性质。根据题意，每个角去掉的仍然是四面体，且其每条棱的长是原来四面体对应棱的一半。所以去掉的体积是原来的 倍，从而剩余部分的体积是 64=32。故正确选项为 D。【知识模块】 空间几何图形13 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查了圆柱
17、体的体积及特殊三角形。解法 1如图 336 所示，假想倾斜圆柱形容器使线段 AC 与水平的桌面平行，则显然流出的水为原来容器内水的一半，受此启发，可先找出当圆柱形容器直立放置时，总容积 处所对应的位置，即 EF 直线处 (高为 1 的位置)，则 EF 直线以上部分的容积为总容积的 ，将容器倾斜使线段 AE 与水平的桌面平行，则流出的水为 EF 直线以上部分的容积的一半，即容器中剩下的水为原来的 ，这时由替设知 EF=2，而 AF=2，AEF 为直角三角形，所以EAF=45。故正确选项为 C。解法 2 如图 336 所示，问题可以转化为一个斜截圆柱体的问题，图中的矩形ABCD 是此斜截圆柱体的一
18、个轴截面。由题意，斜截圆柱体的平均高度是 2，其最高的高度是 3，所以其最低高度为 1。由于 AF=EF=2，且 AFEF，所以EAF=45。故正确选项为 C。【知识模块】 空间几何图形14 【正确答案】 A【试题解析】 本题主要考查锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，故正确选项为 A。【知识模块】 三角函数15 【正确答案】 D【试题解析】 本题是平面几何与三角函数的问题，考查了特殊三角形的概念与特殊角的三角函数值。解法 1 在等腰ABC 中，当 AB=AC= ，BC=3 时，见图340，这时 ，从而当 BC3 时， A 的取值范围应是 故正确选项为 D。 解法 2 本题利用排除法最为简
19、单。根据题意易知A 的取值可以接近 ，而选项 A，B ，C 都做不到这一点，故正确选项为 D。【知识模块】 三角函数16 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查了圆的切线概念、垂直于坐标轴的直线方程。解法 1显然，只需求出 A 或 B 点的纵坐标即可，设 A 点的坐标为(x，y)，由于 PA 为圆O 的切线，则 PAAO，故有 =0，即(-x，2-y).(x，y)=0 ，x 2+y2-2y=0，而x2+y2=1，所以得 y= 故正确选项为 D。解法 2 如图 341 所示，根据对称性可知直线 AB 垂直于 y 轴，且其上点的纵坐标大于零，所以在 4 个选项中只有 y= 符合条件。注：本题是
20、典型的数形结合处理方法。【知识模块】 平面解析几何17 【正确答案】 A【试题解析】 本题主要考查了点关于直线的对称点的求法，以及直线方程的概念与求法。解法 1 因为点(x 0，y 0)关于直线 x+y=0 的对称点是(-y 0，-x 0)，所以当点(x0，y 0)在直线 l 上时，点 (-y0，-x 0)在直线 2x-y=1 上，即 2(-y0)-(-x0)=1，所以直线l 的方程是 x-2y=1。故正确选项为 A。解法 2 如图 343 所示，由于直线 2x-y=1 过点 (0，-1)与 ，这两点关于直线 x+y=0 的对称点分别是(1，0)， ，故直线 l 过点(1 ，0)， 。所以直线
21、 l 的方程为 (x-1)，即 x-2y=1。故正确选项为 A。解法 3 设点(a，b)关于直线 x+y=0 的对称点是(x，y)，则 =0，且 =1(与 x+y=0 垂直)，整理得 解得 即(a，b)关于直线 x+y=0 的对称点是(-b，-a)，所以与直线 2x-y=1 关于直线 x+y=0 对称的直线方程为 2(-y)-(-x)=1，即 x-2y=1。解法 4 特殊值代入法。由于点 在直线 2x-y=1 上，所以其关于直线x+y=0 的对称点 应在直线 l 上，即 x=0， y= 满足直线 l 的方程，易知只有选项 A 中的方程 x-2y=1 满足条件。【知识模块】 平面解析几何18 【
22、正确答案】 C【试题解析】 本题考查了平面直线的基本概念及简单的位置关系。解法 1如图 345 所示，过原点及直线 y=2x+4 与 y=-2的交点(-3，-2)的直线 l1 的斜率 k1= ，过原点且与直线 y=2x-8 平行的直线 l2 的斜率 k2=2，当直线 y=kx 介于 l1 与 l2 之间，即 k2 时，直线与所给图象有三个不同交点。故正确选项为 C。解法 2 用排除法，取 k=0， ，2 直接将选项A，B，D 排除。【知识模块】 平面解析几何19 【正确答案】 C【试题解析】 本题是一道平面几何与解析几何的简单综合题，主要考查了圆的弦与直径的关系及两点间的距离公式，本题的关键是
23、求圆心的纵坐标 m。如图 347 所示，根据题意可知线段 AB 是圆的一条弦，所以圆心在线段 AB 的垂直平分线上，从而 m= (-4-12)=-8，P(6 ，m)到坐标原点的距离是 故正确选项为 C。【知识模块】 平面解析几何20 【正确答案】 C【试题解析】 这是几何与代数的综合题，考查斜率概念，圆的弦与切线、直角三角形及特殊四边形的有关性质。圆的标准方程为(x-3) 2+(y-4)2=4，它是圆心为T(3，4) ，半径为 2 的圆，该圆位于第一象限，自坐标原点 O 作圆的切线OP，OQ，从图 349 显见，切点 P，Q 分别是在该圆上的所有点中，使得相应的取得最大值和最小值的点，由于 O
24、T= =5，所以由勾股定理知 OQ=OP= ，由四边形 OQTP 的面积的不同表示方式得OTPQ=20PPT，所以 故正确选项为 C。【知识模块】 平面解析几何21 【正确答案】 C【试题解析】 本题是一道平面几何与平面解析几何的综合题，主要考查了长方形与三角形的面积公式，考查了平面几何中求面积的相加法与相减法。解法 1如图 352 所示，取 A(-2，1)，B(-2，5)，C(4，5)，D(4， 1)，则四边形 ABCD 韵面积等于长方形 ABCD的面积减去四个直角三角形AAD，ACCB， ABB 和 DDC 的面积之和，即故正确选项为C。解法 2 由图 351 可知 A(-2，2)，B(-
25、1，5)，C(4，3)，D(2，1)，所以【知识模块】 平面解析几何22 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要考查了圆的标准方程、点的位置与坐标的关系及判断二次方程表示的图象的问题。解法 1 由于圆(x+cos) 2+(y+sin)2=1 的圆心(-cos0，-sin)在第四象限，所以-cos0，-sin0，即 cos 0，sin 0，又因为|tan|1 ，所以 sin-cos，从而 x2cos-y2sin+2=0，即(=cos)x 2+siny2=2 的图形是一个椭圆。故正确选项为 B。解法 2 特殊值代入法。由于圆(x+cos) 2+(y+sin)2=1 的圆心(-cos， -sin)在
26、第四象限，所以-cos0，-sin0，即 cos0，sin 0取cos= ，则方程 x2cos-y2sin+2=0 变为 x2+y2=4，其图象是椭圆。【知识模块】 平面解析几何23 【正确答案】 B【试题解析】 本题是解析几何与平面几何的简单综合题，考查了梯形的性质与抛物线的定义。 如图 355 所示，设 A，M ，B 在准线上的投影点分别为 A，M，B，则有 AA=AF，MM=3，BB=BF，且 MM 为梯形 BBAA的中线，由于 AB 的中点 M 到准线的距离等于 3，若设 A，B 到准线的距离分别为 d1，d 2，则 d1+d2=23=6，根据抛物线定义可知 A，B 到焦点的距离也分别是 d1，d 2，所以弦 AB 的长 AB=AF+BF=d1+d2=6。故正确选项为 B。【知识模块】 平面解析几何24 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查了双曲线的焦点坐标和离心率计算公式，考查了直线与圆相切的问题。 由图 357 可知，切线的斜率为 k=故 故正确选项为 D。【知识模块】 平面解析几何
