1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 xdy+2ydx=0 满足初始条件 y x=2=1 的特解为( )（A）xy 2=4。（B） xy=4。（C） x2y=4。（D）一 xy=4。2 设曲线 y=y(x)满足 xdy+(x 一 2y)dx=0，且 y=y(x)与直线 x=1 及 x 轴所围的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则 y(x)=( )（A）（B）（C）（D）3 已知 y1(x)和 y2(x)是方程 y+p(x)y=0 的两个不同的特解，则方程的通解为( )（A）y=Cy 1(x)
2、。（B） y=Cy2(x)。（C） y=C1y1(x)+C2y2(x)。（D）y=cy 1(x)一 y2(x)。4 设 y1，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数 ， 使y1+y2 是该方程的解，y 1 一 y2 是该方程对应的齐次方程的解，则( )（A）（B）（C）（D）5 设线性无关的函数 y1，y 2，y 3 都是二阶非齐次线性方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，C1，C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是( )（A）C 1y1+C2y2+y3。（B） C1y1+C1y2 一(C 1+C2)y3。（C） C1y1+C2y2 一(1
3、一 C1C2)y3。（D）C 1y1+C2y2+(1 一 C1C2)y3。6 已知，y 1=x，y 2=x2，y 3=ex 为方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)的二个特解，则该方程的通解为( )（A）y=C 1x+C2x2+ex。（B） y=C1x2+C2ex+x。（C） y=C1(x 一 x2)+C2(x 一 ex)+x。（D）y=C 1(9C 一 x2)+C2(x2 一 ex)。7 具有特解 y1=e-x，y 2=2xe-x，y 2=3ex 的三阶常系数齐次线性微分方程是( )（A）y一 y一 y+y=0。（B） y+y一 y一 y=0。（C） y一 6y+11y一 6y=0。（D
4、）y一 2y一 y+2y=0。8 在下列微分方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C 2，C 3 为任意常数)为通解的是( )（A）y+y一 4y一 4y=0。（B） y+y+4y+4y=0。（C） y一 y一 4y+4y=0。（D）y一 y+4y一 4y=0。9 函数 y=C1ex+C2e-2x+xex 满足的一个微分方程是( )（A）y一 y一 2y=3xex。（B） y一 y一 2y=3ex。（C） y+y一 2y=3xex。（D）y+y一 2y=3ex。10 若 y=xex+x 是微分方程 y一 2y+ay=bx+c 的解，则 ( )（A）a=1 ，6=1，c
5、=1。（B） a=1，b=1，c=一 2。（C） a=一 3，b=一 3，c=0 。（D）a= 一 3，b=1，c=1。二、填空题11 微分方程 的通解是_。12 微分方程 的通解为_。13 微分方程 y=1+x+y2+xy2 的通解为_。14 微分方程 xy+y=0 满足初始条件 y(1)=2 的特解为_。15 微分方程 3extanydx+(1 一 ex)sec2ydy=0 的通解是_。16 微分方程 满足初始条件 y(1)=1 的特解是 y=_。17 微分方程 y+ytanx=cosx 的通解 y=_。18 微分方程 x=1 满足 y=1 的特解为_。19 微分方程 xy+2y=sinx
6、 满足条件 的特解为_。20 微分方程 y+y=e-xxcosx 满足条件 y(0)=0 的特解为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 求微分方程(x 2 一 1)dy+(2xycosx)dx=0 满足 y(0)=1 的解。22 求微分方程 y一 3y+2y=2xex 的通解。23 求微分方程 y一 a(y)2=0(a0)满足初始条件 y=0=0,y =一 1 的特解。23 已知函数 f(x)满足方程 f(x)+f(x)一 2f(x)=0 及 f(x)+f(x)=2ex。24 求 f(x)的表达式；25 求曲线 y=f(x2)0x 一 t2)dt 的拐点。26 求微分方程
7、 y(x+y2)=y满足初始条件 y(1)=y(1)=l 的特解。26 设函数 f(x)在0，+)上可导,f(0)=1，且满足等式27 求导数 f(x)；28 证明：当 x0 时，成立不等式 e-xf(x)1。29 设 f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+0tf(s)sinsds，求 f(t)。30 用变量代换 x=cost(0t)化简微分方程(1 一 x2)y一 xy+y=0，并求其满足y x=0=1，y x=0=2 的特解。31 利用代换 将方程 ycosx 一 2ysinx+3ycosx=ex 化简，并求出原方程的通解。考研数学二（常微分方程）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下
8、列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 原微分方程分离变量得 两端积分得 lny=一2lnx+lnC，x 2y=C，将 y x=2=1 代入得 C=4，故所求特解为 x2y=4。应选 C。【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 C【试题解析】 原方程可化为 ，其通解为曲线 y=x+Cx2 与直线 x=1 及 x 轴所围区域绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 D【试题解析】 由于 y1(x)和 y2(x)是方程 y+p(x)y=0 的两个不同的特解，则 y1(x)一y2(x)为该方程的一个非零解，则 y=Cy
9、1(x)一 y2(x)为该方程的解。【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 A【试题解析】 由已知条件可得由 y1+y2 仍是该方程的解，得(y 1+y2)+p(x)(y1+y2)=(+)q(x)，则 +=1；由 y1 一 y2 是所对应齐次方程的解，得(y 1一 y2)+(x)(y1 一 y2)=( 一 )q(x)，那么 一 =0。综上所述【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 y1，y 2，y 3 是二阶非齐次线性方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)线性无关的解，所以(y 1 一 y3)，(y 2 一 y3)都是齐次线性方程 y+p(x)y+q(x)y=0
10、的解，且(y2 一 y3)与(y 2 一 y3)线性无关，因此该齐次线性方程的通解为 y=C1(y1 一 y3)+C2 (y2一 y3)。比较四个选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，故本题的答案为D。【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 C【试题解析】 方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x 一 x2)和(xex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为 y=C1(x 一 x2)+C2(x 一 ex)+x，故选 C。【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 B【试题解析】 由 y1=e，y 2=2xe-x，y 3=3ex 是所求方程的三个
11、特解知，=一 1，一1，1 为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为( 一1)(+1)2=0，即 3+2 一 一 1=0，对应的微分方程为 y+y一 y一 y=0，故选 B。【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 D【试题解析】 已知题设的微分方程的通解中含有 ex、cos2x、sin2x，可知齐次线性方程所对应的特征方程的 特征根为 =1，=2i，所以特征方程为( 一 1)( 一 2i)(+2i)=0， 即 3 一 2+4 一 4=0。 因此根据微分方程和对应特征方程的关系，可知所求微分方程为 y一 y+4y一 4y=0。【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 D【
12、试题解析】 根据所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为 1=1， 2=一 2。因此对应的齐次微分方程的特征方程为 2+ 一 2=0故对应的齐次微分方程为 y+y一 2y=0。又因为 y*=xex 为原微分方程的一个特解，而 =1为特征根且为单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形式为 f(x)=Cex(C为常数)。比较四个选项，应选 D。【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 B【试题解析】 由于 y=xex+x 是方程 y一 2y+ay=bx+c 的解，则 xex 是对应的齐次方程的解，其特征方程有二重根 1=2=1，则 a=1。x 为非齐次方程的解，将 y=x代入
13、方程 y一 2y+y=bx+c，得 b=1，c=一 2，故选 B。【知识模块】 常微分方程二、填空题11 【正确答案】 y=Cxe -x(x0)【试题解析】 原方程等价为 两边积分得 lny=lnx一x+C。取 C=eC1，整理得 y=Cxe-x(x0)。【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 y=x.e Cx+1【试题解析】 令 y=xu，代入原方程，则有 zu+u=ulnu，即 两边求积分，即得 lnlnu 一 1=ln x+C，去掉对数符号与绝对值符号得y=xeCx+1，C 为任意常数。【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 【试题解析】 将已知微分方程变形整理得【知识模块】 常
14、微分方程14 【正确答案】 【试题解析】 原方程可化为(xy)=0，积分得 xy=C，代入初始条件得 C=2，故所求特解为 xy=2，即【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 tany=C(e x 一 1)3【试题解析】 两边同乘以 ，方程分离变量为【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 xe 1-x【试题解析】 此方程为一阶齐次微分方程，令 y=ux，则有 所以原方程可化为 解此微分方程得 lnlnu 一1=lnC 1x，去绝对值可得 lnu=C 1x+1，u=e C1x+1，将 u x=1=1 代入，得 C1=一 1，u=e 1-x，因此原方程的解为 y=xe1-x。【知识模块】
15、常微分方程17 【正确答案】 (x+C)cosx【试题解析】 直接利用一阶线性微分方程的通解公式可知【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 【试题解析】 将已知方程变形整理得， 根据通解公式得【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 y=e -xsinx【试题解析】 原方程的通解为 y=e -1dx(e-x/supcosx.e1dxdx+C) =e-x(cosxdx+C)=e-x(sinx+C)。由 y(0)=0 得 C=0，故所求解为 y=e-xsinx。【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16、21 【正确答案】 整理微分方程(x 2 一 1)dy+(2xycosx)sx=0，得先解对应的齐次方程 ，解得lny=一 lnx 2 一 1+C，即有 将上式代入原微分方程得到故 C(x)=sinx+c，则原微分方程的解为 又因为 y(0)=1，代入上式得到 c=一 1，则原微分方程的解为【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 齐次方程 y一 3y+2y=0 的特征方程为 23+2=0，由此得1=2， 2=1。即对应齐次方程的通解为 Y=C1e2x+C2ex。设非齐次方程的特解为y*=(ax+b)xex，则有 (y *)=ax2+(2a+b)x+bex。(y *)=ax2+(4a+b)x
17、+2a+2bex，代入原方程得 a=一 1，b=一 2，因此所求解为 y=C1e2x+C2ex 一 x(x+2)ex。【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 令 y=p，则 将之代入原方程，得 分离变量并积分 ，由此得 ,由 x=0，y=0，y=p=一 1，得 C1=1，即【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 齐次微分方程 f(x)+f(x)一 2f(x)=0 的特征方程为 2+ 一 2=0，特征根为 1=1， 2=一 2，因此该齐次微分方程的通解为 f(x)=C1ex+C2e-2x。再由 f(x)+f(x)=2e 得 2C 1ex 一 3C2e-2x=2ex
18、， 因此可知 C 1=1， C2=0。所以 f(x)的表达式为 f(x)=ex。【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 曲线方程为 则令 y=0 得 z=0。下面证明z=0 是 y=0 唯一的解，当 x0 时， 可知y 0；当 x 0 时，2x0，2(1+2x 2)ex20xe-t2dt0 可知 y0 可知 x=0 是 y=0 唯一的解。同时，由上述讨论可知曲线 y=f(x2)0xt 2)dt 在 x=0 左、右两边的凹凸性相反，因此(0，0) 点是曲线 y=f(x2)f(t 2)dt 唯一的拐点。【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 因本题不含 y，所以可设 y=p，于是 y=p，
19、因此原方程变为p(x+p2)=p，从而有 ，解之得 x=p(p+C)。将 p(1)=1 代入 x=P(P+c)得C=0 于是 x=p2，所以 ，从而 结合 y(1)=1 得 故【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 由题设知(x+1)f(x)+(x+1)f(x)一 0xf(t)dt=0。上式两边对 x 求导，得(x+1)f(x)=一(x+2)f(x)， 两边积分，得 lnf(x)=一 x 一ln(x+1)+C1，所以 在题设等式中令 x=0，得 f(0)+f(0)=0。又已知 f(0)=1，于是 f(0)=一 1，代入 f(x)的表达式，得 C=一 1，故有【知识模
20、块】 常微分方程28 【正确答案】 由(I)中结果知，当 x0 时 f(x)0，即 f(x)单调减少，又 f(0)=1，所以 f(x)f(0)=1。设 (x)=f(x)一 e-x，则当 x0 时，(x)0，即 (x)单调增加。因而 (x)(0)=0，即有 f(x)e-x。综上所述，当 x0 时，不等式 e-xf(x)1 成立。【知识模块】 常微分方程29 【正确答案】 因 f(t)连续，因此 0tf(s)sinsds 可导，从而 f(t)可导，于是【知识模块】 常微分方程30 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程31 【正确答案】 由 得y=usecx+usecxtanx，y=usecx+2usecxtanx+u(secxtan 2x+Sec3x)，代入原方程 ycosx一 2ysinx+3ycosx=ex，得 u+4u=ex。 (*)先求其相应齐次方程的通解。由于其特征方程为 2+4=0，则特征方程的根为 A=2i。所以通解为 u(x)=C1cosx2x+C2sin2x(C1，C 2 为任意常数)。再求非齐次方程的特解()设其特解为 u*(x)=Ae*，代入 (*)式，得(Ae x)+4Aex=Aex+4Aex=5Aex=ex，解得故(*)的通解为所以，原微分方程的通解为【知识模块】 常微分方程
