1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知微分方程 y+by+y=0 的每个解都在区间(0，+)上有界，则实数 b 的取值范围是( )（A）0 ，+) （B） (一，0（C） (一，4（D）(一， +)2 具有特解 y1=e-x，y 2=2xe-x，y 3=3ex 的三阶常系数齐次线性微分方程是( )（A）y一 y一 y+y=0（B） y+y一 y一 y=0（C） y一 6y+11y一 6y=0（D）y一 2y一 y+2y=03 函数 y=C1ex+C2e-2x+xex 满足的一个微分方程是( )（A）y一 y一 2
2、y=3xex（B） y一 y一 2y=3ex（C） y+y一 2y=3xex（D）y+y一 2y=3ex4 设 是微分方程 的解，则 的表达式为( )（A） 1（B） 1（C） 1（D） 15 微分方程 xdy+2ydx=0 满足初始条件 y x=2=1 的特解为( )（A）xy 2=4（B） xy=4（C） x2y=4（D）一 xy=46 已知 y1(x)和 y2(x)是方程 y+p(x)y=0 的两个不同的特解，则方程的通解为( )（A）y=Cy 1(x)（B） y=Cy2(x)（C） y=C1y1(x)+C2y2(x)（D）y=C(y 1(x)一 y2(x)7 设线性无关的函数 y1，y
3、 2，y 3 都是二阶非齐次线性方程 y+P(x)y+q(x)y=f(x)的解，C1，C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是( )（A）C 1y1+C2y2+y3（B） C1y1+C2y2 一(C 1+C2)y3（C） C1y1+C2y2 一(1 一 C1C2)y3（D）C 1y1+C2y2+(1 一 C1C2)y38 已知，y 1=x，y 2=x2，y 3=ex 为方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为( )（A）y=C 1x+C2x2+ex（B） y=C1x2+C2ex+x（C） y=C1(x 一 x2)+C2(x 一 ex)+x（D）y=C 1(x 一
4、 x2)+C2(x2 一 ex)二、填空题9 微分方程 y一 2y+2y=ex 的通解为_10 二阶常系数非齐次线性方程 y一 4y+3y=2e2x 的通解为 y=_11 微分方程 满足初始条件 y x=2=1 的特解是_12 微分方程 y+ytanx=cosx 的通解 y=_13 已知 y1=e3x 一 xe2x，y 2=ex 一 xe2x，y 3=一 xe2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程的通解为 y=_14 设 y=ex(asinx+bcosx)(a，b 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_.15 微分方程 满足初始条件 y(1)=1
5、的特解是 y=_.16 微分方程 xy+3y=0 的通解为_17 微分方程 的通解是_18 微分方程 y=1+x+y2+xy2 的通解为_19 微分方程 的通解为_20 微分方程 满足 y x=1=1 的特解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设 f(u，v)具有连续偏导数，且 fu(u，v)+f u(u，v)=sin(u+v)e u+v，求 y(x)=e-2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解21 已知函数 f(x)满足方程 f(x)+f(x)一 2f(x)=0 及 f(x)+f(x)=2ex22 求 f(x)的表达式；23 求曲线 y=f(x2)0xf(-
6、t2)dt 的拐点24 设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间 0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1 一 S2 恒为 1，求曲线 y=y(x)的方程24 设函数 y=y(x)在( 一，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y) 是 y=y(x)的反函数25 试将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)满足的微分方程；26 求变换后的微分方程满足初始条件 的解考研数学二（常微分方程）模拟试卷 4 答案
7、与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 方程 y+by+y=0 的特征方程为 r2+6r+1=0，特征根为(1)b24 时，原方程通解为(2)b2=4 时，原方程通解为(3)b24 时，原方程通解为由以上解的形式可知，当 b0 时，每个解都在0，+) 上有界，故选 A【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 B【试题解析】 由 y1=e-x，y 2=2xe-x，y 3=3ex 是所求方程的三个特解知，r=一 1，一1，1 为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(r1)(r+1)2=0，即 r3+r2 一 r1
8、=0，对应的微分方程为 y+y一 y一 y=0，故选 B【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 D【试题解析】 根据所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为 1=1， 2=一 2因此对应的齐次微分方程的特征方程为 2+ 一 2=0故对应的齐次微分方程为 y+y一 2y=0又因为 y*=xex 为原微分方程的一个特解，而 =1为特征根且为单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形为 f(x)=Cex(C 为常数)比较四个选项，应选 D【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 A【试题解析】 1【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 C【试题解析】 原微分方程分离变量得，两端
9、积分得 lny=一 2lnx+lnC，x 2y=C，将 y x=2=1 代入得 C=4，故所求特解为x2y=4应选 C【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 D【试题解析】 由于 y1(x)和 y2(x)是方程 y+p(x)y=0 的两个不同的特解，则 y1(x)一y2(x)为该方程的一个非零解，则 y=C(y1(x)一 y2(x)为该方程的解【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 y1，y 2，y 3 是二阶非齐次线性方程 y+p(x)y+g(x)y=f(x)线性无关的解，所以(y 1 一 y3)，(y 2 一 y3)都是齐次线性方程 y+p(x)y+q(x)y=0
10、 的解，且(y1 一 y3)与(y 2 一 y3)线性无关，因此该齐次线性方程的通解为 y=C1(y1 一 y3)+C2(y2一 y3)比较四个选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，故选 D【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 C【试题解析】 方程 y+p(x)y+g(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x 一 x2)和(x 一 ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为 y=C1(x 一 x2)+C2(x 一 ex)+x，故选 C【知识模块】 常微分方程二、填空题9 【正确答案】 y=C 1excosx+C2exsinx+ex【试题解析】 对应的特征方程为 r
11、2 一 2r+2=0，解得其特征根为 r1,2=1i由于=1 不是特征根，可设原方程的特解为 y*=Ae2，代入原方程解得 A=1因此所求的通解为 y=C1exeosx+C2exsinx+ex【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 y=C 1ex+C2e3x2e 2x【试题解析】 特征方程为 r2 一 4r+3=0，解得 r1=1，r 2=3则对应齐次线性微分方程 y-4y+3y=0 的通解为 y=C1ex+C2e3x设非齐次线性微分方程 y-4y+3y=2e2x 的特解为 y*=ke2x，代入非齐次方程可得 k=-2故通解为 y=C 1ex+C2e3x 一 2e2x【知识模块】 常微分方
12、程11 【正确答案】 x=y 2+y【试题解析】 将 x 看作未知函数，则 上式为 x 对 y 的一阶线性方程，又因 y=10，则 将 x=2，y=1 代入，得C=1故 x=y2+y【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 (x+C)cosx，C 是任意常数【试题解析】 直接利用一阶线性微分方程的通解公式可知【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 y=C 1e3x+C2ex 一 xe2x，C 1，C 2 为任意常数【试题解析】 显然 y1 一 y3=e3x 和 y2y 2=ex 是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解且 y*=一 xe2x 是非齐次微分方程的一个特解由解的结
13、构定理，该方程的通解为 y=C1e3x+C2e 一 xe2x，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 y-2y+2y=0【试题解析】 由通解的形式可知，特征方程的两个根是 r1，r 2=1i，因此特征方程为(r-r 1)(rr2)=r 一(r 1+r2)r+r1r2=r2 一 2r+2=0故，所求微分方程为 y一2y+2y=0【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 xe 1-x【试题解析】 此方程为一阶齐次微分方程，令 y=ux，则有 ，所以原方程可化为 解此微分方程得 lnlnu 一1=lnC 1x，去绝对值可得 lnu=C1x+1，u=e C1x+1，
14、将 u x=1=1 代入，得 C1=一 1，u=e 1-x，因此原方程的解为 y=xe1-x【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 【试题解析】 令 p=y，则原方程化为 ，其通解为 p=Cx-3因此，【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 y=Cxe -x(x0)【试题解析】 原方程等价为 两边积分得 lny=lnxx+C1取C=eC1，整理得 y=Cxe-x(x0)【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 【试题解析】 将已知微分方程变形整理得，【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 【试题解析】 二阶齐次微分方程的特征方程为【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 【试题
15、解析】 【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 由 y(x)=e-2xf(x，x)，有 y(x)=一 2-2xf(x，x)+e -2xf1(x，x)+f 2(x，x)，由 fu(u，v)+f v(u，v)=sin(u+v)e u+v 可得 f1(x，x)+f 2(x，x)=(sin2x)e 2x于是 y(x)满足一阶线性微分方程 y(x)+2y(x)=sin2x通解为 y(x)=e-2xsin2x.e2xdx+C，由分部积分公式，可得【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 齐次微分方程 f(x)+f(x)一 2f
16、(x)=0 的特征方程为 r2+r 一 2=0，特征根为 r1=1，r 2=一 2，因此该齐次微分方程的通解为 f(x)=C1ex+C2e-2x再由 f(x)+f(x)=2ex 得 2C 1ex 一 3C2e-2x=2ex因此可知 C 1=1， C2=0所以 f(x)的表达式为 f(x)=ex【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 曲线方程为令 y=0 得 x=0下面证明x=0 是 y=0 唯一的解，当 x0 时，2x0,2(1+2x 2)ex20xe-t2dt0，可知 y0：当x0 时，2x0，2(1+2x 2)e-t20xe-t2dt0，可知 y 0可知 x=0 是 y=0 唯一的解同
17、时，由上述讨论可知曲线 y=f(x2)0x一 t2)dt，在 x=0 左右两边的凹凸性相反，可知(0 ，0) 点是曲线 y=(x2)=0xf(一 t2)dt 唯一的拐点【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 设曲线 y=y(x)上的点 P(x，y)处的切线方程为 Yy=y(X 一x)它与 x 轴的交点为 由于 y(x)0，y(0)=1，因此 y(x)1(x0)于是 又 S2=0xy(t)dt.根据题设 2S1 一 S2=1，有并且 y(0)=1，两边对 x 求导并化简得 yy=(y)2，这是可降阶的二阶常微分方程，令 P(y)=y，则上述方程可化 分离变量得 从而有 y=C 2eC1x 根据 y(0)=1， y(0)=1，可得 C1=1，C 2=1故所求曲线的方程为 y=ex【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 由反函数的求导公式知 于是有代入原微分方程得y y=sinx (*)【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 方程(*)所对应的齐次方程 y一 y=0 的通解为 Y=C1ex+C2e-x设方程(*)的特解为 y*=Acosx+Bsinx，代入方程(*) ，求 ，因此 y一y=sinx 的通解是【知识模块】 常微分方程
