1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 y=x/lnx 是微分方程 y=y/x+(x/y)的解，则 (x/y)的表达式为（A）-y 2/x2（B） y2/x2（C） -x2/y2（D）x 2/y22 设 y1，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y.+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数 ， 使y1+y2 是该方程的解，y 1-y2 是该方程对应的齐次方程的解，则（A）=1/2,=1/2（B） =-1/2,=-1/2（C） =2/3,=1/3（D）=2/3,=2/33 已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量
2、且当x0 时，a 是 x 的高阶无穷小，y(0)=，则 y(1)等于（A）2（B） （C） e/4（D）e /44 函数 y=C1ex +C2e-2x +xex 满足的一个微分方程是（A）y“-y-2y=3xe x （B） y“-y-2y=3ex （C） y“+y-2y=3xex （D）y“+y-2y=3e x 5 微分方程 y“+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为（A）y * =ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)（B） y* =x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)（C） y*=ax2+bx+c+Asinx（D）y * =ax2+bx+c+Acosx二、填空题6 微
3、分方程 y“-4y=e2x 的通解为_.7 二阶常系数非齐次线性微分方程 y“-4y+3y=2e2x 的通解为 y=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 求微分方程 y=y(1-x)/x 的通解。9 求过点（1/2,0）且满足 的曲线方程。10 微分方程(y+x 3)dx-2xdy=0 满足 y x=1=6/5 的特解。11 求微分方程 xy+2y=xlnx 满足 y(1)=-1/9 的解。12 求微分方程(y+x 2e-x)dx-xdy=0 的通解 y.13 求微分方程 y+y=e-xcosx 满足条件 y(0)的解。14 求微分方程 ydx+(x-3y2)dx=0 满足条
4、件 y x=1=1 的解 y。15 设 y=e-x 是微分方程 xy+p(x)y=x 的一个解，求此微分方程满足条件 y x=ln2=0 的特解。16 17 求微分方程 yy“+y2=0 满足初始条件 y x=0=1，y x=0=1/2 的特解。18 求微分方程 yy“+y2=0 满足初始条件 y(1)=y(1)=1 的特解。19 已知 y1=xex+e2x，y 2=xex+e-x，y 3=xex+e2x-e-x 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程19 函数 f(x)在20 求导数 f(x)；21 证明：当0 时，成立不等式 e-xf(x)1考研数学二（常微分方程）模拟试卷 1
5、答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 A【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 D【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 D【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 A【知识模块】 常微分方程二、填空题6 【正确答案】 C 1e2x+C2e-2x+x/4e2x【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 C 1ex+C2e3x+2ex【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程10 【正
6、确答案】 【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 由 e-x， e2x 是齐次解，可知，r 1=-1,r2=-2 是特征方程的两个根，特征方程可转化为(r+1)(r-2)=0 即 r2-r-2=0,起相应的微分方程为 y“-y-2y=0 设 y“-y-2y=f(x) 把 xex 代入，得 f(x)=（xe x）“-（xe x）-2（xe x）=(1-2x)e x 所以 y“-y-2y=(1-2x)ex【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程
