1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 24 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设线性无关的函数 y1y 2，y 3 都是二阶非齐次线性微分方程 y”+py+qy=f(x)的解，C1、C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是（A）C 1y1+C2y2+y3（B） C1y2+C2y2 一(C 1+C2)y3（C） C1y1+C2y2 一(1 一 C1C2)y3（D）C 1y1+C2y2+(1 一 C1C2)y3二、填空题2 微分方程 =y(xyx+y1)的通解为_3 微分方程(y 2+x)dx 一 2xydy=0 的通解为_4 微分方程 的通解为_5 方程
2、 y“一 3y+2y=2ex 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 求微分方程 的通解7 求下列方程通解或满足给定初始条件的特解：1)y+1=xe x+y2)3)y+ytanx=cosx4)(1+x)y”+y=05)yy”一(y) 2=y4，y(0)=1y(0)=06)y“+4y+1=07)y“+9y=cos(2x+5)8)y“一 3y”+9y+13y=e2xsin2x8 已知 y1=3， y2=3+x2，y 3=3+ex是二阶线性非齐次方程的解，求方程通解及方程9 已知函数 y=e2x+(x+1)ex 是二阶常系数线性非齐次方程 y”+ay+by=cex 的一个特解
3、，试确定常数 a，b，c 及该方程的通解10 设有微分方程 y一 2y=(x)，其中 (x)= 试求在(一,+)内的连续函数 y=y(x)，使之在 (一，1)，(1 ，+)内都满足所给方程，且满足条件 y(0)=011 已知 y“+(x+e2y)y3=0。若把 x 看成因变量，y 看成自变量，则方程化为什么形式?并求此方程通解12 求分别满足下列关系式的 f(x) 1)f(x)= 0xf(t)dt，其中 f(x)为连续函数； 2)f(x)+xf(一 x)=x13 设 f(x)连续，且 01f(tx)dt= +1，求 f(x)14 设 f(x)在 x0 上有定义，且对任意正实数 x，y f(xy
4、)=xf(y)+yf(x),f(1)=2，试求f(x)15 设 (x)连续，且 (x)+0x(x 一 u)(u)du=ex+2x01(xu)du,试求 (x)16 设 f(x)在(0，+)上可导，f(1)=3 1xyf(t)dt=x1yf(t)dt+y1xf(t)dt 求 f(x)17 设(r，)为极坐标，r0，02，设 u=u(r，)具有二阶连续偏导数，并满足=0，求 u(r，)18 设 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足 f u(u，v)+f v(u，v)=uv 求 y=e-2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解19 设函数 f(t)= ，且 f(t)连续，试求 f(t)20
5、 求方程 y(4)-y“=0 的一个特解，使其在 x0 时与 x3 为等价无穷小21 设对任意 x0，曲线 y=f(x)上点(x，f(x)处的切线在 y 轴上的截距等于 f(t)dt,求 f(x)的一般表达式22 在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点 P(x，y) 处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 长度的导数(Q 是法线与 x 轴的交点) ，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行23 设函数 f(x)在1，+上连续，若由曲线 y=f(x)，直线 x=1，x=t(t1)与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 V(t)= t2f(t)一 f(1)试求y=f(
6、x)所应满足的微分方程并求该微分方程满足条件 的解24 以 yOz 坐标面上的平面曲线段 y=f(z)(0zh)绕 z 轴旋转所构成的旋转曲面和xOy 坐标面围成一个无盖容器，已知它的底面积为 16cm3，如果以 3 cm3s 的速率把水注入容器，水表面的面积以 cm3s 增大，试求曲线 y=f(z)的方程25 要设计一形状为旋转体的水泥桥墩，桥墩高为 h，上底面半径为 a，要求桥墩在任一水面上所受上部桥墩的平均压强为一常数 P，设水泥比重为 ，试求桥墩形状考研数学二（常微分方程）模拟试卷 24 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识
7、模块】 常微分方程二、填空题2 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 y 2=x(ln|x|+C)【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 y=C 1ex+C2e2x 一 2xex【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 2)x(csc(x+y)一 cot(x+y)=C3)y=(x+C)cosx4)y=C1ln|1+x|+C2【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 所求方程为(2x 一 x2)y”+(x2 一 2)y+2(1 一 x)y=6(
8、1-x)通解为： y=C1x2+C2ex+3【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 a=一 3，b=2,c= 一 1y=C 1e2x+C2ex+xex【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 原方程化为 xy”一 x=e2y通解为 x=C1ey+C2e-y+【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 1)f(x)=0 2)x-arctanx+【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 f(x)=Cx+2 【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 f(x)=2xlnx.【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程16 【正
9、确答案】 f(x)=3lnx+3【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 u=C 1+C2lnr【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 y+2y=x 2e-2x【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 f(t)=(4t 2+1)【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 y=-6x+3e x 一 3e-x【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 f(x)=C 1lnx+C2【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 3f 2(t)=2tf(t)+t2f(t)【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 y=f(z)=【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 桥墩应为曲线段 (0xh)绕 x 轴旋转所成的面与平面x=0 和 x=h 所围成的旋转体【知识模块】 常微分方程
