1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 y-y=ex+1 的一个特解应具有形式( 式中 a，b 为常数)( )（A）ae x+b（B） axex+b（C） aex+bx（D）axe x+bx2 在下列微分方程中以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C 2，C 3 为任意常数)为通解的是 ( )（A）y+y-4y-4y=0（B） y+y+4y+4y=0（C） y-y-4y+4y=0（D）y-y+4y-4y=0二、填空题3 设函数 (u)可导且 (0)=1，二原函数 z=(x+y)exy 满足
2、 ，则 (u)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 在 t=0 时，两只桶内各装 10L 的盐水，盐的浓度为 15gL，用管子以 2Lmin的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以 2Lmin 的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用 1Lmin 的速度输出求在任意时刻 t0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程5 某人的食量是 2500 卡天(1 卡=41868 焦) ，其中 1200 卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中，他所消耗的为 16 卡千克天乘以他的体重假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量 10000 卡，求
3、该人体重怎样随时间变化6 一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 18m，运动开始时链条一边下垂 8m，另一边下垂 10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?7 质量为 1g 的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在 t=10s 时，速度等于 50cms外力为 392cm s 2，问运动开始1min 后的速度是多少?8 设非负函数 f(x)当 x0时连续可微，且 f(0)=1由 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线围成的图形的面积与 y=f(x)在0，x上弧的长度相等，求 f(x)9 设函数 f(x)二阶连续可导，f(0)=1 且
4、有 f(x)+求 f(x)10 高度为 h(t)(t 为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足 z=h(t)- ，已知体积减少的速度与侧面积所成比例系数为 09，问高度为 130 的雪堆全部融化需要多少时间(其中长度单位是 cm，时间单位为 h)?11 早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午 2 点扫雪 2km，到下午 4 点又扫雪 1km，问降雪是什么时候开始的?12 设 A 从原点出发，以固定速度 v0 沿 y 轴正向行驶， B 从(x 0，0)出发(x 00)，以始终指向点 A 的固定速度 v1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程13 飞机在机场开始滑行着陆
5、，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为 v0(ms) ，飞机与地面的摩擦系数为 ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为 kx(kg.s2m 2)，在垂直方向的比例系数为ky(kg.s2m 2)设飞机的质量为 m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间14 设函数 y=y(x)满足y= x+o(x)，且 y(0)=0，求函数 y=y(x)15 设 f(x)在(-，+) 上有定义，且对任意实数 a， b，都有等式 f(a+b)=eaf(b)+ebf(a)成立，又 f(0)=1，求 f(x)16 设当 u0 时 f(u)一阶连续可导，且 f(1)=0，又二元函数 z=
6、f(ex-ey)满足=1，求 f(u)17 求微分方程 =x2+y2 满足条件 y x=e=2e 的特解18 微分方程 =y(lny-lnx)的通解19 求微分方程 的通解20 求微分方程 xy+(1-x)y=e2x(x0)的满足 的特解21 求微分方程 y+ycosx=(lnx)e-sinx 的通解22 求微分方程 的满足初始条件 y(1)=0 的特解23 求微分方程(1-x 2)y-xy=0 的满足初始条件 y(0)-0，y(0)=1 的特解24 已知微分方程 y+y=f(x)，其中 f(x)= ，求该微分方程的解 y=y(x)满足 y(0)=025 解方程(3x 2+2)y=6xy，已知
7、其解与 ex-1(x0)为等价无穷小26 求微分方程 yy+(y)2=0 的满足初始条件 y(0)=1，y(0)= 的特解27 设函数 y=y(x)满足微分方程 y-3y+2y=2ex，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x2-x+1 在该点的切线重合，求函数 y=y(x)28 求微分方程 y-y=4cosx+ex 的通解29 设连续函数 f(x)满足： f(x)+xf(xt)dt 与 x 无关，求 f(x)30 设 f(x)二阶可导，且 =x+1，求 f(x)31 设 u= ，求 f(t)的表达式考研数学二（常微分方程）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一
8、个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 y-y=0 的特征方程为 2-1=0，特征值为 1=-1， 2=1，y-y=e x 的特解形式为 y1=axex，y-y=1 的特解形式为 y2=b，故方程 y-y=ex+1 的特解形式为y=axex+b，应选 (B)【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 D【试题解析】 因为通解为 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x， 所以特征值为1=1， 2,3=2i， 特征方程为(-1)(-2i)(+2i)=0，整理得 3-2+4-4=0， 对应为微分方程为 y-y+4y-4y=0，应选(D)【知识模块】 常微分方程二、填空题3 【正确答
9、案】 【试题解析】 令 x+y=u，则再由 (0)=1 得C=1，故 (u)=【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 【正确答案】 设在任意时刻 t0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为 m1(t)，m2(t)，在时间t ，t+dt内有 dm1= ，且满足初始条件 m1(0)=150，解得 m1(t)= ；在时间t，t+dt内有，且满足初始条件 m2(0)=150【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 输入率为 2500 卡天，输出率为(200+16w)，其中 w 为体重，根据题意得【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 设链条的线密度为 ，取 x 轴正向
10、为垂直向下，设 t 时刻链条下垂x(t)m，则下垂那段的长度为(10+x)m，另一段长度为(8-x)m，此时链条受到的重力为(10+x)g-(8-x)g=2(x+1)g链条的总重量为 188，由牛顿第二定理 F=ma 得【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 由题意得 ，因为当 t=10 时，u=50，F=392，所以k=196，从而 F= ，分离变量得vdv=196tdt，所以 =98t2+C，由 v t=10=50，得 C=-8550，于是【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 根据题意得【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 因为两边对 x 求导得 f(x)+3f(x)+2f(x)
11、=e-x，由 2+3+2=0 得 1=-1， 2=-2，则方程 f(x)+3f(x)+2f(x)=0 的通解为 C1e-x+C2e-2x令 f(x)+3f(x)+2f(x)=e-x 的一个特解为y0=axe-x，代入得 a=1，则原方程的通解为 f(x)=C1e-x+C2e1-2x+xe-x由 f(0)=1，f(0)=-1 得 C1=0， C2=1，故原方程的解为 f(x)=e-2x+xe-x【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 t 时刻雪堆体积 V= 侧面积 S= ，根据题意得因为 h(0)=130，所以C=130，则 h(t)= ，得 t=100，即经过 100小时全部融化【知识模块
12、】 常微分方程11 【正确答案】 设单位面积在单位时间内降雪量为 a，路宽为 b，扫雪速度为 c，路面上雪层厚度为 H(t)，扫雪车前进路程为 S(t)，降雪开始时间为 T，则 H(t)=a(t-T)，又 bH(t)s=ct，【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 设 t 时刻 B 点的位置为 M(x，y)，则两边积分，得 由 y(x0)=0，得 c1= ，则 B 的轨迹方程为当 k=1 时，B 的轨迹方程为【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 水平方向的空气阻力 Rx=kxv2，垂直方向的空气阻力 Ry=kyv2，摩擦力为 W=(mg-Ry)，由牛顿第二定律，有【知识模块】 常微分
13、方程14 【正确答案】 由【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 取 a=0，b=0 得 f(0)=0通解为 f(x)=ex.edxdx+Ce-dx=(x+C)ex，由 f(0)=0 得 C=0，故 f(x)=xex【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 由，f(u)=lnu+C，由 f(1)=0得 C=0，故 f(u)=lnu【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 由将 x=e，u=2 代入得 C=1，所求的特解为 y2=2x2lnx+2x2【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 解得 ln-1=Cx，于是 u=eCx+1，故通解为 y=xeCx+1【知识模块】 常微分方程1
14、9 【正确答案】 通解为【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 原方程化为【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 通解为 y=(lnx)e-sinx.ecosxdxdx+Ce-cosxdx =(lnxdx+C)e-sinx=(xlnx-x+C)e-ssinx【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 原方程化为 =lnx通解为=Cx2-x(1+lnx)，由 y(1)=0得 C=1，故 y=x2-x(1+lnx)【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 由(1-x 2)y-xy=0 的由 y(0)=1 得 C1=1，从而y= 于是 y=arcsinx+C2，再由 y(0)=0 得 C2
15、=0，故 y=arcsinx【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 当 0x1时，y+y=2 的通解为 y=C1e-x+2；当 x1 时，y+y=0 的通解为 y=C2e-x，即 y= 由 y(0)=0 得 C1=-2，再由 C1e-1+2=C2e-1 得 C2=2e-2，故所求的特解为【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 由(3x 2+2)y=6xy得 从而 y=C1(3x2+2)，解得 y=C1x3+2C1x+C2，因为 C1x3+2C1x+C2e x-1x，所以C1= ，C 2=0，故所求的解为 y= x3+2x【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 由 yy+(y)2=0
16、 得(yy)=0，从而 yy=C1，进一步得=C1x+C2，由 y(0)=1，y(0)=【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 特征方程为 2-3+2=0，特征值为 1=1， 2=2，y-3y+2y=0 的通解为 y=C1ex+C2e2x令特解 y0=axex，代入得 a=-2，原方程的通解为 y=C1ex+C2e2x-2xex曲线 y=x2-x+1 在(0，1)处的斜率为 y x=0=-1，由题意得 y(0)=1，y(0)=-1，从而 解得 C1=1，C 2=0，故所求的特解为 y=ex-2xex【知识模块】 常微分方程28 【正确答案】 特征方程为 2-1=0，特征值为 1=-1， 2
17、=1，y-y=0 的通解为y=C1e-x+C2ex， 令 y-y=4cosx 的特解为 y1=acosx+bsinx，代入得 a=-2，b=0；令 y-y=ex 的特解为 y3=cxex，代入得 c= 特解为 y0=-2cosx+ xex，原方程通解为 y=C1e-x+C2ex-2cosx+【知识模块】 常微分方程29 【正确答案】 即 f(x)+f(x)=0，解得 f(x)=Ce-x【知识模块】 常微分方程30 【正确答案】 f(x)+f(x)=0，解得 f(x)=Ce-x，因为 f(0)=1，所以 C=1，故 f(x)=e-x【知识模块】 常微分方程31 【正确答案】 令由对称性得 f(1nr)=r5，从而 f(t)=e5t，【知识模块】 常微分方程
