1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 18 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1()， 2()， 3()为二阶非齐次线性方程 ya 1()ya 2()yf() 的三个线性无关解，则该方程的通解为( )（A）C 11() 2()C 23()（B） C11() 2()C 23()（C） C11() 2()C 21() 3()（D）C 11()C 22()C 33()，其中 C1C 2C 312 微分方程 yye 1 的一个特解应具有形式( 式中 a，b 为常数)( )（A）ae b（B） aeb（C） aeb（D）ae b3 在下列微分方程中以 yC 1
2、eC 2cos2C 3sin2(C1，C 2，C 3 为任意常数)为通解的是( )（A）yy4y4y0（B） yy4y4y0（C） yy4y4y0（D）yy4y4y0二、填空题4 微分方程 ye -y 0 的通解为_5 微分方程 yy2(y) 20 的通解为_6 微分方程 y y( 0)的通解为_ 7 以 yC 1ee (C2cosC 3sin)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为_8 设 y()为微分方程 y4y4y0 满足初始条件 y(0)1，y(0)2 的特解，则01y()d_ 9 设函数 (u)可导且 (0)1，二元函数 z(y)e y满足 0，则 (u)_三、解答题解答应写出文字说明
3、、证明过程或演算步骤。10 设 A 从原点出发，以固定速度 v0 沿 y 轴正向行驶， B 从( 0，0)出发( 00)，以始终指向点 A 的固定速度 v1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程11 飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为 v0(ms) ，飞机与地面的摩擦系数为 ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为 k(kg.s2m 2)，在垂直方向的比例系数为ky(kg.s2m 2)设飞机的质量为 m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间12 设函数 yy()满足y o()，且 y(0)0，求函数 yy()13 设 f()在( ，)上有定
4、义，且对任意实数 a，b，都有等式 f(ab)e af(b)e bf(a)成立，又 f(0)1 ，求 f()14 设当 u0 时 f(u)一阶连续可导，且 f(1)0，又二元函数 zf(e e y)满足1，求 f(u)15 求微分方程 y 2 y2 满足条件 y e 2e 的特解16 微分方程 y(lnyln) 的通解17 求微分方程 的通解18 求微分方程 y(1)ye 2(0)的满足 y()1 的特解19 求微分方程 yycos (ln)esin 的通解20 求微分方程 2y ln 的满足初始条件 y(1)0 的特解21 求微分方程(1 2)yy0 的满足初始条件 y(0)0，y(0)1
5、的特解22 已知微分方程 yyf()，其中 f() ，求该微分方程的解yy()满足 y(0)023 解方程(3 22)y6y，已知其解与 e1(0)为等价无穷小24 求微分方程 yy(y) 20 的满足初始条件 y(0)1，y(0) 的特解25 设函数 yy()满足微分方程 y3y2y2e ，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线 y 2 1 在该点的切线重合，求函数 yy()26 求微分方程 yy4cose 的通解27 设连续函数 f()满足： 01f()f(t)dt 与 无关，求 f()28 设 f()二阶可导，且 0f(t)dt 0tf(t)dt ，求 f()29 设 uf(ln )满足
6、，求 f(t)的表达式考研数学二（常微分方程）模拟试卷 18 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1()， 2()， 3()为方程 ya 1()ya 2()yf()的三个线性无关解， 所以 1() 3()， 2() 3()为方程 ya 1()ya 2()y0 的两个线性无关解， 于是方程 ya 1()ya 2()yf()的通解为 C 11() 3()C 22() 3() 3() 即 C11()C 22()C 33()， 其中 C31C 1C 2 或C1C 2C 31，选 D【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 B【
7、试题解析】 yy0 的特征方程为 210，特征值为 11， 21， yye 的特解形式为 y1ae ，yy1 的特解形式为 y2b， 故方程 yye 1 的特解形式为 yae b，应选 B【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 D【试题解析】 因为通解为 yC 1eC 2cos2C 3sin2， 所以特征值为11， 2,22i， 特征方程为 (1)( 2i)( 2i)0，整理得3 2440， 对应为微分方程为 yy4y4y0，应选 D【知识模块】 常微分方程二、填空题4 【正确答案】 e y【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 yC 或者 C 1C 2【知识模块】 常微分方程6 【正确答
8、案】 arcsin lnC【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 y3y4y2y0【试题解析】 特征值为 11， 2,31i ，特征方程为 (1)(1i)(1i)0， 33 2420，所求方程为 y3y4y2y0【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 (e21)【试题解析】 y4y4y0 的通解为 y(C 1C 2)e2， 由初始条件 y(0)1，y(0) 2 得 C11， C20，则 ye 2， 于是【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 设 t 时刻 B 点的位置为 M(，y)，则 ，即yv
9、 0t 两边对 求导，得代入(*)得令 yp 由两边积分，得 p ，由 y(0)0，得c0 0k， 从而 p 当 k1 时，y由 y(0)0，得c1 ，则 B 的轨迹方程为当 k1 时，B的轨迹方程为 y 【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 水平方向的空气阻力 Rk v2，垂直方向的空气阻力 Ryk yv2，摩擦力为 W (mgR y)， 由牛顿第二定律，有g0 记 A ，Bg，显然 A0，故有分离变量得 ，两边积分得tC， 又当 t0 时，C ， 所以当 v0 时，【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 由y o( )得 yy()可导且由 y(0)0 得 C ，故 y 2【知识模
10、块】 常微分方程13 【正确答案】 取 a0 ，b0 得 f(0)0通解为 f() e.ed dCe d ( C)e ， 由 f(0)0 得 C0，故 f()e 【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 e f(ee y)， e yf(ee y)， 由 1 得f(ee y) ， 即 f(u) ，f(u)lnuC， 由 f(1)0 得 C0，故 f(u)lnu【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 由 y 2y 2 得 原方程化为整理得 udu ，积分得 u2lnC， 将 e ，u2代入得 C1，所求的特解为 y22 2ln2 2【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 y(lnyln)
11、 化为 ， 令 u ，原方程化为 u ulnu，变量分离得 积分得 ln(lnu1)lnlnC， 解得 lnu1C，于是 ue C1 ，故通解为 ye C1 【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 通解为 y【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 原方程化为由 y()1 得 C1 ， 故特解为 y【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 通解为 y(ln)e sin .ecosddCe cosd (lnd C)esin (ln C)e sin 【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 原方程化为由 y(1)0 得 C1，故 y 2(1 ln)【知识模块】 常微分方程21 【正确答案
12、】 由(1 2)yy0 的 y 0，解得 y， 由 y(0)1 得 C11，从而 y ， 于是yarcsinC 2，再由 y(0)0 得 C20， 故 yarcsin【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 当 01 时，yy2 的通解为 yC 1e 2； 当 1 时，yy0 的通解为 yC 2e ， 即 y 由 y(0)0得 C1 2，再由 C1e1 2C 2e1 得 C22e2， 故所求的特解为【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 由(3 2 2)y6y得 0，或0， 从而 yC 1(322)，解得 y C132C 1C 2， 因为C132C 1C 2e 1，所以 C1 ，C 20
13、， 故所求的解为 y 32 【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 由 yy(y) 20 得(yy) 0，从而 yyC 1， 进一步得( y2)C 1 于是 y2C 1C 2， 由 y(0)1，y(0)【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 特征方程为 23 20，特征值为 11， 22， y3y2y0 的通解为 yC 1eC 2e2 令特解 y0ae ，代入得 a2， 原方程的通解为 yC 1eC 2e22e 曲线 y 21 在(0，1)处的斜率为y 01 ， 由题意得 y(0)1，y(0)1， 从而 解得C11， C2 0， 故所求的特解为 ye 2e 【知识模块】 常微分方程26
14、 【正确答案】 特征方程为 210，特征值为 11， 21， yy0 的通解为 yC 1e C 2e， 令 yy4cos 的特解为 y1acos bsin ，代入得a2，b 0； 令 y ye 的特解为 y3ce 代入得 c ， 特解为y02cos e， 原方程通解为 yC 1e C 2e2cos e【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 01f() f(t)dtf() 01f(t)d(t)f() 0f(u)du， 因为 01f()f(t)dt 与 无关，所以 df() 0f(u)du0， 即 f()f()0，解得 f()Ce 【知识模块】 常微分方程28 【正确答案】 0tf( t)dt 0f(u)du 0uf(u)du 0f(t)dt 0tf(t)dt， 0f(t)dt 0tf(t)dt 化为 0f(t)dt 0f(t)dt 0tf(t)dt ，两边求导得 f() 0f(t)dt1，两边再求导得 f()f() 0，解得 f()Ce ， 因为 f(0)1，所以 C1，故 f()e 【知识模块】 常微分方程29 【正确答案】 令 r，uf(lnr)，由对称性得 原方程化为 f(lnr)r 5，从而 f (t)e 5t， f(t) e5tC 1，故 f(t) e5tC 1tC 2【知识模块】 常微分方程
