1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 19 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 y4y 2 的通解为( ) （A）(C 1C 2)e2（B） (C1C 2)e-2（C） C1e-2 C2e2（D）C 1e-2C 2e22 设 y()是微分方程 y(1)y 2ye 满足初始条件 y(0)0，y(0)1 的解，则 ( )（A）等于 1（B）等于 2（C）等于 0（D）不存在3 二阶常系数非齐次线性微分方程 y2y3y(21)e 的特解形式为( )（A）(ab)e （B） 2e（C） 2(ab)e （D）(ab)e 二、填空题4 微分方程 y y 的通
2、解为_5 设二阶常系数非齐次线性微分方程 yyqyQ()有特解 y3e -4 232，则 Q()_，该微分方程的通解为_6 以 yC 1e-2C 2ecos 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为_7 设 y3yay 5e - 的特解形式为 Ae-，则其通解为_8 设 f()可导，且 01f()(t)dt 1，则 f()_9 设 yy()满足y o()，且有 y(1)1，则 02y()d_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 yy()二阶可导，且 y0， (y)是 yy()的反函数 (1)将 (y) 所满足的微分方程 0 变换为 yy()所满足的微分方程； (2)求变换后
3、的微分方程满足初始条件 y(0)0，y(0) 的解11 设函数 f(，y)可微， f( ，y)，f(0 ， )1，且e coty，求 f(，y) 12 设函数 f()(0)可微，且 f()0将曲线 yf() ， 1，a(a1)及 轴所围成平面图形绕 轴旋转一周得旋转体体积为 a2f(a)f(1)若 f(1) ，求： (1)f()； (2)f()的极值13 设函数 f()满足 f()2f()，且由曲线 yf()，1 及 轴(0)所围成的平面图形为 D若 D 绕 轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：(1)曲线 y f()；(2)曲线在原点处的切线与曲线及直线 1 所围成的平面图形的面积14 位于上半
4、平面的上凹曲线 yy()过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(，y)处的曲率与 及 1y 2 之积成反比，比例系数为 k ，求yy()15 一条曲线经过点(2，0)，且在切点与 y 轴之间的切线长为 2，求该曲线16 设曲线 L1 与 L2 皆过点(1，1) ，曲线 L1 在点(， y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L2 在点(， y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积17 用变量代换 sint 将方程(1 2) 4y0 化为 y 关于 t 的方程，并求微分方程的通解18 用变量代换 lnt 将方程 e 2y0 化为 y 关于 t 的方程，并求
5、原方程的通解19 设 yy ()是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(，y)处的曲率为 ，又此曲线上的点(0，1) 处的切线方程为 y 1，求该曲线方程，并求函数 y()的极值20 飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行，当飞机行至 O 时被发现，随即从 轴上( 0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去( 00) ，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v (1)求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件； (2)导弹运行方程21 细菌的增长率与总数成正比如果培养的细菌总数在 24h 内由 100 增长到400，求前 12h 后的细菌总数22 某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 ，流入
6、湖泊内不含 A 的水量为 ，流出湖的水量为 设 1999 年底湖中 A 的含量为 5m0，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000 年初开始，限定排入湖中含 A 污水的浓度不超过 问至多经过多少年，湖中污染物 A 的含量降到 m0 以内(设湖中 A 的浓度是均匀的)?23 在 t0 时，两只桶内各装 10L 的盐水，盐的浓度为 15gL，用管子以2Lmin 的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以2Lmin 的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用 1Lmin 的速度输出求在任意时刻 t0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程24 某人的食量是 2500
7、卡天(1 卡41868 焦)，其中 1200 卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中，他所消耗的为 16 卡千克天乘以他的体重假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量 10000 卡，求该人体重怎样随时间变化25 一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 18m，运动开始时链条一边下垂 8m，另一边下垂 10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?26 质量为 1g 的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在 t10s 时，速度等于 50cms外力为 392cm s 2，问运动开始1min 后的速度是多少?27 设非负函数 f()当 0 时连续可微，且
8、f(0)1由 yf() ， 轴，y 轴及过点(， 0)且垂直于 轴的直线围成的图形的面积与 y f()在0，上弧的长度相等，求 f()28 设函数 f()二阶连续可导，f(0)1 且有 f()3 0f(t)dt2 01f(t)dte 0，求 f()29 早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午 2 点扫雪 2km，到下午 4 点又扫雪 1km，问降雪是什么时候开始的?考研数学二（常微分方程）模拟试卷 19 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 微分方程 y4y0 的特征方程为 240，特征值为2
9、，2，则方程 y4y0 的通解为 C1e2 C 2e2，显然方程 y4y2 有特解，选 D【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 A【试题解析】 微分方程 y(1)y 2ye 中，令 0，则 y(0)2， 于是， 故选 A【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 D【试题解析】 方程 y2y3y(21)e 的特征方程为 22 30，特征值为 11 ， 23，故方程 y2y3y(2 1)e 的特解形式为 (ab)e ，选 D【知识模块】 常微分方程二、填空题4 【正确答案】 arcsin lnC【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 12 2 3419；yC 1e4 C 2e3 23 2(其
10、中 C1，C 2 为任意常数)【试题解析】 显然 4 是特征方程 2q0 的解，故 q12， 即特征方程为 2120，特征值为 14， 23 因为 232 为特征方程 yy12yQ()的一个特解， 所以 Q()22312( 232)12 23419， 且通解为 yC 1e4 C 2e3 232(其中 C1，C 2 为任意常数)【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 yy2ysin3cos【试题解析】 特征值为 12， 21，特征方程为 220， 设所求的微分方程为 yy2yQ()，把 ycos 代入原方程，得 Q()sin 3cos，所求微分方程为 yy2ysin 3cos【知识模块】 常微
11、分方程7 【正确答案】 yC 1e C 2e4 e 【试题解析】 因为方程有特解 Ae ，所以1 为特征值，即 (1) 23( 1)a0，则推出 a4， 所以特征方程为 2 340 11， 24，齐次方程 y3yay0 的通解为 yC 1e C 2e4，再把 Ae 代入原方程得A1，原方程的通解为 yC 1e C 2e4 e 【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 e 【试题解析】 由 11f()f(t)dt 1 得 01f()dt 01f(t)d(t)1， 整理得 f() 0f(u)du 1，两边对 求导得 f() f()0，解得 f()Ce ，因为 f(0)1，所以 C1，故 f()e
12、【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 【试题解析】 由y o( )得函数 yy() 可微且 y，积分得 因为 y(1)1，所以 C0， 于是 y() ，故【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 代入原方程得yysin，特征方程为 r210，特征根为 r1,21，因为 i 不是特征值，所以设特解为 y*acosbsin，代入方程得 a0，b ，故 y* sin，于是方程的通解为 yC 1eC 2e sin，由初始条件得 C11，C 21，满足初始条件的特解为 ye e sin【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 解得 f(0，y)C
13、siny 由 f(0， )1，得 C1，即 f(0，y)siny 又由f(，y)，得 lnf(，y) ln(y)， 即 f(，y)(y)e ，由 f(0，y)siny ，得 P(y)siny，所以 f(，y)e 3 siny【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 (1)由题设知 1af2()d a2f(a) f(1)，两边对 a 求导，得 3f2(a)2af(a)a 2 ， 令， 即 f(a)，由 f(1) ，得 c1，所以 f() (2)因为 f()， 令 f()0，得 ， 又因为 f()0，所以 为极大值【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 (1)由 f()2f() f()c 2
14、 设平面图形 D 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V，则因为 V(c) 0，所以 c 为 V(c)的最小值点，且曲线方程为 f) 2 (2)f()1 ，f(0) 1，曲线 f() 2 在原点处的切线方程为y， 则 A【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 因为p(2)0，所以 C10，故 yP ， 进一步解得， 因为 y(0)2，所以 C20，故曲线方程为y 2【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 曲线在点(，y) 处的切线方程为 yyy(X )， 令 X0，则Yyy，切线与 y 轴的交点为(0，yy) ， 南题 2 得 2y2，4，解得 y，变量分离得 dy d，积分得 yC 因
15、为曲线经过点(2，0)，所以 C0，故曲线为 y【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 对曲线 L1，由题意得 2 ，解得 y(2C 1)， 因为曲线L1 过点(1 ，1)，所以 C1 1，故 L1：y2 2 对曲线 L1，由题意得 (y)2，解得 y ， 因为曲线 L2 过点(1，1)，所以 C21，故 L2：y2 由 22 2 得两条曲线的交点为 ( ，0) 及(1，1) ，故两条曲线所围成区域的面积为【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 代入原方程得 4y0 4y0 的通解为 yC 12t C 2e2t， 故原方程的通解为yC 1e2arcsin C 2e2arcsin【知识模
16、块】 常微分方程18 【正确答案】 代入原方程得y0 y0 的通解为 yC 1costC 2sint， 故原方程的通解为yC 1coseC 2sine【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 因为曲线是上凸的，所以 y0，由题设得令 yp，y ，则有(1 p 2) arctanpC 1 因为曲线 yy()在点(0，1)处的切线方程为y1，所以 P 0 1，从而 ytan( )，积分得ylncos( ) C 2 因为曲线过点(0，1)，所以 C21 ， 所求曲线为ylncos( )1 ，( ) 因为 cos( )1，所以当 时函数取得极大值 1 【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 (1
17、)设 t 时刻导弹的位置为 M(，y)，根据题意得， 两边对 求导数得所以导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件为 (2)令 ，则故轨迹方程为 y 【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 设 t 时刻细菌总数为 S，则有 kS，S(0) 100，S(24) 400，所以S ，S(12) 100e ln2200【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 设从 2000 年初开始，第 t 年湖中污染物 A 的总量为 m，则浓度为 ，任取时间元素t，tdt， 排入湖中污染物 A 的含量为， 流出湖的污染物 A 的含量为 ， 则在此时间元素内污染物 A 的改变量为 ， 解得 m又由 m(0) 5m0
18、，得 C ， 于是 m ， 令mm 0，得 t6ln3，即至多经过 7 年，湖中污染物 A 的含量不超过 m0【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 设在任意时刻 t0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为， m1(t)，m2(t)，在时间t ，tdt内有 dm1 2dt，即 0，且满足初始条件，m 1(0)150 ， 解得 m1(t) ；在时间t ，t dt 内有， 且满足初始条件 m2(0)150【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 输入率为 2500 卡天，输出率为(120016w)，其中 w 为体重， 根据题意得 ，(0) 0， 由 ，得 w(t) ，代入初始条件得 Cw 0 ，
19、于是 w(t)【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 设链条的线密度为 ，取 轴正向为垂直向下，设 t 时刻链条下垂(t)m，则下垂那段的长度为(10)m，另一段长度为(8)m，此时链条受到的重力为 (10 )g(8)g2(1)g 链条的总重量为 18，由牛顿第二定理Fma 得 ， 且 (0)0，(0)0， 解得 (t)，当链条滑过整个钉子时，8，【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 由题意得 Fk ，因为当 t10 时，v50，F392，所以k196， 从而 F196 ， 又因为 Fm ，所以 ， 分离变量得vdv196tdt， 所以 v298t 2C，由 v t10 50，得 C
20、8550， 于是【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 根据题意得 0f(t)dt ， 所以分离变量得 d，积分得 lnC(y ) ，或者 C(y )e ， 由 y(0)1，得 C1，所以 ye ，解得 y ch【知识模块】 常微分方程28 【正确答案】 因为 01f(t)dt 0f(u)du，所以 f()3 0f(t)dt2 01f(t)dte 0 可化为 f() 3 0f(t)dt2 0f(t)dte 0， 两边对 求导得 f()3f()2f()e ， 由 23 20 得 11 ， 22， 则方程 f()3f()2f()0 的通解为 C1e C 2e2 令 f() 3f()2f()e 的一个特解为 y0ae ，代入得 a1， 则原方程的通解为 f()C 1e C 2e2 e 由 f(0)1，f(0)1 得 C10，C 21，故原方程的解为 f()e 2 e 【知识模块】 常微分方程29 【正确答案】 设单位面积在单位时间内降雪量为 a，路宽为 b，扫雪速度为 c，路面上雪层厚度为 H(t) ，扫雪车前进路程为 S(t)，降雪开始时间为 T，则 H(t)a(tT)，又 bH(t)sct， 且 S(12)0，S(14)2，S(16)3，【知识模块】 常微分方程
