1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 2 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。0 设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点(1/2，0)1 试求曲线 L 的方程；2 求 L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形的面积最小2 设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点 ，其上任一点 P(x，y)处的法线与 y 轴的交点为 Q，且线段 PQ 被 x 轴平分3 求曲线 y=f(x)的方程；4 已知曲线 y=sinx 在上的弧长为 l，试用 l 表示曲线 y=f(x)的
2、弧长 s5 设函数 y(x)具有二阶导数，且曲线 l：y=y(x)与直线 Y=x 相切于原点记 a 为曲线 f 在点 (x,y，)处切线的倾角，若 da/dx=dy/dx,求 y(x)的表达式6 设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为S1，区间上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1-S2 恒为 1，求此曲线y=y(x)的方程7 设 f(x)是区间0，+)上具有连续导数的单调增加函数，且 f(0)=1对任意的t0，+)，直线 x=0
3、，x=t，曲线 y=f(x)以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 f(x)的表达式8 一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 S 成正比，比例常数k0假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 r0 的雪堆在开始融化的 3 小时内，融化了其体积的 7/8，问雪堆全部融化需要多少小时 ?9 某飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下 现有一质量为 9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700kmh经测试，减速伞打开后，飞机所受的阻力与飞机
4、的速度成正比(比例系数 k=6010 6)问从着陆点算起，飞机滑行的最大距离是多少? 注：kg表示千克，kmh 表示千米小时10 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度 之间的函数关系设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为(0)试建立 y 与 所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=f()11 某湖泊的水量为 V1，每年排入湖泊内含污染物 A 的污水量为 V/6，流入湖泊内不含 A 的水量为 V6，流出湖泊的水
5、量为 V3已知 1999 年底湖中 A 的含量为5m0，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000 年初起，限定排人湖泊中含 A污水的浓度不超过 m0V问至多需经过多少年，湖泊中污染物 A 的含量降至 m0以内?(注：设湖水中 A 的浓度是均匀的)11 有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x=(y)(y0)绕，轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为 2m根据设计要求，当以 3m3min 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以 m2min 的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)(注：m 表示长度单位米， min 表示时间单位分 )12 根据 t 时刻液面的面积，写出 t 与 (
6、y)之间的关系式；13 求曲线 x=(y)的方程.考研数学二（常微分方程）模拟试卷 2 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 常微分方程1 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 x2+2y2=1【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 设在时刻 t 液面的高度为 y，则南题设知此时液面的面积为 2(y)=4+t，从而 t=2(y)-4【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程
