1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 5 及答案与解析单项选择题1 二元函数 f(x，y)在点 P(x0，y 0)的两个偏导数 fx和 fy都存在，则( )。（A）f(x，y)在 P 点必连续（B） f(x，y)在 P 点必可微（C）（D）2 设 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数 fx(x0，y 0)，f y(x0，y 0)都存在，则必有( )。（A）（B）（C）（D）当(x) 2+(y)20 时 f(x0+x，y 0+y)一 f(x0，y 0)一f x(x0，y 0)x+fy(x0，y 0)y=3 已知 f(x，y)= 则( )。（A）f x(0，0)，f y
2、(0，0)都存在（B） fx(0， 0)不存在，f y(0，0)存在（C） fx(0， 0)存在，f y(0，0)不存在（D）f x(0，0)，f y(0，0)都不存在4 设可微函数 f(x，y)在点 P(x0，y 0)取得极小值，则下列结论正确的是( )。（A）f(x 0，y)在 y=y0 处的导数等于 0（B） f(x0，y)在 y=y0 处的导数大于 0（C） f(x0，y)在 y=y0 处的导数小于 0（D）f(x 0，y)在 y=y0 处的导数不存在5 已知函数 f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且 则( ) 。（A）点(0 ，0) 不是 f(x，y)的极值点；（B）点 (
3、0，0)是 f(x，y)的极大值点；（C）点 (0，0)是 f(x，y)的极小值点；（D）无法断定点(0，0) 是否为 f(x，y)的极值点；6 设 f(x，y)与 (x，y) 均为可微函数，且 y(x，y)O，已知 P(x0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项中正确的是( )。（A）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)=0（B）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)0（C）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)=0（D）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)07 设（A）不存在（B） 0（
4、C）一 1（D）18 设 f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续，且两个偏导数 fx(x0，y 0)，f y(x0，y 0)存在，是f(x，y)在该点可微的( )。（A）充分条件，但非必要条件（B）必要条件，但非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件9 设 其中 D=(x，y)：(x一 1)2+(y 一 1)22，则( )。（A）I 1I 2 I3（B） I2I 3I 1（C） I1I 3I 2（D）I 3I 2 I110 设 f(x，y)在点(a，b)处的偏导数存在，则 =( )。（A）f x(a， b)（B） fx(2a，b)（C） 2fx(a，b)（D）填空题11 12
5、设 u= 的值为_。13 设 z=x+y+f(x 一 y)，且当 y=0 时，z=x 2，则 =_14 设 f(u，v)是二元可微函数，z= =_15 设 y=y(x)是由 所确定的隐函数，则 =_16 设 z=z(x，y)是由方程 x+yz=ez 所确定的函数，则 =_17 18 19 交换积分次序： =_20 累次积分 =_计算题21 设 f(x)在1，+)可导，f(1)=0，f(e x+1)=3e2x+2，求 f(x)。22 设函数 f(x)在0，上连续，且 0f(x)dx=0)f(x)cosxdx=0试证明：在0，内至少存在两个不同的点 1， 2，使得 f(1)=f(2)=0。23 试
6、判断极限 是否存在。24 设 f(x,y)=x2+(y 一 1) 求 fx(2，1)，f y(2，1)。25 设26 设 z=yxln(xy)，求27 28 设 f(u)具有二阶连续导数，且 g(x，y)=29 设函数 z(x，y)由方程 所确定，证明：30 求函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny 的极值31 设某种产品必须投入两种要素，x 1 与 x2 分别为两要素的投入量，Q 为产出量；若生产函数为 Q=2x1x2，其中 ， 为正常数，且 +=1，假设两种要素的价格分别为 P1 何 P2，试问：当产出量为 12 时，两要素各投入多少可以适当投入总费用最小?32 设 u=f(ux
7、， v+y)，g(u 一 x，v 2y)=0，求33 设 z=z(x，y)是方程 x+y+zxyz=0 所确定的隐函数，34 求由方程 xyz=arctan(x+y+z)的隐函数 z=z(x，y)的35 计算下列函数指定的偏导数： (I)设 u=f(2x 一 y)+g(x，xy)，其中 f 具有二阶连续导数，g 具有二阶连续偏导数，求 ()设 u=u(x，y)由方程 u=(u)+yxP(t)dy 确定，其中 可微， P 连续，且 (u)1，求 ()设 z32xz+y=0确定 z=z(x，y)，求 z 的三个二阶偏导数。36 已知函数 z=u(x，y)e ax+by，其中 u(x，y)具有二阶连
8、续偏导数，且37 设 y=f(x， t)，且方程 F(x，y，t)确定了函数 t=t(x，y)，求38 设 f(x，y)=39 设 y=y(x)， z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和 F(x，y， z)=0 所确定的函数，其中 f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求40 设 z=z(x，y)是由方程 F(x 一 z，yz)=0 确定的隐函数，其中 F 具有一阶连续偏导数，并且 F1+F20，求41 求函数 u=xyz 在约束条件 (x0，y0，z0，a 0)下的极值。经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 5 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 C【知识模块
9、】 数学基础2 【正确答案】 B【知识模块】 数学基础3 【正确答案】 B【知识模块】 数学基础4 【正确答案】 A【知识模块】 数学基础5 【正确答案】 A【知识模块】 数学基础6 【正确答案】 D【知识模块】 数学基础7 【正确答案】 A【知识模块】 数学基础8 【正确答案】 B【知识模块】 数学基础9 【正确答案】 A【知识模块】 数学基础10 【正确答案】 C【知识模块】 数学基础填空题11 【正确答案】 0【知识模块】 数学基础12 【正确答案】 【知识模块】 数学基础13 【正确答案】 2(x 一 y)【知识模块】 数学基础14 【正确答案】 【知识模块】 数学基础15 【正确答案
10、】 【知识模块】 数学基础16 【正确答案】 【知识模块】 数学基础17 【正确答案】 一 y，一 1【知识模块】 数学基础18 【正确答案】 【知识模块】 数学基础19 【正确答案】 +12dy01+23dy03-yf(x，y)dx【知识模块】 数学基础20 【正确答案】 【知识模块】 数学基础计算题21 【正确答案】 令 ex+1=t 得 f(t)=3(t 一 1)2+2 f(t)=3(t 一 1)2+2dt=(t 一 1)3+2(t 一1)+C 由 f(1)=0 知 C=0， f(x)=(x 一 1)3+2(x 一 1)=(x 一 1)(x2 一 2x+3)【知识模块】 数学基础22 【
11、正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt，0x，则 F(0)=F()=0。 又因为 0= 0f(x)cosxdx=0cosxdF(x)=F(x)cosx0+0F(x)sinxdx =0F(x)sinxdx 所以存在 (0，)，使得 F()sin=0，因为若不然，则在(0，) 内恒正或者恒负，均与 0F(x)sinxdx=0矛盾。 但当 (0，)时， sin0，所以只有 F()=0。 由以上可知，存在满足0 的 ，使得 F(0)=F()=F()=0； 再对 F(x)在区间0， ， 上分别用罗尔定理知，至少存在两个不同的点 10， ， 2 ，使得 F(1)=F(2)=0，即得到： 在0，内至少存
12、在两个不同的点 1， 2，使得 f(1)=f(2)=0。【知识模块】 数学基础23 【正确答案】 当函数极限分别沿着途径一和途径二逼近(0，0)时有：途径一：x0，y=0 有 途径二：y=x ，x0 有 故 是不存在的。【知识模块】 数学基础24 【正确答案】 f x(2，1)=fy(2，1)=【知识模块】 数学基础25 【正确答案】 【知识模块】 数学基础26 【正确答案】 =xyx-1lny.ln(xy)+yx-1ln(xy)+yx-1lny+yx-1 代入 x=1，y=e 可得：【知识模块】 数学基础27 【正确答案】 令 xy=u，x+y=v ，则=yf“(u)+f(v)+yf“(v)
13、【知识模块】 数学基础28 【正确答案】 【知识模块】 数学基础29 【正确答案】 【知识模块】 数学基础30 【正确答案】 由驻点的定义可得： f x(x，y)=2x(2+y 2)=0 fy(x，y)=2x 2y+lny+1=0解方程可得：x=0， ，即函数有唯一的驻点 又有由于在驻点 处 AC 一B20，且 A0，故函数 f(x，y)在点 处取得极小值，且极值为【知识模块】 数学基础31 【正确答案】 minp 1x1+p2x2 st2x 1x2=12 即：L(x 1，x 2，)=p 1x1+p2x2+(122x1x2) L(x1，x 2，)分别对 x1，x 2， 求偏导可得方程组：对于条
14、件极值的问题驻点惟一就是极值点，所以【知识模块】 数学基础32 【正确答案】 两个均两边对 y 求偏导数由此解得：【知识模块】 数学基础33 【正确答案】 对方程 x+y+z 一 xyz=0 等号两边同时关于 x 求偏导，得整理得到 同理得【知识模块】 数学基础34 【正确答案】 设 F(x，y，z)=xyzarctan(x+y+z)，求偏导数可得：【知识模块】 数学基础35 【正确答案】 ()在 u=(u)+yxP(t)dt 两边分别对 x，y 求偏导数可得()在方程两边分别对 x 求偏导数得 将(*)式再对 x 求偏导数，得【知识模块】 数学基础36 【正确答案】 【知识模块】 数学基础37 【正确答案】 由 y=f(x,t(x，y)两端对 x 求导得 而t=t(x，y)由 F(x，y，t)=0 所确定，则【知识模块】 数学基础38 【正确答案】 【知识模块】 数学基础39 【正确答案】 将题设的两个方程的两端分别对 x 求偏导，得：【知识模块】 数学基础40 【正确答案】 【知识模块】 数学基础41 【正确答案】 设拉格朗日函数为 F(x，y，z)= 分别对x，y，z，a 求偏导并令导数的值为 0 可得到方程组：【知识模块】 数学基础
