1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 11 及答案与解析单项选择题1 下列式子正确的是( ) 2 3 设 f(x+ f(x)=( )（A）1（B） 12（C） 12（D）14 当 x0 时，e tanxe sinx 与 xa 为同阶无穷小量，则 a=( )（A）1（B） 2（C） 3（D）45 设 f(x)= f(x)存在，则 a=( )（A）4（B） ln4（C） 0（D）ln146 函数 f(x)= 则 x=0 为 f(x)的( )（A）连续点（B）第一类间断点（C）第二类间断点（D）是否为连续点与 a 有关7 设 g(x)= ，则( )（A）x=0 必是 g(x)的第一类
2、间断点（B） x=0 必是 g(x)的第二类间断点（C） x=0 必是 g(x)的连续点（D）g(x)在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关8 已知 f(2)=1，则 =( )（A）1（B） 13（C） 12（D）19 设 f(x)= 则 f(x)在 x=1 处( )（A）左、右导数都存在（B）左导数存在，但右导数不存在（C）左导数不存在，但右导数存在（D）左、右导数都不存在10 设 f(x2)= ，则 f(x)=( )11 设 f(x)的导数在 x=a 处连续，又 =1，则( )（A）x=a 是 f(x)的极小值点（B） x=a、是 f(x)的极大值点（C） (a，f(a)是曲线 y=f
3、(x)的拐点（D）x=a 不是 f(x)的极值点，(a，f(a) 也不是曲线 y=f(x)的拐点12 设 f(x)=|x(3x)|，则( )（A）x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点（B） x=0 不是 f(x)的极值点，但 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（C） x=0 是 f(x)的极值点，且 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，且(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点13 设 y=ln ，则 dy|x=0=( )（A）12dx（B） 12dx（C） 2dx（D）2dx14 设 y=f(x)对任意 x 满足 f(
4、x+1)=2f(x)，且 f(0)=1，f(0)=C ，则 f(1)=( )（A）12C（B） C（C） 2C（D）32C计算题15 16 若当 x0 时， 1 与 sin2x 为等价无穷小，求 a17 18 若当 x0 时，sinx a，(1cosx) 1a 均是比 x 高阶的无穷小量，求 a 的取值范围19 试求函数 f(x)= 的连续区间20 设 c0， f(x)= 在(，+) 内连续，求常数 c 的值21 设 f(x)= ，判定 f(x)的间断点，并判别其类型22 设 y= ，求 y|x=123 设 y= ，求 y24 求曲线 y=lnx 的过原点的切线方程25 26 27 求函数 y
5、=x33zx 25 的极值点与极值28 设方程 x327x+c=0，当 c 为何值时，方程有三个实根29 设某种商品的单价为 p 时，售出的商品数量 Q 可表示成 其中a，b，c 均为正数，且 abc(1)求 p 在什么范围变化时，使相应的销售额增加或减少?(2)要使销售额最大，商品单价 p 应取何值?最大销售额是多少 ?经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 11 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 当 x0 时，x 为无穷小量，sin1x 为有界变量，由于无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量，因此 xsin1x=0 ，可知 A 不正确当 x时，1x0，因此 1
6、xsinx=0 可知 B 不正确由重要极限公式sinxx=1，可知 D 不正确当 x时，1x0，由重要极限公式可得：可知 C 正确，故选 C【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 当 x1 时，分子与分母的极限皆为零，分子中含有根式，故先有理化再求极限 故选 D【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 由于故选 D【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 由题意，知该极限应为不等于零的常数，因此 a1=2，得 a=3故选 C【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 点 x=0 为 f(x)的分段点，在分段点两侧 f(x)表达式不同，应分左极限、
7、右极限来考虑 (1+ax)1x =ea由于= f(x)存在， ea 有=4 ，从而 a=ln4故选 B【知识模块】 微积分6 【正确答案】 D【试题解析】 点 x=0 为 f(x)的分段点，在 x=0 两侧 f(x)的表达式不同应考查 f(x)的左极限与右极限 可知当 a=4 时， f(x)=4，又f(0)=4进而可知，当 a=4 时，x=0 为 f(x)的连续点当 a4 时，x=0 为 f(x)的间断点，且为第一类间断点故选 D【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 所给问题为函数 g(x)在点 x=0 处的连续性及间断点的类型判定问题 又由 g(0)=0，可知：当a1 时，
8、g(x)=g(0)，此时 g(x)在 x=0 处连续；当 a=1 时， g(x)=1，此时 g(x)在 x=0 处间断，x=0 为 g(x)的第一类间断点；当 a1 时， g(x)不存在，此时g(x)在 x=0 处间断，x=0 为 g(x)的第二类间断点综上可知，g(x)在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关故应选 D【知识模块】 微积分8 【正确答案】 A【试题解析】 所给条件为在点 x=2 处导数定义的形式但是，应该明确若 f(2)存在，则 即当自变量的增量趋于零时，函数增量与自变量增量之比的极限注意函数增量的形式：动点处函数值与定点处函数值之差本题中函数增量是函数在两个动点处的差值，
9、不属于导数定义的标准形式，也不属于导数定义的等价形式，因此应考虑将其变形，化为导数定义的等价形式，由于 f(x)在 x=2 处可导， f(2)必定存在，故选 A【知识模块】 微积分9 【正确答案】 B【试题解析】 由于在分段点两侧 f(x)表达式不同，因此利用左导数、右导数进行判定有可知f(x)在 x=1 处左导数存在，右导数不存在，故选 B【知识模块】 微积分10 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(x2) 故选 B【知识模块】 微积分11 【正确答案】 B【试题解析】 由于 =1，其中求极限的函数为分式，分母的极限为零，因此必定有分子的极限为零，即 f(x)=0由题设知 f(x)在点
10、x=a 处连续，因此有 f(a)= f(x)=0即 x=a 为 f(x)的驻点又由极值第二充分条件知 x=a 为 f(x)的极大值点故选 B【知识模块】 微积分12 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(x)=|x(3x)|0，f(0)=0，可知 x=0 为 f(x)的极小值点排除B，D由 可得当 x0 或 x3 时，f(x)=3+2x，f“(x)=2；当 0x3 时，f(x)=32x，f“(x)=2由于在 x=0 两侧f“(x)异号，因此(0，f(0)=(0，0)为曲线 y=f(x)的拐点故选 C【知识模块】 微积分13 【正确答案】 A【试题解析】 因此dy|x=0=y|x=0dx=12
11、dx 故选 A【知识模块】 微积分14 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(x)为抽象函数，只能从题设条件入手，寻求能由 f(1)的定义求解的方法由于 f(0)=1，f(x+1)=2f(x)，令 x=0，可得 f(1)=2=2C故选 C【知识模块】 微积分计算题15 【正确答案】 由于当 x0 时，sinxx，e x1 x，1cosx12x 2，因此【知识模块】 微积分16 【正确答案】 当 x0 时， 1 与 sin2x 为等价无穷小，因此从而可得 a=2【知识模块】 微积分17 【正确答案】 当 x0 时，1x，e 1x 0 ，且1x+，e 1x +，因此所给极限表达式不能直接利用极限
12、的四则运算法则应先变形再求极限【知识模块】 微积分18 【正确答案】 由于当 x0，a0 时，sinx a 不为无穷小量，因此 a0，此时sinxax a，由题设知 sinxa 是比 x 高阶的无穷小量，因此有可知 a1又当 x0 时，1cosx12x 2，由题设知(1 cosx) 1a 是比 x 高阶的无穷小量，因此有可知应有 10，即a2综上，有 1a 2【知识模块】 微积分19 【正确答案】 由初等函数在其定义区间内为连续函数，可知当 x0 时，f(x)=3x+2 为连续函数；当 0x1 时，f(x)=x 2+1 为连续函数；当 x1 时，f(x)=x2为连续函数由于 x=0，x=1 为
13、 f(x)的分段点，且在分段点两侧函数表达式不同，应利用左连续、右连续来判定函数的连续性由于f(x)不存在因此 x=0 为 f(x)的间断点，且为第一类间断点又由于f(x)=2=f(1)，因此 x=1 为 f(x)的连续点综之，f(x)的连续区间为( ，0)(0，+) 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 由题设可知，当|x|c 时，f(x)为初等函数，在其定义区间内必定为连续函数，故只需讨论当|x|=c 时 f(x)的连续性5=5，f( c)=c2+1当 c2+1=5，即 c=2 时，f(x)在点 x=c 处左连续此时， (x2+1)=c2+1=f(c) ，f(x)在 x=c 处右连续因此
14、当c=2 时，f(x)在 x=c 处连续 (x2+1)=c2+1=f(c)，可知 f(x)在点 x=c左连续 f(x)=5，当 f(x)=f(c)，即 c2+1=5 时，亦即 c=2 时，f(x)在点 x=c 处右连续综之，当 c=2 时，f(x)在(，+) 内连续【知识模块】 微积分21 【正确答案】 当 x=1 时， 没有意义当 x=0 时， 没有意义可知点 x=0 与点 x=1 为 f(x)的两个间断点由于可知点 x=0 为 f(x)的第二类间断点由于 因此点 x=1 为f(x)的第一类间断点【知识模块】 微积分22 【正确答案】 y= sin(x 2+3)= cos(x 2+3)(x
15、2+3)=2x cos(x 2+3)y| x=1=2esin4cos4【知识模块】 微积分23 【正确答案】 所给函数的幂指函数求导，应利用对数求导法将所给函数表达式两端取对数：lny=ln =x2lnx将上式两端关于 x 求导：1yy=2xlnx+x因此y=y(2xlnx+x)= (1+2lnx)【知识模块】 微积分24 【正确答案】 由于原点(0，0)不在曲线 y=lnx 上，可设切点 M0 坐标为(x 0，y 0)，则 y0=lnx0由导数的几何意义，过 M0 点的切线斜率 k=f(x0)1x 0因此可设切线方程为 yy 0=1x 0(xx 0)，即 yy 0= x1由于切线过原点(0
16、，0)，因此0y 0= 1 ，得 y0=1又切点 (x0，y 0)在曲线 y=lnx 上，因此 y0=lnx0，可知x0=e故所求切线方程为 y1= x1即 y=xe【试题解析】 如果点(x 0，y 0)在曲线 y=f(x)上，即 y0=f(x0)，斜率 f(x0)存在，则曲线 y=f(x)在点 (x0，f(x 0)处的切线方程为 yf(x 0)=f(x0)(xx 0)当 f(x0)0 时，曲线在点(x 0，f(x 0)处的法线方程为 yf(x 0)= (xx 0)如果点(x 0，y 0)不在曲线 y=f(x)上，求曲线过点(x 0，y 0)处的切线方程时，即先设切点为(m，n)，写出切线方程
17、，求出满足给定题设条件的切点坐标【知识模块】 微积分25 【正确答案】 ln(1x)=所以本题是“”型极限【知识模块】 微积分26 【正确答案】 所给问题是“0 0”型【知识模块】 微积分27 【正确答案】 y=3x 26x=3x(x2)令 y=0 可解得 x1=0，x 2=2 y“=6x6=6(x1)， y“| x=0=6，y“| x=2=6， 可知点 x=0 为 y 的极大值点，极大值为y=5；点 x=2 为 y 的极小值点，极小值为 y=9 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 由题意，仿上题转化为讨论函数的零点问题设 y=x327x+c，则 y 的定义域为(，+)，y 在定义区间内为
18、连续函数，且 (x327x+c)=， (x327x+c)=+，y=3x 227=3(x+3)(x3)令 y=0，得 x1=3，x 2=3为函数 y 的两个驻点y“=6x，y“| x=3 =180，y“| x=3=180，可知 x=3 为 y 的极大值点；x=3 为 y 的极小值点极大值为 y|x=3 =c+54；极小值为y|x=3=c54当极大值 c+540，且极小值 c54 0 时，函数 y 有三个零点，此时应有54c 54即当 54c 54 时，原方程有三个实根【知识模块】 微积分29 【正确答案】 销售额是指商品全部售出后所得的总收益 R，它是单价 p 的函数R=pQ求销售额何时增加，何时减少，实际上就是求收益函数的单调区间(1)设售出商品的销售额为 R，则 令 R=0，得驻点 p0= b，注意到 abc，则 acb， b，所以当 0p b 时，R 0，这时收益函数 R单调增加即随着商品单价 p 的增加，相应的销售额也将增加；当 p b 时，R0，这时收益函数 R 单调减少即随着商品单价 p 的增加，相应的销售额将减少这主要是因为当 p 增加太大时销售数量 Q 就会减少 (2)由(1)可知，函数 R 在p0 处有极大值，而且该极大值也是最大值，所以【知识模块】 微积分
