1、考研数学二（一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程）模拟试卷2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 y1(x)，y 2(x)，y 3(x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(6 2)的解，C1，C 2 为任意常数，则该非齐次方程的通解是（A）C 1y1+C2y2+y3（B） C1y1+C2y2-(C1+C2)y3（C） C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3（D）C 1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3二、填空题2 当x0 时 是比x 较高阶的无穷小量，函数 y(x)在任意点 x 处的增量y=，且 y(0)=，则 y(1)=_三、解答题解
2、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 求 f(x)=3x 带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式4 设 f(x)在a ，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，证明： (a，b)使得 f(b)-(b-a)2f()5 设 f(x)为 n+1 阶可导函数，求证：f(x)为 n 次多项式的充要条件是 f(n+1)(x)0，f (n)(x)0.6 设 f(x)在(0，+)二阶可导且 f(x)，f(x) 在(0，+) 上有界，求证：f(x) 在(0，+)上有界.7 设 f(x)在a ，b二阶可导，f(x)0，f(x)0(x (a，b)，求证：abf(x)dx8 求微分方程 x(y2-1)dx+y(x2-1)d
3、y=0 的通解9 求解下列方程： () 求方程 xy=ylny的通解； ()求 yy=2(yt2-y)满足初始条件y(0)=1，y(0)=2 的特解10 设 f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+ 0tf(s)sinsds， (*) 求 f(t)11 设 f(x)连续，且满足 01f(tx)dt=f(x)+xsinx，求 f(x)12 求下列方程的通解：()y3y=2-6x；()y+y=ccosxcos2x 13 设曲线 L 的极坐标方程为 r=r()，M(r，) 为 L 上任一点，M 0(2，0)为 L 上一定点若极径 OM0，OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形的面积值等于 L 上 M0
4、M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的极坐标方程14 设曲线 L 位于 Oxy 平面的第一象限内，过 L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，把交点记作 A，则总有长度 ，求 L 的方程15 在上半平面求一条凹曲线(图 62)，使其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线 PQ 长度的倒数(Q 是法线与 x 轴的交点) ，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行16 设热水瓶内热水温度为 T，室内温度为 T0，t 为时间 (以小时为单位)根据牛顿冷却定律知：热水温度下降的速率与 T-T0 成正比又设 T0=20，当 t=0 时，T=100，并知 24 小时后水瓶内温度为
5、50，问几小时后瓶内温度为 95?17 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度 v 之间的关系设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 V，海水的比重为 ，仪器所受阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k0)试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系 y=y(v)18 要设计一形状为旋转体水泥桥墩，桥墩高为 h，上底面直径为 2a，要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数 设水泥的比重为 ，试求桥墩的形状19 设物体 A 从点(0，1) 出发，以速度大
6、小为常数 v 沿 y 轴正方向运动，物体 B 从点(-1，0)与 A 同时出发，其速度大小为 2v，方向始终指向 A，任意时刻 B 点的坐标(x， y)，试建立物体 B 的运动轨迹(y 作为 x 的函数)所满足的微分方程，并写出初始条件20 求下列方程的通解：()y=sin(lnx)+cos(lnx)+ay；()xy=21 求下列微分方程的通解：22 求解二阶微分方程的初值问题23 解下列微分方程：()y-7y+12y=x 满足初始条件 y(0)= 的特解；()y+a 2y=8cosbx 的通解，其中 a0，b0 为常数；()y+y+y+y=0 的通解24 求微分方程 xy-y=x2 的通解2
7、5 求方程 x2ydx-(x3+y3)dy=0 的通解26 利用代换 u=ycosx 将微分方程 y“cosx-2ysinx+3ycosx=ex 化简，并求出原方程的通解27 设 f(x)=xsinx-0x(x-t)f(t)dt，其中 f(x)连续，求 f(x)考研数学二（一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程）模拟试卷2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对于选项(D)来说，其表达式可改写为 y3+C1(y1-y3)+C2(y2-y3)，而且y3 是非齐次方程(62) 的一个特解，y 1-y3 与 y2-y3 是(64)
8、的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(62)的通解故应选(D) 【知识模块】 常微分方程二、填空题2 【正确答案】 【试题解析】 首先尝试从y 的表达式直接求 y(1)为此，设 x0=0，x=1，于是y=y(x0+x)-y(x0)=y(1)-y(0)=y(1)-，代入 y 的表达式即得 y(1)-=+ y(1)=2+由于仅仅知道当 x0 时 是比 x 较高阶的无穷小，而不知道 的具体表达式，因而从上式无法求出 y(1)由此可见，为了求出 y(1)必须去掉y 的表达式中包含的 利用函数的增量 y 与其微分 dy 的关系可知，函数 y(x)在任意点 x处的微分 这是一个可分离变量方程，它满足
9、初始条件 y x=0= 的特解正是本题中的函数 y(x)，解出 y(x)即可得到 y(1)将方程分离变量，得 求积分可得由初始条件 y(0)= 可确定【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 【正确答案】 由于 f(m)(x)=3x(ln3)m，f (m)(0)=(ln3)n，则【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用4 【正确答案】 在 处展开成分别令 两式相加由导函数的中间值定理在 1， 2 之间(s，b)，使得【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用5 【正确答案】 由带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式得 f(x)=f(0)+f(0)x+ f(n)(0)
10、xn+ xn+1若 f(n+1)(x)0，f (n)(x)0，由上式 f(x)=f(0)+f(0)x+ f(n)(0)xn是 n 次多项式反之，若 f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0(an0)是 n 次多项式，显然 f(n)(x)=ann!0，f (n+1)(x)0【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用6 【正确答案】 按条件，联系 f(x)，f(x)与 f(x)的是带拉格朗日余项的一阶泰勒公式 0，h0 有 f(x+h)=f(x)+f(x)h+ f()h2，其中 (x，x+h)特别是，取h=1，(x ，x+1)，有 f(x+1)=f(x)+f(x)+ f()，即 f(x)=
11、f(x+1)-f(x)- f()由题设，f(x)M 0，f(x)M 2( (0，+)，M 0，M 2 为常数，于是有f(x)f(x+1) + f(x)+ 即f(x)在(0 ，+) 上有界【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用7 【正确答案】 联系 f(x)与 f(x)的是泰勒公式 x0a，b，f(x 0)= .将f(x0)在 a，b 展开，有 f(x0)=f(x)+f(x)(x0-x)+ f()(x0-x)2( 在 x0 与 x 之间)f(x)+f(x)(x 0-x)( a，b，x 0)两边在a，b上积分得 abf(x0)dx abf(x)dx+abf(x)(x0-x)dx=abf(x)dx
12、f(x0-x)df(x)=abf(x)dx-(b-x0)f(b)-(x0-a)f(a)+abf(x)dx2abf(x)dx.因此 f(x 0)(b-a)2 abf(x)dx，即 =abf(x)dx【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用8 【正确答案】 这是一个变量可分离的方程，分离变量后原方程化为两边同时积分，可求得其通解为 lny 2-1=-ln x 2-1+C，即 (x2-1)(y2-1)=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 () 此方程不显含 y令 p=y，则原方程化为 xp=plnp当 p1 时，可改写为 ，其通解为 lnlnp=lnx +C，即 ln
13、p=C1x，即 y=eC1x这样，原方程的通解即为 y= eC1x+C2，其中 C10， C2 为任意常数当 p=1 时，也可以得到一族解 y=x+C3()此方程不显含 x令 p=y，且以)，为自变量，原方程可化为 =2(p2-p)当 p0 时，可改写为，解为 p-1=C1y2再利用 p=y，以及初始条件，可推出常数 C1=1从而上述方程为变量可分离的方程 y=1+y 2 其通解为y=tan(x+C2)再一次利用初始条件 y(0)=1，即得 C2= 所以满足初始条件的特解为【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 因 f(t)连续 0tf(s)sinsds 可导 f(t)可导于是 这是一阶线
14、性微分方程的初值问题方程两边乘 =e-sintdt=eccost，得 e costf(t)=-4sintcostecost积分得 ecostf(t)=4fcostd(ecost)=4(cost-1)ecost+C由 f(0)=1 得 C=e因此，f(t)=e1-cost+4(cost-1)【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 令 tx=s，原方程改写成 0xf(s)ds=f(x)+xsinx(x0)，即 0xf(s)ds=xf(x)+x2sinx f(x)=xf(x)+f(x)+(x2sinx)，即 f(x)= (x=0 时两端自然成立，不必另加条件) 将 直接积分得 f(x)= =-x
15、sinx+cosx+C【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 () 先求相应齐次方程的通解，由于其特征方程为 2-3=(-3)=0，所以通解为 =C1+C2e3x再求非齐次方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且 0 是特征方程的单根，所以特解应具有形式 y*(x)=x(Ax+B)，代入原方程，得y *(x)-3y*(x)=2A-3(2Ax+B)=-6Ax+2A-3B=2-6x比较方程两端的系数，得 解得 A=1，B=0，即特解为 y*(x)=x2从而，原方程的通解为y(x)=x2+C1+C2e3x，其中 C1，C 2 为任意常数()由于 cosxcos2x= (cosx+cos3x)，
16、根据线性微分方程的叠加原理，可以分别求出 y+y= cosx 与 y+y= cos3x 的特解y1*(x)与 y2*(x)，相加就是原方程的特解由于相应齐次方程的特征方程为2+1=0，特征根为i ，所以其通解应为 C1cosx+C2sinx；同时 y+y= cosx 的特解应具形式：y 1*(x)=Axcosx+Bxsinx，代入原方程，可求得 A=0，B= y 1*(x)= sinx另外，由于 3i 不是特征根，所以另一方程的特解应具形式 y2*(x)=Ccos3x+Dsin3x，代入原方程，可得 C= ，D=0这样，即得所解方程的通解为 y(x)= cos3x+C1cosx+C2sinx，
17、其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 曲边扇形的面积公式为 S= 0r2()d又弧微分于是由题设有两边对 求导，即得 r2()= 所以 r 所满足的微分方程为注意到为方程的通解，再由条件 r(0)=2，可知 C=-6，所以曲线 L 的方程为 .【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 设 L 的方程为 y=y(x)，过点 M(x，y(x) 的切线与 y 轴的交点为A(0，y(x)-xy(x)，又 =x2+y(x)-(y(x)-xy(x)2=x2+x2y2， =(y-xy)2，按题意得 x 2+x2y2=(y-xy)2，即 2xyy-y2=-x2又初始条件
18、这是齐次方程，则方程化成 分离变量得积分得 ln(1+u2)=-lnx+C1，1+u 2= 代入 u= 得 y2+x2=Cx由初始条件 ，得 C=3因此 L 的方程为 y2+x2=3x【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 若将此曲线记为 y=y(x)，则依曲率计算公式，并注意曲线凹凸性的假设，即要求 y0，故曲率 又由于过(x，f(x)点的法线方程为 X-x+y(x)Y-y(x)=0，它与 x 轴交点 Q 的横坐标 X0=x+y(x)y(x)，所以，线段 的长度为 这样，由题设该曲线所满足的微分方程及初始条件为y(1)=1，y(1)=0解二阶方程的初值问题 得 y= (ex-1+e1-x
19、)【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 温度变化的速率即 ，牛顿冷却定律给出了这个变化率满足的条件，写出来它就是温度 T 所满足的微分方程： =-k(T-T0)，其中 k 为比例常数，且 k0其通解为 T=T0+Ce-kt.再由题设：T 0=20，T(0)=100 ，T(24)=50，所以(ln8-ln3)这样，温度 T=20+若 T=95，则 t= =158，即在 158 小时后热水的温度降为 95【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 取沉放点为坐标原点 O，Oy 轴的正向铅直向下，则由牛顿第二定律得 =mg-V-kv由于 v= ，所以，此方程是一个既不显含自变量 t，又不显含未
20、知函数 y 的二阶方程，按照常规的办法，可以令 v 为未知函数，得到 v 所满足的一阶线性方程，这样所求得的是 v 与时间 t 的关系然而题目所要求的是 y与 v 的关系，注意 ，所以应将方程改写为直接求积分，则有再由题设，其初始条件应为 v y=0=0，由此可定出 C= ，故所求的关系【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 首先建立坐标系，如图 63 所示，x 轴为桥墩中心轴，y 轴为水平轴设桥墩侧面的曲线方程为 y=y(x) 其次列出 y(x)满足的方程由于顶面的压强也为 p，则顶面承受的压力为 F=pa2考察中心轴上点x 处的水平截面上所受总压力，它应等于压强截面积=py 2(x)，
21、另一方面又等于顶面的压力+该截面上方桥墩的重量=pa 2+xhpy2(s)ds于是得 py2(x)=pa2+xhy2(s)ds再将积分方程转化为微分方程的初值问题将上述方程两边对x 求导得 2pyy=-y2又在(*) 式中令 x=h 得 y(h)=a，于是得到 最后求解初值问题这是一阶线性齐次方程的初值问题，易求得【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 规定 A 出发的时刻 t=0 1。列方程t 时刻 A 位于(0，1+vt)t时刻 B 位于点(x(t)，y(t)，B 点的速度 =(-x，1+vt-y) 同向(见图 64)又 B 点的速度大小为进一步消去 t，可得 y 作为 x 的函数满足
22、的微分方程将 式两边对 x 求导得由式 将它代入 得 y=y(x)满足的微分方程为 2。初始条件【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 () 属于变量可分离的方程分离变量改写为=(sinlnx+coslnx+a)dx两端求积分，由于sin(lnx)dx=xsin(lnx)-xcos(lnx).dx=xsin(lnx)-cos(lnx)dx，所以通解为 lny=xsin(lnx)+ax+C 1，或 y=Cexsin(lnx)+ax，其中 C 为任意常数 ()属齐次方程令 y=xu，并且当 x0 时，原方程可化为 两端求积分，则得arcsinu=lnx+C，即其通解为 arcsin =lnx+
23、C，其中 C 为任意常数当 x0 时，上面的方程变为 ，其通解应为 arcsin =-lnx+C，其中 C 为任意常数所得通解公式也可统一为 y=xsin(lnx+C)此处还需注意，在上面作除法过程中丢掉了两个特解 u=1，即 y=x【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 () 这是一阶线性非齐次方程，两边同乘，得 积分得 y=x2+x2，其中 C 为任意常数()注意到如果将 x 看作 y 的函数，则该方程可改写为 -yyx=y3，这也是一个一阶线性非齐次方程，两边同乘 =e-ydy= 积分得其中 C为任意常数【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 此方程不显含 x，令 p=y，并以
24、y 为自变量，则 ，并且方程变为 其解为 1+p2=Cy2代入初始条件，可知 C=1，即 p2=y2=y2-1，从而 这是一个变量可分离的方程，两端求积分 ，并代入初始条件，则无论右端取正号，还是取负号，其结果均为【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 () 相应齐次方程的特征方程为 2-7+12=0，它有两个互异的实根： 1=3， 2=4，所以，其通解为 =C1e3x+C2e4x由于 0 不是特征根，所以非齐次方程的特解应具有形式 y*(x)=Ax+B代入方程，可得 A= 所以，原方程的通解为 y(x)= +C1e3x+C2e4x代入初始条件，则得因此所求的特解为 y(x)=(e4x-e
25、3x)()由于相应齐次方程的特征根为 ai，所以其通解为=C1cosax+C2sinax求原非齐次方程的特解，需分两种情况讨论：当 ab 时，特解的形式应为 Acosbx+Bsinbx，将其代入原方程，则得所以，通解为 y(x)= cosbx+C1cosax+C2sinax，其中C1，C 2 为任意常数 当 a=b 时，特解的形式应为 Axcosax+Bxsinax，代入原方程，则得 A=0，B= 原方程的通解为 y(x)= xsinax+C1cosax+C2sinax，其中 C1，C 2 为任意常数() 这是一个三阶常系数线性齐次方程，其相应的特征方程为3+2+1=0，分解得(+1)( 2+
26、1)=0，其特征根为 1=-1， 2，3 =i，所以方程的通解为 y(x)=C 1e-x+C2cosx+C3sinx，其中 C1，C 2，C 3 为任意常数【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 将原方程看作不显含 y 的二阶方程，则属于可降阶的范围令p=y，p=y，代入原方程，则化为 p 的一阶线性非齐次方程 xp-p=x2，即 p- =x.而 ，于是两边同乘 因此 y=p=Cx+x 2再积分一次，即得原方程的通解为 y= x3+C1x2+C2，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 显然这是一个齐次方程，利用齐次方程的解法可以得到其通解这里若将 x 看
27、作 y 的函数，原方程可改写为 ，原方程又可改写为 ，分离变量得 u2du= 积分得 u3=3lny+C， 即x3=Cy3+3y3lny，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 令 ycosx=u，则 y=usecx，从而 y=usecx+usecxtanx，y=usecx+2usecxtanx+usecxtan 2x+usec3x代入原方程，则得u+4u=ex这是一个二阶常系数线性非齐次方程，其通解为u= ex+C1cos2x+C2sin2x代回到原未知函数，则有 y= ex+C1 +2C2sinx，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程27 【正确答
28、案】 将原方程改写为 f(x)=xsinx-x 0xf(t)dt+0xtf(t)dt因为 f(x)连续，所以方程的右端是可微的，因而左端的函数 f(x)也可微两端对 x 求导，又原式中令x=0，则原方程等价于 f(x)=xcosx+sinx- 0xf(t)dt，f(0)=0 (67)同理，方程右端仍可微，所以 f(x)存在二阶导数，再将(6 7)中的方程两边求导，并令 x=0，则得(67)等价于 f(x)=-xsinx+2cosx-f(x)，f(0)=0，f(0)=0 即 y=f(x)满足微分方程的初值问题 y+y=-xsinx+2cosx，y(0)=0，y(0)=0 (68)由于此方程的特征根为i，所以其特解应具形式 y*(x)=x(Ax+B)cosx+x(Cx+D)sinx代入方程，求出系数A，B，C ，D，则得其特解为 y*(x)= x22cosx+ xsinx，进而方程的通解为 y=f(x)= x2cosx+ xsinx+C1cosx+C2sinx (69)由 f(0)=0 可知 C1=0，而由 f(0)=0 又可推出 C2=0，所以 f(x)= x2cosx+ xsinx【知识模块】 常微分方程
