1、GCT 工程硕士（初等代数）数学历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （2003 年真题）已知实数 x 和 y 满足条件(x+y) 99=-1 和(x-y) 100=1，则 x101+y101 的值是 。（A）-1（B） 0（C） 1（D）22 （2011 年真题）设 O 为坐标轴的原点，a，b，c 的大小关系如图 22 所示，则的值是 。（A）0（B）（C）（D）3 （2005 年真题）复数 z=(1-i)2 的模|z|= 。（A）4（B）（C） 2（D）4 （2007 年真题）复数 z
2、=i+i2+i3+i4+i5+i6+i7，则|z+i|= 。（A）2（B）（C）（D）15 （2009 年真题）若复数 z1=1- ，z 2=-2i2+5i3，则|z 1+z2|= 。（A）（B） 4（C） 5（D）6 （2011 年真题）若复数 z1= ，则|z 1-z2|= 。（A）2（B）（C）（D）17 （2005 年真题）设 p 为正数，则 x2+px-99= 。（A）(x-9)(x-11)（B） (x+9)(x-11)（C） (x-9)(x-11)（D）(x+9)(x+11)8 （2007 年真题）对任意两个实数 a，b，定义两种运算：则算式 和算式 分别等于 。（A）7 和 5（
3、B） 5 和 5（C） 7 和 7（D）5 和 79 （2007 年真题）集合0，1，2，3 的子集的个数为 。（A）14（B） 15（C） 16（D）1810 （2009 年真题）函数 y=f(x)是定义在(-，+)上的周期为 3 的周期函数，图25 表示的是该函数在区间-2，1上的图象，则 的值等于 。（A）-2（B） 0（C） 2（D）411 （2010 年真题）如图 26 所示，边长分别为 1 和 2 的两个正方形，放在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设从小正方形开始穿入大正方形到恰好离开大正方形所用的时间为 t0，大正方形内除去小正方形占有部分之后剩下的面积
4、为 S(空白部分)，则表示 S 与时间 t 函数关系的大致图象为 。12 （2004 年真题）已知 ab1，且满足 2a2+2008a+3=0 和 3b2+2008b+2=0，则 。（A）3a-2b=0（B） 2a-3b=0（C） 3a+2b=0（D）2a+36=013 （2007 年真题）两个不等的实数 a 与 b，均满足方程 x2-3x=1。则 的值等于 。（A）-18（B） 18（C） -36（D）3614 （2010 年真题）若图 28 中给出的函数 y=x2+ax+a 的图象与 x 轴相切，则 a= 。（A）0（B） 1（C） 2（D）415 （2003 年真题）函数 y=ax2+b
5、x+c(a0)在0，+)上单调增加的充要条件是 。（A）a0，且 b0（B） a0，且 b0（C） a0，且 b0（D）a0，且 b016 （2008 年真题）抛物线 y=-x2+4x-3 的图象不经过 。（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限17 （2004 年真题）设 a， b，c 均为正数，若 ，则 。（A）cab（B） bca（C） abc（D）cb a18 （2006 年真题）n 为正整数，在 1 与 n+1 之间插入 n 个正数，使这 n+2 个数成等比数列，则所插入的 n 个正数之积等于 。（A）（B） (1+n)n（C） (1+n)2n（D）(1+n) 3n1
6、9 （2010 年真题）在实验室密闭容器中培育某种细菌，如果该细菌每天的密度增长 1 倍，它在 20 天内密度增长到 4 百万株m 3，那么该细菌密度增长到 百万株m 3 时用了 天。（A）2（B） 4（C） 8（D）1620 （2007 年真题）48 支足球队，等分为 8 组进行阶段赛，每组中的各队之间都要比赛一场，小组赛比赛的总场数是 。（A）48（B） 120（C） 240（D）28821 （2009 年真题）图 212 是我国古代的“杨辉三角形” ，按其数字构成规律，图中第 8 行所有中应填数字的和等于 。（A）96（B） 128（C） 256（D）31222 （2005 年真题）任取
7、一个正整数，其平方数的末位数字是 4 的概率等于 。（A）01（B） 02（C） 03（D）0423 （2008 年真题）将 8 名乒乓球选手分为两组，每组 4 人，则甲、乙两位选手不在同一组的概率为 。24 （2010 年真题）若从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 这 10 个数中任意取 3 个不同的数，则它们能构成公比大于 1 的等比数列的概率是 。25 （2003 年真题）一批产品的次品率为 01，每件检测后放回，在连续三件检测中至少有一件是次品的概率为 。（A）0271（B） 0243（C） 01（D）0081GCT 工程硕士（初等代数）数学历年真题试卷汇编 1 答案与解析一
8、、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 本题主要考查了简单的开方、乘方运算和简单二元一次方程组的求解方法。由于(x+y) 89=-1，所以 x+y=-1，而由(x-y) 100=1 可知 x-y=1 或 x-y=-1。解线性方程组 故正确选项为 A。【知识模块】 数与代数式2 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要考查了实数与数轴上的点之间的对应关系及绝对值的概念。由图 22 知，c 0ba，所以故正确选项为B。【知识模块】 数与代数式3 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查了复数模的概念与
9、计算。解法 1 因为|1-i|= ，所以|(1-i)2|=|1-i|2=2。故正确选项为 C。解法 2 因为 z=(1-i)2=1-2i+i2=-2i，所以|z|=|-2i|=2。【知识模块】 数与代数式4 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查了虚数单位 i 的正整数幂的周期性规律和复数模的概念与计算。因为 i1=i，i 2=-1，i 3=-i，i 4=1，所以 z=i+i2+i3+i4+i5+i6+i7=i+(-1)+(-i)+1+i+(-1)+(-i)=-1从而|z+i|=|-1+i|= 故正确选项为 C。【知识模块】 数与代数式5 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查了复数的基本
10、概念(虚数单位、模)与简单运算(加法、除法)，由于 z1=1- =1+i，z 2=-2i2+5i3=2-5i，所以|z 1+z2|=|34i|=5故正确选项为 C。【知识模块】 数与代数式6 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要考查了复数的除法运算与复数模的计算。故正确选项为 B。【知识模块】 数与代数式7 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查了因式乘法运算和选择题的选项验证法。 解法 1 由于(x-9)(x-11)=x2-20x+99，(x+9)(x-11)=x 2-2x-99。(x-9)(x+11)=x 2+2x-99，(x+9)(x+11)-x2+20x+99，所以只有 (x-9
11、)(x+11)=x2+2x-99 符合题意。故正确选项为 C。 解法 2 设 x1，x 2 是方程 x2+px-99=0 的两个根，则 x1+x2=-p0，x 1，x 2=-99。因此 x1 与 x2异号，且负根的绝对值大于正根，故只有选项 C 满足条件。【知识模块】 数与代数式8 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查了对数学概念的理解和应用能力。由题意可知，故正确选项为 D。【知识模块】 数与代数式9 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查了子集的概念与组合数的性质。由 1 个元素构成的子集 C41=4 个，由 2 个元素构成的子集 C42=6 个，由 3 个元素构成的子集 C43
12、=4 个，再加上空集与全集，子集的个数共有 4+6+4+2=16 个。一般地，n 个元素的集合所有子集的个数为 Cn0+Cn1+Cn2+Cnn=2n。故正确选项为 C。【知识模块】 集合与函数10 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查了函数的图形表示法及函数周期性的概念。因 f(x)是周期为3 的周期函数，根据周期函数的概念可知 f(2009)=f(2009-3700)=f(-1)，f(-3)-f(-3+3)=f(0)，f(4)=f(4-3)=f(1)从图上可以看出 f(-1)=-1，f(0)=1，f(1)=2 ，所以故正确选项为 C。【知识模块】 集合与函数11 【正确答案】 A【试题解析
13、】 本题主要考查了函数的概念及函数的图形表示法，考查了平面图形的面积。根据所剩面积变化的对称性，及所剩面积的最小值为 3，利用排除法即知应选 A。故正确的选项为 A。【知识模块】 集合与函数12 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要考查了一元二次方程的求根公式。解法 1 根据求根公式得当时，易知 ab=1，不满足条件。类似可知 也不满足条件，所以 a，b 表达式中根号前的符号一致，从而 2a-3b=0。故正确选项为 B。解法 2 由于2a2+2008a+3=0，3b 2+2008b+2=0，第一个方程乘以 2 减去第二个方程乘以 3，得4a2-9b2+2008(2a-3b)=0，整理得(2a
14、-3b)(2a+3b+2008)=0，所以正确选项只能是 B。解法 3 由于 2a2+2008a+3=0，所以 2008ab=-(2a2+3)b；又由 3b2+2008b+2=0，知2008ab=-(3b2+2)a，所以-(2a 2+3)b=-(3b2+2)a。整理得(ab-1)(2a-3b)=0 因为ab1，所以 2a-3b=0。【知识模块】 代数方程和一元二次函数13 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系韦达定理和简单的代数公式。根据题意，两个不等的实数 a 与 b 分别是二次方程 x2-3x-1=0 的两个实数根，所以 a+b=3，ab=-1，从而 故
15、正确选项为 C。【知识模块】 代数方程和一元二次函数14 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查了方程根的几何意义与一元二次方程根的存在性条件。由于 y=x2+ax+a 的图象与 x 轴相切，所以一元二次方程 x2+ax+a=0 有重根，故=a2-4a=0，由图 28 知 a0，所以 a=4。故正确选项为 D。【知识模块】 代数方程和一元二次函数15 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查了一元二次函数单调性与其图象的开口和对称轴的关系。函数 y=ax2+bx+c(a0)在0，+) 上单调增意味着其图象的开口朝上和对称轴一定在 y 轴的左侧(如图 29 所示)， 所以 a0，且0即 a
16、0，且 b0。故正确选项为 C。【知识模块】 代数方程和一元二次函数16 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要考查了抛物线的开口方向、对称轴方程和顶点坐标。由于抛物线 y=-x2+4x-3 的开口朝下，所以其图象必经过第三象限与第四象限；又因为其对称轴是 x= =2，顶点坐标为(2，1)，所以它也一定经过第一象限，因此该抛物线只可能不经过第二象限(如图 210 所示)。 故正确选项为 B。【知识模块】 代数方程和一元二次函数17 【正确答案】 A【试题解析】 本题主要考查了分数运算与不等式的简单性质。解法 1 因为，所以 又因为 a，b，c 均为正数，所以 ac。同样地，利用 可以得到 ba
17、。综上可知 cab。故正确选项为 A。解法 2 因为 ，且 a，b，c 均为正数，所以 a(a+b)c(b+c) 。整理得(a-c)(a+b+c) 0所以 ac。类似地由 可以得到 ba，故cab。解法 3 特殊值代入与选项验证法。对于选项 A，取 c=1，a=2，b=3，则，其大小关系满足题设条件；对于选项 B，取b=1，c=2，a=3，则 ，其大小关系不满足题设条件；对于选项 C，取 a=1，b=2，c=3，则 ，其大小关系不满足题设条件；对于选项 D，取 c=1，b=2，a=3，则 ，其大小关系不满足题设条件。综上可知正确选项为 A。注：作为四选一的选择题，只要验证了选项 A 正确就可以
18、了，后面的选项没必要验证。【知识模块】 不等式18 【正确答案】 A【试题解析】 本题主要考查了等比数列的概念和通项公式以及乘方运算的性质。解法 1 设此等比数列的公比为 q，根据题意可知 qn+1=n+1,所以 qq2q3qn=q|+2+|n=故正确选项为 A。解法 2 特殊值代入法。 取 n=1，则数列为 1， ，2，插入的数为 ，这时只有选项 A 符合条件。【知识模块】 数列19 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查了等比数列的通项公式及数的简单运算。假设第一天的细菌密度是 a(百万株m 3)，由题意可知第 n 天的细菌密度是 a2n-1(百万株m 3)。由 a220-1=4(百万
19、株m 3)及 a2k-1= (百万株m 3)，得 220-k=16，所以 20-k=4，即k=16。故正确选项为 D。【知识模块】 数列20 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要考查了组合及组合数的概念与分类求和计数原理。48 支足球队等分为 8 组，每组共有 6 队，每组的比赛场数为 C62= =158 组的比赛总场数为 158=120。故正确选项为 B。【知识模块】 排列、组合、二项式定理21 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查了二项式展开系数的性质。解法 1 由图 212 可知，第 8行的数字之和应是(a+b) 7= 的展开系数之和，即 =27=128故正确选项为 B。解法 2 本
20、题也可以根据图 212 的规律，得到第 8 行中的数字是1，7，21，35，35，21，7，1，它们的和是 128。故正确选项为 B。【知识模块】 排列、组合、二项式定理22 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要考查了整数乘法运算的概念与等可能事件概率的计算。因为一个正整数的个位数共有 0，1，2，9 十种可能，且当个位数是 2 或 8 时，其平方数的末位数字才能是 4，所以任取一个正整数，其平方数的末位数字是 4 的概率等于 =02。故正确选项为 B。【知识模块】 古典概率问题23 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查了等可能事件的概率公式与简单的分组问题。解法 18名选手分成两组，
21、每组 4 人，共有 C64 种不同分法；甲、乙两人不在同一组的分法共有 2C63(甲在第一组 C63，乙在第一组 C63)，所以甲、乙两人不在同一组的概率为 故正确选项为 D。解法 28 名选手分成两组，每组 4 人，共有 C84 种不同分法；甲、乙两人在同一组的分法共有 2C62(都在第一组或都在第二组)，所以甲、乙两人不在同一组的概率为【知识模块】 古典概率问题24 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要考查了等可能事件的概率公式及简单组合数的计算，考查了等比数列的概念。从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 中任取 3 个不同数的所有取法共有 C103= =120 种，其中能构成公
22、比大于 1 的等比数列的是1，2，4；1，3，9；2，4，8；4，6，9 共 4 组，所以要求的概率是 故正确选项为 B。【知识模块】 古典概率问题25 【正确答案】 A【试题解析】 本题主要考查了独立事件同时发生的概率公式及对立事件的概率关系。 解法 1 连续三件检测中至少有一件是次品的对立事件是“连续三件检测中都是合格品”，根据题意可知该批产品的合格品率为 09，所以连续三件检测中都是合格品的概率为 09 3=0729，从而连续三件检测中至少有一件是次品的概率为 1-09 3=0271，故正确选项为 A。 解法 2 设事件 A 表示“连续三件检测中只有一件是次品”，事件 B 表示“连续三件检测中只有两件是次品”，事件 C 表示“连续三件检测中三件都是次品”，则事件 A，B，C 两两互斥，又因为 P(A)=C310109 2=0243，P(B)=C 3201 309=0027，P(C)=01 3=0001，所以连续三件检测中至少有一件是次品的概率为 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0 243+0 027+0001=0271。 注：解法 2 主要考查了互斥事件和事件的概率公式及独立重复试验的概率公式。【知识模块】 古典概率问题
