1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 2 及答案与解析单项选择题1 设某商品的需求函数为 Q=160-2P，其中 Q，P 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是( )（A）10。（B） 20。（C） 30。（D）40。2 设函数 f(x)在点 x=a 处可导，则函数|f(x)|在 x=a 点处不可导的充分条件是( )。（A）f(a)=0 且 f(a)=0（B） f(a)=0 且 f(a)0（C） f(a)0 且 f(a)0 （D）a(a)0 且 f(a)03 设 f(x)在a，b上连续，且 f(a)0，f(b)0，则下列结论中错误的是( )。（
2、A）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)f(a)。（B）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)f(b) 。（C）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=0。（D）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=0。4 设函数 f(x)在区间(一 ，)内有定义，若当 x(一 ，)时，恒有|f(x)|x 2，则 x=0必是 f(x) 的( )。（A）间断点（B）连续而不可导点（C）可导的点，且 f(0)=0（D）可导的点，且 f(0)05 设 f(x)= 在 x=0 处可导，则( )。（A）a=1 ，b=0（B） a=0，b 为任意常数（C） a=0，b=0（D）a=1
3、，b 为任意常数6 设 f(x)=3x3+x2|x|，则使 f(n)(0)存在的最高导数 n 为 ( )。（A）0 （B） 1（C） 2（D）37 某商品的需求量 Q 对阶格的弹性为 =pln3，已知该商品的最大需求量为 1200，则需求量 Q 关于价格 P 的函数关系式为( )。（A）Q=12003 -P（B） Q=12003e-P（C） Q=1200e-3P（D）Q=12003 P8 设函数 f(x)在 X=1 的某邻域内连续，且 则 X=1 是 f(x)的( )。（A）不可导点（B）可导点，但非驻点（C）驻点，但非极值点（D）驻点，且为极值点9 若极限 ，则函数 f(x)在 x=a 处(
4、 )。（A）不一定可导（B）不一定可导，但 f+(a)=A（C）不一定可导，但 f+(a)=A（D）可导，且 f(a)=A10 设 f(x)在 x=0 的某邻域连续且 f(0)=0， ，则 f(x)在 x=0 处( )。（A）不可导（B）可导且 f(0)0（C）有极大值（D）有极小值11 若 xf“(x)+3xf(x)2=1 一 e-x 且 f(x0)=0(x00)，则( )。（A）(x 0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点（B） f(x0)是 f(x)的极小值（C） f(x0)不是 f(x)的极值， (x0，f(x 0)也不是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(x 0)是 f(x)的极大
5、值12 设 f(x)=arccos(x2)则，f(x)=( )。13 函数 f(x)=x3+6x2+9x，那么 ( )。（A）x=一 1 为 f(x)的极大值点（B） x=一 1 为 f(x)的极小值点（C） x=0 为 f(x)的极大值点（D）x=0 为 f(x)的极小值点14 设函数 f(x)在开区间(a，b)内有 f(x)0，且 f“(x)0，则 y=f(x)在(a，b)内( )（A）单调增加，图像上凹（B）单调增加，图像下凹（C）单调减少，图像上凹（D）单调减少，图像下凹15 函数 f(x)=InxIn(1-x)的定义域是( )。（A）(一 1，+)（B） (0，+)（C） (1，+)
6、（D）(0 ，1)16 x=0 是函数 f(x)= 的( )。（A）零点（B）驻点（C）极值点（D）非极值点填空题17 设 f(x)= 其导函数在 x=0 处连续，则 的取值范围是_。18 设 y=f(lnx)f(x)，其中 f 可微，则 dy=_。19 设函数 ，则 y(0)(0)=_。20 设函数 y=f(x)由方程 e2x+y-cos(xy)=e 一 1 所确定，则曲线 y=f(x)在点(0，1)处的法线方程为_。21 22 23 24 设 y=f(x)由方程 y=1+xexy 确定，则 dy|x=0=_，y“| x=0=_。25 f(x)= 的极大值点是 x=_，极小值点是 x=_。2
7、6 设某商品的需求量 Q 与价格 P 的函数关系为 Q=100-5P。若商品的需求弹性的绝对值大于 1，则该商品价格 P 的取值范围是_。计算题27 证明拉格朗日中值定理若函数 f(x)在a ，b上连续，在(a，b)上可导，则存在(a， b)，使得 f(b)-f(a)=f()(b-a)。28 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(0a b)，证明：存在 ， (a，b)，使得29 设函数 f(x)二阶可导，f“(x)0，x(一 ，+)，函数 u 在区间a，b(a0)上连续，证明：30 (1)求曲线 C：y=x 2+x 在点(一 1，0)上的切线。 (2)求圆方程为 x2+y2=4 在
8、点(2，2)的切线。31 计算下列各题： ()y=exsinx,求 dy。32 已知函数 f(x)=xx+ ，求 f(x)。33 计算下列各题：(I)由方程 xy=yx 确定 x=x(y)，求 。(II)方程 y-xey=1 确定y=y(x)，求 yn。( )设 2xtan(x 一 y)=0x-ysec2tdy(xy)，求 。34 设函数 f(x)有反函数 g(x)，且 f(a)=3，f(a)=1，f“(a)=2 ，求 g“(3)。35 设 f(x)=cosx 一 2x，且 f(0)=2，求 f(x)。36 设 f(x)= 求 a，b，C 的值，使 f“(0)存在。37 求函数 f(x)=2x
9、3+3x2 一 12x+1 的极值。38 求函数 f(x)=(x-1)2(x+1)2 的单调增减区间和极值。39 求函数 的单调区间，极值点及其图形的凹凸区间与拐点。40 设函数 y=f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=。证明：存在 使得 f()+f()=2+2。经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 2 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 由题可知：|Ep|=1，则 即 P=40，应选【知识模块】 数学基础2 【正确答案】 B【知识模块】 数学基础3 【正确答案】 D【知识模块】 数学基础4 【正确答案】 C【知
10、识模块】 数学基础5 【正确答案】 C【知识模块】 数学基础6 【正确答案】 C【知识模块】 数学基础7 【正确答案】 A【知识模块】 数学基础8 【正确答案】 D【知识模块】 数学基础9 【正确答案】 A【知识模块】 数学基础10 【正确答案】 D【知识模块】 数学基础11 【正确答案】 B【知识模块】 数学基础12 【正确答案】 D【知识模块】 数学基础13 【正确答案】 B【知识模块】 数学基础14 【正确答案】 C【知识模块】 数学基础15 【正确答案】 D【知识模块】 数学基础16 【正确答案】 D【知识模块】 数学基础填空题17 【正确答案】 (2，+)【知识模块】 数学基础18
11、【正确答案】 【知识模块】 数学基础19 【正确答案】 【知识模块】 数学基础20 【正确答案】 x 一 2y+2=0【知识模块】 数学基础21 【正确答案】 一 1【知识模块】 数学基础22 【正确答案】 【知识模块】 数学基础23 【正确答案】 (1+2t)e 2t【试题解析】 先求出 f(t)，再求 f(t)。由于所以 f(t)=e2t+2te2t=(1+2t)e2t。【知识模块】 数学基础24 【正确答案】 1 2【试题解析】 根据隐函数微分法有 dy=e xydx+xd(exy)=exydx+xexy(ydx+xdy)。 由y(0)=1，在上述等式中令 x=0，得到 dy=dx。 另
12、外，由隐函数求导法则得到 y=exy+xexy(y+xy) 两边再次关于 x 求导一次，得到 y n=exy(x2y“+2xy+xy+y)+exy(x2y+xy+1)(xy+y) 再次令 x=0，y(0)=1，由 式得到 y(0)=1，由 式得到y“(0)=2。【知识模块】 数学基础25 【正确答案】 x=0 【知识模块】 数学基础26 【正确答案】 10P20。【知识模块】 数学基础计算题27 【正确答案】 首先将上 f()中的 改成是自变量 x，则我们可以得到f(b)-f(a)=f(x)(b-a)，再进一步积分可得：f(b)-f(a)x=f(x)(b-a)移项可得：F(x)=f(b)-f(
13、a)x-f(x)(b-a)分别代入 x=a，x=b 可得：F(a)=f(b)-f(a)a-f(a)(b-a)=f(b)a-f(a)bF(b)=f(b)-f(a)b-f(b)(b-a)=f(b)a-f(a)b即 F(a)=F(b)，即至少存在一点 (a，b)，使得 F()=0得至 f(b)-f(a)=f()(b-a)。【知识模块】 数学基础28 【正确答案】 由题设 f(x)在a ，b上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在(a， b)，使 又 f(x)，lnx 在a，b上满足柯西中值定理的条件，故存在 (a， b)，使 合并上两式可得【知识模块】 数学基础29 【正确答案】 令 将 f(x)在 x
14、=x0 处展开成一阶泰勒公式： f(x)=f(x0)+f(x0)(x 一 x0)+ (x 一 x0)2 由于 f“(x)0，则 f(x)f(x0)+f(x0)(x 一 x0)。令x=u(t)，则 f(u(t)f(x0)+f(x0)(u(t)一 x0)。上式两边0，a在上对 t 积分，得 0afu(t)dt0af(x0)dt+0af(x0)(u(t)一 x0)dt=af(x0)+f(x0)0a(u(t)一 x0)dt=af(x0)【知识模块】 数学基础30 【正确答案】 (1)y=2x+1,则斜率 k=一 1 则所求函数切线为：y=一 1(x+1)=一 x一 1(2)令 f(x，y)=x 2+y
15、2 则所求的切线为：4(x-2)+4(y 一 2)=0 即为：y=4-x【知识模块】 数学基础31 【正确答案】 (I)用复合函数求导法则与导数的四则运算法则可得()用对数求导法因lny= 两边对 x 求导数得()dy=d(e xsinx)=exsinxd(xsinx)=exsinxsinxdx+xd(sinx) =exsinx(sinxdx+xcosxdx)=exsinx(sinx+xcosx)dx。【知识模块】 数学基础32 【正确答案】 【知识模块】 数学基础33 【正确答案】 (I)因 xy=yx,ylnx=xlny，其中 x=x(y)，将恒等式两边对 y 求导数得()因 y-xey=
16、1,ey=yx,y=xlny。将恒等式两边对 x 求导数，得 可解得 。将(*)两边再对 x 求导数，可得 ()因 2xtan(xy)=0x-ysec2tdt=tan(xy),x=tan(xy)。将恒等式两边对 x 求导数，得将上式两端再对 x 求导，又得 y”=2sin(x-y)cos(x-y).(1-y)=sin2(x-y).cos2(xy)【知识模块】 数学基础34 【正确答案】 记 y=f(x),应注意到，g(x)为 f(x)的反函数，已经改变了变量记号，为了利用反函数导数公式，必须将 g(x)改写为 g(y)。 由反函数求导公式有 f(x)g(y)=1，将该等式两边关于 x 求导得
17、f“(x)g(y)+f(x)g“(y)y x=0， 或 f“(x)g(y)+f(x)2g”(y)=0。 注意到 g(3)= =1，在上式中令 x=a，应有 y=3，因此得到 g“(3)=-f“(a)g(3)=一 2。【知识模块】 数学基础35 【正确答案】 f(x)dx=(cosx 一 2x)dx=sinx 一 x2+C 故 f(x)=sinx-x2+C 又 f(0)=2，得 C=2， 故 f(x)=sinx 一 x2+2【知识模块】 数学基础36 【正确答案】 为使 f(0)存在，需 f(x)，f(x)在 x=0 处连续。由 f(x)的连续性，有由 f(x)在 x=0 处的连续性，有从而可得
18、 b=1。欲使 f“(0)存在，需 f“-(0)=f“+(0)。又 f“-(0)=(ax2+bx+c)“|x=0=2a，【知识模块】 数学基础37 【正确答案】 求函数的一阶导数 f(x)=6x 2+6x 一 12，并令其为零，可得x=1，x=一 2 再求函数的二阶导数 f“(x)=12x+6 f“(1)=180，f“(-2)=-180 故函数在 x=1 处取得极小值，在 x=-2 处取得极大值，故 f 极小值 =一 6，f 极大值 =一 21【知识模块】 数学基础38 【正确答案】 f(x)=(x 一) 2(x+1)2=4x3-4x，f“(x)=12x 2-4 由 f(x)0 得到单调增区间
19、为一 1，0 1，+) 由 f(x)0 得到单调增区间为(一 ，一 1)(0，1) 由 f(x)=0 得到驻点 x=0，x=1，x=一 1 又 f”(0)=一 40，f“(-1)=f“(一 1)=80 故 x=0 是极大值点；x=1，x= 一 1 是极小值点。【知识模块】 数学基础39 【正确答案】 函数 的定义域是(一，1)(1，+)，且函数无奇偶性、对称性与周期性，又 从而函数的一、二阶导数的零点分别是 x=0 与 x= 列表讨论函数的单调性与函数图形的凹凸性如下：由此可知，f(x)在(-，一 1)(0，+) 内单调增加，在 (一 1，0) 内单调减少；极大值 f(一 1)= ，极小值 f(0)=2；拐点为 。【知识模块】 数学基础40 【正确答案】 令 F(x)=f(x)一 ，F(1)=F(0)=0，F()+F()=0,f()一 2+f()一 2=0，即：f()+f()= 2+2。【知识模块】 数学基础
