1、考研数学二（常微分方程与差分方程）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 设线性无关的函数 y1，y 2 与 y3 均为二阶非齐次线性微分方程的解，C 1 和 C2 是任意常数，则该非齐次线性方程的通解是( )（A）C 1y1+C2y2+y3（B） C1y1+C2y2 一(C 1+C2)y3（C） C1y1+C2y2+(1 一 C1C2)y3（D）C 1y1+C2y2 一(1 一 C1C2)y33 如果函数 y1(x)与 y2(x)都是以下四个选项给出方程的解，设 C1 与 C2 是任意常数，则 y=C1y1(x)+C2y2(x)必是 (
2、 )的解（A）)y”+y+y 2=0（B） y”+y+2y=1（C）（D）x+y+ 0xy(t)dt=14 设 是某二阶常系数非齐次线性方程的解，则该方程的通解是( )5 设 y1(x)和 y2(x)是微分方程 y”+p(x)y+q(x)y=0 的两个特解，则由 y1(x)，y 2(x)能构成该方程的通解的充分条件为( )（A）y 1(x)y2(x)一 y1(x)y2(x)=0（B） y1(x)y2(x)-y2(x)y1(x)0（C） y1(x)y2(x)+y1(x)y2(x)=0（D）y 1(x)y2(x)+y2(x)y1(x)06 微分方程 y“-y=ex+x 的特解形式为 y*=( )（
3、A）Ae x+Bx（B） Axex+Bx+C（C） Aex+Bx+C（D）Axe x+Bx2+C7 微分方程 y”+4y=cos 2x 的特解可设为 y*=( )（A）Acos 2x（B） Axcos 2x（C） x(Acos 2x+Bsin 2x)（D）Acos 2x+Bsin 2x二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 解下列一阶微分方程9 求下列微分方程满足初始条件的特解：(1)(y+x 3)dx 一 2xdy=0，且 (2)x2y+xy=y2，且 y|x=1=1；(3)xy+(1 一 x)y=e2x(x0)，且 y|x=1=0；(4)10 设 y=ex 是微分方程 xy+
4、p(x)y=x 的一个解，求此微分方程满足条件 y|x=ln2=0 的特解11 求满足方程 f(x)+xf(一 x)=x 的 f(x)12 已知 f(x)连续，且满足 01f(ux)du= ，求 f(x)13 如果 F(x)是 f(x)的一个原函数， G(x)是 的一个原函数，且 F(x)G(x)=一 1,f(0)=1，求 f(x)14 设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点记为 A已知 求 L 的方程15 设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点 (1
5、)求曲线 L 的方程；(2)求 L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L 及两坐标轴所围图形的面积最小16 求微分方程 xdy+(x 一 2y)dx=0 的一个解 y=y(x)，使得由曲线 y=y(x)与直线x=1，x=2 以及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体体积最小17 求解下列微分方程：(1)(x 3+xy2)dx+(x2y+y3)dy=0； (4)(5x4+3xy2 一 y3)dx+(3x2y 一 3xy2+y2)dy=018 设可微函数 f(x)满足方程 求 f(x)的表达式19 按要求求下列一阶差分方程的通解或特解 (1)求 yx+1-2yx=2x 的通解； (
6、2)求 yx+1一 2yx=3x2 满足条件 yx(0)=0 的解； (3)求 2yx+1+10yx 一 5x=0 的通解20 求下列可降阶的高阶微分方程的通解 (1)x 2y”=(y)2+2xy； (2)(1+x)y”+y=ln(x+1)； (3)1+yy”+(y) 2=0； (4)y”=1+(y) 221 求下列微分方程的初值问题22 在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点 P(x，y) 处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 长度的倒数(Q 是法线与 x 轴的交点) ，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行23 已知 y1=3，y 2=3+x2， y3=3+x2+ex 都是微分方程
7、(x 2 一 2x)y”一(x 2 一 2)y+(2x 一 2)y=6x 一 6 的解，求此方程的通解24 求微分方程 y“+4y+4y=eax 的通解，其中 a 是常数25 求微分方程 y“+2y+y=xex 的通解26 设有方程 y”+(4x+e2y)(y)3=0 (1) 将方程转化为 x 为因变量，y 作为自变量的方程； (2)求上述方程的通解27 求微分方程 y”+a2y=sin x 的通解，其中常数 a028 求方程 y“+4y=3|sinx|满足初始条件 一 x 的特解29 求微分方程 y”+y=x+cosx 的通解30 设函数 y=y(x)满足微分方程 y“-3y+2y=2ex，
8、 且其图形在点(0，1)处的切线与曲线 y=x2 一 x+1 在该点的切线重合，求 y=y(x)的表达式31 设 f(x)为连续函数，且 f(x)=sinx 一 0x(x 一 t)ft)dt，求 f(x)32 利用代换 将 y“cos x-2ysin x+3ycos x=ex 化简，并求原方程的通解33 设 (x)是方程 y“+y=0 的满足条件 y(0)=0，y(0)=1 的解，证明方程 y”+y=f(x)满足条件 y(0)=y(0)=0 的解为 y=0x(t)f(x-t)dt34 设函数 f(x)连续，且满足 f(x)=ex+0xtf(t)dt 一 x0xf(t)dt，求 f(x)的表达式
9、35 设 f(x)有二阶连续导数，且 f(0)=0，f(0)=一 1，已知曲线积分 Lxe2x-6f(x)sin ydx 一5f(x)-f(x)cos ydy 与积分路径无关，求 f(x)36 设 f(x)有二阶连续导数，且 f(0)=0，f(0)=1，且 xy(x+y)-A x)ydx+f(x)+x 2ydy=0 为一全微分方程，求 f(x)37 设 y1=e-x， y2=2xe-x，y 3=3ex 是某三阶常系数齐次线性微分方程的解，试确定该微分方程的形式.38 已知 y1=xex+e2x，y 2=xex+e-x，y 3=xex+e2xe-x 是某二阶线性非齐次方程三个解，求此微分方程39
10、 求解欧拉方程 x3y“+x2y”一 4xy=3x2考研数学二（常微分方程与差分方程）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 常微分方程与差分方程2 【正确答案】 C【试题解析】 如果设该二阶非齐次线性微分方程的形式为 y”+p(x)y+g(x)y=f(x) 由题意，y 1，y 2，y 3 均为其线性无关的解，则 y=C 1y1+C2y2+y3 是 y“+p(x)y+q(x)y=3f(x)的解，故 (A)选项不正确 y=C1y1+C2y2 一(C 1+C2)y3=C1(y1 一 y3)+C2(y2 一
11、y3)是方程对应的齐次方程的解，故(B)选项不正确 y=C 1y1+C2y2+(1 一 C1C2)y3=C1(y1 一 y3)+C2(y2 一 y3)+y3， 其中 C1(y1 一 y2)+C2(y2 一 y3)为齐次方程的通解，y3 为原方程的一个特解，故(C)选项正确 y=C 1y1+C2y2 一(1 一 C1C2)y3=C1(y1+y3)+C2(y2+y3)一 y3 是 y”+p(x)y+g(x)y=(2C1+2C21)f(x)的解， 综上讨论，应选(C)【知识模块】 常微分方程与差分方程3 【正确答案】 C【试题解析】 显然将 y 代入四个方程逐一验证虽可行，但效率低 选项(A)、(D
12、)都不是线性方程，可排除 对于(B)选项，y”+y+2y=1，则 y=C1y1+C2y2 应是 y”+y+2y=C1+C2 的解，而 C1，C 2 为任意常数，故(B)不正确，根据线性微分方程解的结构定理只有(C) 是正确的【知识模块】 常微分方程与差分方程4 【正确答案】 A【试题解析】 由解的结构定理，知 y1 一 y3=e-x 是对应的齐次方程的解也是对应的齐次方程的解从而 是齐次方程的解，且线性无关即对应的齐次方程的通解为 又 y=4y1-y2-2y3=为非齐次方程的解，综上，应选(A)【知识模块】 常微分方程与差分方程5 【正确答案】 B【试题解析】 y 1(x)、y 2(x)能构成
13、该方程的通解，需 y1(x)与 y2(x)线性无关由(B)知即 lny2(x)lny1(x)+C，从而 不为常数，即 y1(x)与 y2(x)线性无关，因此应选(B) 【知识模块】 常微分方程与差分方程6 【正确答案】 B【试题解析】 特征方程为 r2-1=0，特征根为 r1=1，r 2=一 1 设 y“-y=ex 的特解为y1*，由于 =1 为特征方程的单根，故设 y1*=Axex 设 y”一 y=x 的特解为 y2*，由于 =0 不是特征方程的根，故设 y2*=Bx+C，从而原方程的特解为 y*=y1*+y2*，故应选(B) 【知识模块】 常微分方程与差分方程7 【正确答案】 C【试题解析
14、】 特征方程为 r2+4=0故特征根为 r1,2=2i，由于 =2i 为特征方程的根，从而 y*应设为 x(Acos 2x+Bsin 2x)，应选(C)【知识模块】 常微分方程与差分方程二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 (1)方程为可分离变量方程，分离变量得 积分得一 ln|2一 ey|=ln(x+1)一 ln|C1|，C 1 为任意常数 从而方程的通解为(x+1)e y 一 2x=C(2)方程变形为 积分得通解为 ，同时，y=2n(n=0，1，2，)也是方程的解 方程为一阶线性微分方程，由通解公式这是以 x 为未知函数的一阶线性方程，由通解公式有 (5)方程
15、变形为 ，此为齐次方程从而所求方程的解为 x3+y3=Cxy(6)因方程含有 sin(x+y)项，可令 x+y=u，则即 积分并整理得通解 xcsc(x+y)一cot(x+y)=C，同时 x+y=k(k=0，1，)也是方程的解【知识模块】 常微分方程与差分方程9 【正确答案】 (1)方程变形为 此为一阶线性方程【知识模块】 常微分方程与差分方程10 【正确答案】 将 y=ex 代入原方程，得 xex+p(x)ex=x，解得 p(x)=xe-x 一 x方程化为 y+(e-x-1)y=1由通解公式，有 由 y|x=ln2=0，有【知识模块】 常微分方程与差分方程11 【正确答案】 将 x 换为一
16、x，有 f(一 x)一 xf(x)=一 x，由消去 f(一 x)，得【知识模块】 常微分方程与差分方程12 【正确答案】 即 f(x)=2+Cx【知识模块】 常微分方程与差分方程13 【正确答案】 即 f(x)=F(x).f(x)=F(x),亦即 f(x)=f(x),解得 f(x)=Ce，由 f(0)=1,C=1 从而 f(x)=ex【知识模块】 常微分方程与差分方程14 【正确答案】 曲线 L：y=y(z)在点 M(x，y)处的切线 MA 的方程为 Yy=y(X一 x)，令 X=0，解得 A 的坐标为 (0，y 一 xy)由于所求曲线在第一象限内，故方程为 将点 代入解得 C=3，于是所求曲
17、线方程为【知识模块】 常微分方程与差分方程15 【正确答案】 (1)L 过点 P(x，y)的切线方程为 Y=y=y(X 一 x)，其在 y 轴上的截距为 y 一 xy (2)曲线 在点P(x，y)处的切线方程为 它与 x 轴、y 轴交点分别为设 L 与 x 轴、y 轴在第一象限内所围图形的面积为 a，则所求面积为 (x0，y0)，【知识模块】 常微分方程与差分方程16 【正确答案】 将方程 xdy+(x 一 2y)dx=0 变形为【知识模块】 常微分方程与差分方程17 【正确答案】 (1)设 P=x3+xy2，Q=x 2y+y3， 此方程为全微分方程，u(x，y)= (0,0)(x,y)(x3
18、+xy2)dx+(x2y+y3)dy=0x(x3+xy2)dx+0yy3dy=从而通解为 (2)化为以 为未知函数，y 为自变量的伯努利方程原方程化为=一 xlnx，此为一阶线性方程，通解为 =Cx+x2(1 一 lnx)，即原方程通解为 (4)方程为全微分方程，P=5x 4+3xy2 一 y3，Q=3x 2y 一3xy2+y2， u(x，y)= (0,0)(x,y)Pdx+Qdy=0x5x4dx+0y(3x2y-3xy2+y2)dy=故所求方程的解为【知识模块】 常微分方程与差分方程18 【正确答案】 将方程两端对 x 求导有 f(x)=f 2(x)ln x- 此方程为伯努利方程，可求得通解
19、为 又 f(1)= dx=1，代入通解，得 c=1，从而【知识模块】 常微分方程与差分方程19 【正确答案】 (1)齐次差分方程 yx+1-2yx=0 的通解为 yx=C2x设特解形式为yx*=ax.2x，代入原方程得 故原方程的通解为 (2)齐次差分方程yx+1-2yx=0 的通解为 yx=C.2x 设特解形式为 yx*=ax2+bx+c，代入方程得 a=3，b=-6，c=-9，即通解为 yx=C.2x 一(3x 2+6x+9) 由 yx(0)=0，得 C=9，从而所求特解为yx=9.2x-3x2 一 6x 一 9 (3)齐次差分方程 2yx+1+10yx=0 的通解为 yx=C(-5)x
20、设特解形式为 yx*=ax+b，代入方程，得 2(ax+a+b)+10(ax+b) 一 5x=0，即，从而所求通解为【知识模块】 常微分方程与差分方程20 【正确答案】 (1)方程中不显含 y，故令 y=p，则 代入原方程，原方程变形为 即 此方程为伯努利方程，再令 则有(2)令 yp，则 y”=p，原方程化为 (x+1)p+p=ln(x+1) ， 分离变量并积分，原方程通解为 y=(x+C 1)ln(x+1)-2x+C2(3)令 p=y，方程中不显含 x，故 原方程化为(4)令 p=y，则原方程化为 p=1+p2，即 ，积分得 arctan p=x+C1，于是 P=y=tan(x+C1)，积
21、分得原方程的通解为 y=一 ln|cos(x+C1)|+C2【知识模块】 常微分方程与差分方程21 【正确答案】 (1)方程中不显含 x，令 y=p，则 ，原方程变形为由 y(0)=1，y(0)=2 知 P0，故 积分得 ln|p 一1|=2ln|y|+C1，即 p 一 1=C2y2，由 y(0)=2，得 C2=1，从而又由 y(0)=1，得 (2)令 y=p，则 由从而 y2=x+C2，再由 y(0)=1，得 C2=1，故所求特解为 y2=x+1【知识模块】 常微分方程与差分方程22 【正确答案】 曲线 y=y(x)在点(x，y)处的法线方程是 令 Y=0，得 Q 点坐标为(x+yy ，0)
22、 又曲线 y=y(x)在点 (1，1)处的切线与 x 轴平行，从而 x=1 时，y=1，y=0令 y=p，则 代入方程并整理得 即 =C1y由初始条件 y(1)=0，得 C1=1 积分得 archy=x+C2，由 y(1)=1，有C2=1，从而所求曲线方程为 y=ch(x 一 1)【知识模块】 常微分方程与差分方程23 【正确答案】 因为 y1，y 2，y 3 是所给线性非齐次方程的通解，所以 y2 一y1=(3+x2)一 3=x2 和 y3-y2=(3+x2+ex)一(3+x 2)=ex 是对应的齐次方程的两个解又从而 ex 与 x2 是线性无关的，而 y=3 是原非齐次方程的一个特解，故所
23、求的通解为 y=C1ex+C2x2+3【知识模块】 常微分方程与差分方程24 【正确答案】 齐次方程的特征方程为 r2+4r+4=0，解得特征根为 r1=r2=一 2，故对应的齐次方程的通解为 r=(C 1+C2x)e-2x当 a=-2 时，设非齐次方程的特解为y*=Ax2e-2x，代入原方程得 当 a-2 时，应设非齐次方程的特解为 y*=Beax，代入原方程得 综上，原方程的通解为【知识模块】 常微分方程与差分方程25 【正确答案】 特征方程 r2+2r+1=0 的两个根为 r1=r2=一 1 对应的齐次方程的通解为 Y=(C 1+C2x)e-x 设所求方程的特解为 y=(ax+b)ex，
24、则有 (y*)=(ax+a+b)ex，(y*)“=(ax+2a+b)e x代入所给方程，有 (4ax+4a+4b)ex=xex解得最后得到所求的通解为【知识模块】 常微分方程与差分方程26 【正确答案】 (1)由于 ，两边对 x 求导得于是原方程化为即 x”(y)一 4x=e2y (2)特征方程为 r2 一 4=0，得特征根 r1=一 2，r 2=2，故方程对应的齐次方程的通解为 x=C 1e-2y+C2e2y 设特解的形式为 x=Aye2y， x*“=4Ae 2y+4Aye2y【知识模块】 常微分方程与差分方程27 【正确答案】 对应的齐次方程的通解为 Y=C 1cosax+C2sinax(
25、1)当 a1 时，特征根+aii设原方程的特解为 y=Asinx+Bcosx，代入方程，得 A(a 21)sinx+B(a21)cos x=sinx，解得 故原方程的特解为 (2)当 a=1 时，设原方程的特解为 y=x(Asinx+Bcosx)，代入原方程，得 2Acosx 一2Bsinx=sinx解得 故原方程的特解为 综合上述讨论，得当 a1 时，通解为 y=C1cosax+C2sinax+ 当 a=1 时，通解为 y=C1cos x+C2sin x 一【知识模块】 常微分方程与差分方程28 【正确答案】 微分方程可写成 y”+4y= 当一 x0 时，求得通解为 y=C 1cos 2x+
26、C2sin 2xsinx当 0x 时，求得通解为 y=C 1cos 2x+C2sin 2x+sinx 于是 y(0)=1，y(0)=0 因为方程的解在 x=0 处连续且可导，代入到解 y=C 1cos 2x+C2sin 2x-sinx【知识模块】 常微分方程与差分方程29 【正确答案】 原方程所对应的齐次方程的通解为 Y=C 1cos x+C2sinx，设非齐次方程 y”+y=x 的特解为 y1=Ax+B代入方程得 A=1，B=0，所以 y1=x 设非齐次方程 y“+y=cos x 的特解为 y2=Excos x+Dxsinx，则 y 2“=一 2Esin x+2Dcosx 一 Excos x
27、-Dxsin x代入原方程得 原方程的通解为y=C1cosx+C2sinx+x+【知识模块】 常微分方程与差分方程30 【正确答案】 原方程所对应的齐次方程的通解为 Y=C 1ex+C2e2x设原方程的特解为 y*=Axex，代入方程得 A=一 2，故原方程的通解为 y=C1ex+C2e2x 一 2xex由于曲线与 y=x2 一 x+1 在点 (0，1)处有公共切线，从而 y(0)=1，y(0)=-1 ，因此解得 C1=1，C 2=0，于是 y=y(x)的表达式为 y=ex-2xex【知识模块】 常微分方程与差分方程31 【正确答案】 f(x)=cosx 一 0xf(t)dt，f”(x)=-s
28、in x-f(x)即 恃征方程为 r2+1=0，解得 r=i从而齐次方程的通解为 y=C1cos x+C2 sin x又设特解形式为 y*=x(acos x+bsinx)，代入原方程得【知识模块】 常微分方程与差分方程32 【正确答案】 由已知，y=usee x，y=usec x+usecx.tan x y“=u“secx+2usecx.tanx+usecx.tan2x+usec3x代入原方程得 u“+4u=ex其通解为 u=C1cos 2x+C2sin 2x+ 从而原方程的通解为【知识模块】 常微分方程与差分方程33 【正确答案】 由 y“+y=0，得通解 y=C 1 cosx+C2sinx
29、 再由 y(0)=0，y(0)=1，得C1=0，C 2=1，故 (x)=sinx 下面验证 y=0xsin tf(x 一 t)dt 是非齐次方程初值问题的解令 u=x 一 t，则有 y=一 x0sin(x 一 u)f(u)du=0xsin(x-u)f(u)du =sinx0xcos uf(u)du-cosx0x sinuf(u)du， y=cos x 0xcos uf(u)du+sin x0x sin uf(u)du， y”=sinx 0x cosuf(u)du+cos x0x sinuf(u)du+f(x) =-y+f(x)， 且 y(0)=y(0)=0【知识模块】 常微分方程与差分方程34
30、 【正确答案】 由已知条件，f(0)=1，将方程两端对 x 求导，得 f(x)=e x+xf(x)一0xf(t)dt-xf(x)=ex 一 0xf(t)dt，可见 f(0)=1，再对 x 求导，有 f”(x)+f(x)=e x，其通解为f(x)=C1cos x+C2sinx+ 由 f(0)=1，f(0)=1，得 即 f(x)=【知识模块】 常微分方程与差分方程35 【正确答案】 设 P=xe2x-6f(x)sin y，Q=一5f(x)-f(x)cos y 由题意 即 xe2x 一 6f(x)cosy=一5f(x)-f”(x)cos y，整理得 f”(x)一 5f(x)+6f(x)=xe2x，其
31、对应的齐次方程的通解为 Y=C1e2x+C2e3x 由于 2 是特征根，设特解形式为 y*=x(Ax+B)e2x代入原方程得 于是原方程通解为由 f(0)=0，f(0)=-1，得 C1=C2=0，【知识模块】 常微分方程与差分方程36 【正确答案】 由全微分方程的充要条件 得到 x2+2xy-f(x)=f“(x)+2xy，即f”(x)+f(x)=x2，解之得通解为 f(x)=C1cos x+C2sin x+x2-2 由 f(0)=0，f(0)=1，解得C1=2，C 2=1，因此 f(x)=2cos x+sin x+x2-2【知识模块】 常微分方程与差分方程37 【正确答案】 由 y1=e-x，
32、y 2=2xe-x 是齐次线性方程的解 知 r=一 1 是特征方程二重根 由 y3=3ex 是解，知 r=1 为特征方程的单根，从而特征方程为(r+1) 2(r 一 1)=0，即 r3+r2 一 r-1=0，故所求微分方程的形式为 y“+y“一 y一 y=0【知识模块】 常微分方程与差分方程38 【正确答案】 记方程的形式为 由已知条件知(1)式一(3)式，知 y=e-x 是齐次方程的解 (1)式一(2)式，知 y=e2x 是齐次方程的另一个解 由 e-x，e 2x 所确定的齐次方程是 y” 一 y一 2y=0 由(3)式知 y*=xex 是非齐次方程的一个特解，代入(3)式得 f(x)=(xex)”一(xe x)一 2xex=ex 一 2xex，故所求方程为 y”一 y一2y=ex 一 2xex【知识模块】 常微分方程与差分方程39 【正确答案】 令 x=et，原方程化为 y“一 2y”一 3y=3e2t特征方程为 r3 一 2r2一 3r=0，故特征根为 r1=0，r 2=一 1，r 3=3，于是齐次方程的通解为 y=C1+C2e-1+C3e3t由于 =2 不是特征方程的根，设特解的形式为 y*=Ae2t，代入方程 y“一2y”一 3y=3e2t，得 将 t=lnx 代入通解 y=C1+C2e-t+C3e3t 一中，得原方程的通解为【知识模块】 常微分方程与差分方程
