1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 14 及答案与解析单项选择题1 设下列不定积分都存在，则正确的是( )（A）f(2x)dx=12f(2x)+C（B） f(2x)dx=2f(2x)（C） f(2x)dx=f(2x)+C（D）f(2x)dx12f(2x)2 函数 2(e2xe 2x )的一个原函数为( )（A）e 2xe 2x（B） e2x+e 2x（C） 2(e2x e2x )（D）2(e 2x+e2x )3 已知 x+ 是 f(x)的一个原函数，则xf(x)dx=( )4 4 4 sin51tdt=( )（A）（B） 2（C） 1（D）05 设 f(x)=0sinxsin
2、t2dt，g(x)=x 3+x4，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）等价无穷小（B）高阶无穷小（C）低阶无穷小（D）同阶但非等价无穷小6 设 f(x)= 且在 x=0 处连续，则 a=( )（A）13（B） 1（C） 32（D）37 15x dx=( )（A）27215（B） 2725（C） 2723（D）27228 下列命题错误的是( ) （A） f(x，y)=A 的充分必要条件是 f(x，y)=A+，其中 满足 =0（B）若函数 z=f(x，y)在点 M0(x0，y 0)处存在偏导数 ，则 z=f(x，y) 在点 M0(x0，y 0)处必定连续（C）若函数 z=f(x，y)在
3、点 M0(x0，y 0)处可微分，则 z=f(x，y) 在 M0(x0，y 0)必定存在偏导数 dy（D）若函数 z=f(x，y)在点 M0(x0，y 0)处存在连续偏导数，则 z=f(x，y)在点M0(x0，y 0)必定可微分，且 dz dy9 设 x=ln(x+y2)，则 dz|(1，0) =( )（A）dx+dy（B） dxdy（C） dx（D）dy10 设函数 u=(xy) z，则 du|(3，2，1) =( )11 设组织 z=z(x，y)是由方程 x2yz=(x+y+z)所确定的函数，其中 可导，且1，则 =( )12 已知函数 f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且 =2
4、，则( )（A）点(0 ，0) 不是 f(x，y)的极值点（B）点 (0，0)是 f(x，y)的极大值点（C）点 (0，0)是 f(x，y)的极小值点（D）根据所给条件无法判定点(0，0)是否为 f(x，y)的极值点13 设 f(x，y)=3x+2y ，z=fxy ，f(x，y)，则 =( )（A）4x+3（B） 4x3（C） 3x+4（D）3x414 设 z=z(x，y)由方程(x+1)zy 2x 2f(xz ，y)确定，则 dz|(0，1) =( )（A）dx2dy（B） dx+2dy（C） dx2dy（D）dx+2dy计算题15 设 f(x)=cosx5x，且 f(0)=0，求 f(x)
5、16 计算不定积 dx17 设 f(x)为连续函数，F(x)= ax(xt)f(t)dt，求 F“(x)18 求 y= 上的平均值19 计算定积分 1e dx20 设 xex01f(x)dx+ +f(x)=1，求 01f(x)dx21 设三次多项式 f(x)=ax3+bx2+cx+d 满足 ddx xx+1f(t)dt=12x2+18x+1，当 x 为何值时，f(x)取到极大值22 已知某产品的需求函数为 p=10 ，成本函数为 C=50+2Q，求产量为多少时，利润最大23 设二元函数 z=ex+ycos ，求 dz24 设二元函数 z=z(x，y)由方程 xyz=arctan(x+y+z)确
6、定，求25 设 z=1xf(xy)+y(x+y)，其中 f， 具有一阶连续导数，求26 设 z=z(x，y)由方程 x2y+ez=2z 确定，求 dz27 求二元函数 z=x34x 2+2xyy 2 的极值点与极值28 求函数 M=xy+2yz 在约束条件 x2+y2+z2=10 下的最大值和最小值29 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告，根据统计资料，销售收入 R(万元)与电台广告费用 x1(万元)及报纸广告费用 x2(万元)之间的关系有如下经验公式： R=15+14x 1+32x28x 1x22x 1210x 22 (1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略； (2)若提供
7、的广告费用为 15 万元，求相应的最优广告策略经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 14 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 由不定积分的性质f(x)dx=f(x)+C 知f(2x)dx=12f(2x)d(2x)=1 2f(2x)+C，故 A 正确，C 不正确f(2x)dx 也可以理解为先对 2x 求导，后对 x 积分，因此 f(2x)dxf(2x)+C又由于不定积分f(x)dx=f(x) ，即先积分后求导，作用抵消，可知 B，D 都不正确故选 A【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 函数 2(e2x e2x )的原函数为 2(e 2xe 2x
8、 )dx=f2e2xdx2e2x dx=e2x+e2x +C 故选 B【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 由于 x+ 是 f(x)的一个原函数，可得故选 A【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 由于积分区间为对称区间，被积函数为奇函数，因此由定积分的对称性可知 4 4 sin51tdt=0 故选 D【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 由于可知 f(x)与 g(x)为同阶但非等价无穷小故选 D【知识模块】 微积分6 【正确答案】 A【试题解析】 由题设知 f(x)在 x=0 处连续，且 f(0)=a又有所以 f(x)=f(0)，得a=13 故选
9、 A【知识模块】 微积分7 【正确答案】 A【试题解析】 令 t= ，则 x=t2+1，dx=2tdt 当 x=1 时，t=0 ；当 x=5 时，t=2因此 15x dx=02(t2+1)t2tdt=2 02(t4+t2)dt 故选A【知识模块】 微积分8 【正确答案】 B【试题解析】 对于命题 A 可仿一元函数极限基本定理证明其正确，又可以称这个命题为二元函数极限基本定理命题 B 不正确：偏导数存在不能保证函数连续，同样函数连续也不能保证偏导数存在由全微分的性质可知，若函数 z=f(x，y)在点 M0(x0，y 0)处可微分，则 必定存在，且可知命题 C 正确对于命题 D，教材中以定理形式出
10、现“如果函数 z=f(x，y)的偏导数 在点(x，y)连续，那么函数在该点可微分 ”，还给出定理的证明，这说明命题 D 正确故选 B【知识模块】 微积分9 【正确答案】 C【试题解析】 可以依常规方法先求出 ，然后求出dz|(1，0) 也可以先求出 z(x，0)=lnx，z(1，y)=ln(1+y 2)，分别求出 ，再分别令 x=1，y=0 求之下面利用前者： 因此 dz|(1，0)=dx故选 C【知识模块】 微积分10 【正确答案】 A【试题解析】 所给问题为三元函数的微分运算这里要指出，对于二元函数的偏导数、全微分运算都可以推广到多于二元的函数之中由于 =z(xy)z 1 1y=z y(x
11、y) z1 ， =z(xy) z1 (xy 2)=zxy 2(xy)z 1， =(x y)zlnxy由幂指函数的定义可知 xy0，因此上面三个偏导数在其定义区域内都为连续函数可知当 x=3，y=2 ，z=1 时，故选 A【知识模块】 微积分11 【正确答案】 C【试题解析】 设 F(x，y， z)=x2yz(x+y+z) ，则 Fx=2xy ，F z=1 ，可得 故选 C【知识模块】 微积分12 【正确答案】 B【试题解析】 由题设 =2，又由于二元函数 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，所给极限表达式中分母极限为零，从而 f(x，y)=0=f(0，0)又由二元函数极限基本定理 其中
12、满足=0从而 f(x，y)=2(x 2+y2)2+(x2+y2)2在点(0，0)的足够小的邻域内，上式右端的符号取决于2(x 2+y2)2，为负，因此 f(0，0)为极大值，故选 B【知识模块】 微积分13 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(x，y)=3x+2y，则 z=fxy，f(x，y)=3xy+2f(x ，y)=3xy+6x+4y，从而知 =3x+4故选 C【知识模块】 微积分14 【正确答案】 B【试题解析】 当 x=0，y=1 时，代入给定方程得 z=1设 F(x，y，z)=(x+1)zy 2x 2f(xz，y)，则 Fx=z2xf(xz ，y)x 2f1，F y=2yx 2f
13、2，F z=(x+1)+x2f1，所以 因此 dz|(0，1) =dx+2dy故选 B【知识模块】 微积分计算题15 【正确答案】 由 f(x)=cosx5x，可得f(x)dx=(cosx5x)dx=sinx x2+C1，又f(x)dx=f(x)+C2，从而有 f(x)=sinx x2+C，其中 C=C1C 2 为任意常数又 f(0)=0，代入上式可得 C=0因此 f(x)=sinx x2【知识模块】 微积分16 【正确答案】 令 t= ，则 x=t2，dx=2tdt所以【知识模块】 微积分17 【正确答案】 由于被积函数中含有变上限的变元，应先将所给表达式变形则有 F(x)= axxf(t)
14、tf(t)dt=x axf(t)dt axtf(t)dt， 所以 F(x)=axf(t)dt+矿 xf(x)xf(x)=axf(t)dt 又由于 f(x)为连续函数，故 F“(x)=f(x)【知识模块】 微积分18 【正确答案】 由题设 y= 上连续由连续函数在闭区间上平均值的定义可知所求平均值表达式为 令x=sint，dx=costdt，当 x=12 时，t=6；当 x= 时，t=3因此【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 由于定积分表示确定的数值，设 01f(x)dx=A，则所给表达式可以化为 Axex+ +f(x)=1将上式两端同时在 0，1上取
15、定积分，有 01Axexdx+01dx+01f(x)dx=01dx，可得 A01xexdx+01 dx+A=1，(*)其中01xexdx=xex|01 01exdx=e ex|01=1， 01 dx=arctanx|01=arctan1=4，代入(*) 式可得 所以 01f(z)dx=【知识模块】 微积分21 【正确答案】 由于 ddx xx+1f(t)dt=f(x+1)f(x)=3ax 2+(3a+2b)x+a+b+c =12x2+18x+1， 比较系数，得 a=4，b=3 ，c= 6所以 f(x)=4x 3+3x26x+d， 再由f(x)=12x2+6x6=6(2x1)(x+1)， 令 f
16、(x)=0，得 f(x)的两个驻点x1=1 2，x 2=1 又 f“(x)=24x+6， 则有 f“(12)0，f“(1)0 由极值第二充分条件知，当 x=1 时，f(x) 取到极大值【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由于收益=需求 价格，利润=收益成本设利润为 F(Q)，则故 F(Q)= Q+8，令 F(Q)=0，得 F(Q)的唯一驻点 Q=20当 Q20 时，F(Q) 0；当 Q20 时，F(Q)0由上可知当 Q=20 时，F(Q)取得极大值，此时利润最大【知识模块】 微积分23 【正确答案】 设 u=x+y，v= ，则 z=eucosv【知识模块】 微积分24 【正确答案】 令 F
17、(x，y，z)=xyzarctan(x+y+z)，则【知识模块】 微积分25 【正确答案】 设 u=xy，v=x+y ，则 z=1xf(u)+y(v)因此【知识模块】 微积分26 【正确答案】 解法 1 设 F(x，y，z)=x 2y+ez2z，则Fx=2xy，F y=x2，F z=ez 2， 解法 2 将方程两端微分，可得 d(x2y)+d(ez)=d(2z)，yd(x 2)+x2dy+ezdz=2dz，(2e z)dz=2xydx+x2dy，dz= (2ydx+xdy)【知识模块】 微积分27 【正确答案】 即函数 z 有两个驻点(0，0)及(2，2)由于 对于驻点(0，0)，=2B 2A
18、C=120由极值的充分条件知点(0，0)是极大值点，极大值为 0对于驻点(2，2)，=2B 2AC=120由极值的充分条件知点(2，2)不为极值点【知识模块】 微积分28 【正确答案】 构造拉格朗日函数 L(x，y，z ，)=xy+2yz+(x 2+y2+z210)，令当 0 时， ，式联立，消去 y， 得 z=2x将 z=2x 代入式，整理后与式联立，消去 ，得y2=5x2，将 z=2x，y 2=5x2 代入 式可得四个可能极值点当 =0 时，解得 E(2)由于在点 A 与点 B 处， M=5 ；在点 C 与点 D 处，M=5 ；在点 E 与点 F 处，M=0又因为该问题必存在最值，并且最值
19、不可能在其它点处，所以 Mmax=5 ，M min=5 【知识模块】 微积分29 【正确答案】 所谓最优广告策略，是指该公司销售商品能获得最大利润其中(1)在广告费用不限的情况下求最优广告策略为无约束极值问题；(2)在限定广告费用的情况下求最优广告策略为条件极值问题(1)在广告费用不限的情况下，利润函数为 S=R(x 1+x2)=15+14x1+32x28x 1x22x 1210x 22(x 1+x2)=15+13x1+31x28x 1x22x 1210x 22，则= 4x1 8x2+13， =8x 120x 2+31令 =0，可解得x1=0 75，x 2=125由于B2AC=160， A=40，所以利润函数 S 在(x 1，x 2)=(075，125)处达到极大值，亦是最大值所以当电台广告费用为 075 万元，报纸广告费用为 125 万元时能获得最大利润(2)若提供的广告费用为 15 万元，则利润函数为S=15+13x1+31x28x 1x2 2x1210x 22，问题转化为在条件 x1+x2=15 下求 S 的极大值构造拉格朗日函数 L(x1，x 2，)=15+13x1+31x28x 1x22x 1210x 22+(x1+x215) ，令可解得 x1=0，x 2=15，即广告费用 15 万元全部用于报纸广告，可使利润最大【知识模块】 微积分
