1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 y=xex+x 是微分方程 y一 2y+ay=bx+c 的解，则 ( )（A）a=1 ，b=1，c=1（B） a=1，b=1，c=一 2（C） a=一 3，b=一 3，c=0 （D）a= 一 3，b=1，c=12 在下列微分方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C 2，C 3 为任意常数)为通解的是( )（A）y+y一 4y一 4y=0（B） y+y+4y+4y=0（C） y一 y一 4y+4y=0（D）y一 y+4y一 4y=03 设 y1，y 2
2、 是一阶线性非齐次微分方程 y+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数 ， 使y1+y2 是该方程的解，y 1 一 y2 是该方程对应的齐次方程的解，则( )（A）（B）（C）（D）4 方程 y一 3y+2y=ex+1+excos2x 的特解形式为( )（A）y=axe x+b+Aexeos2x（B） y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)（C） y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x)（D）y=axe x+b+ex(Acos2x+Bsin2x)5 设曲线 y=y(x)满足 xdy+(x 一 2y)dx=0，且 y=y(x)与直线 x=1 及 x 轴所围的平面图形绕
3、x 轴旋转所得旋转体的体积最小，则 y(x)=( )（A）（B）（C）（D）6 微分方程 y+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为( )（A）y *=ax2+bx+c+x(Asinx+Beosx)（B） y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Beosx)（C） y*=ax2+bx+c+Asinx（D）y *=ax2+bx+c+Acosx7 微分方程 y一 2y=ex+e-x(0)的特解形式为( )（A）a(e x+e-x)（B） ax(ex+e-x)（C） x(aex+be-x)（D）x 2(aex+be-x)8 设非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)有两个不同的解 y1(x)，
4、y 2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是( )（A）Cy 1(x)一 y2(x)（B） y1(x)+Cy1(x)一 y2(x)（C） Cy1(x)+y2(x)（D）y 1(x)+Cy1(x)+y2(x)9 设 f(x)具有一阶连续导数 f(0)=0，du(x，y)=f(x)ydx+sinx 一 f(x)dy，则 f(x)等于( )（A）cosx+sinx 一 1（B） （C） cosx 一 sinx+xex（D）cosx 一 sinx+xe-x二、填空题10 微分方程 xy+y=0 满足初始条件 y(1)=2 的特解为_11 微分方程 xy+2y=sinx 满足条件 的特解为_12 微分
5、方程 y一 4y=e2x 的通解为 y=_13 微分方程 y+y=e-xcosx；满足条件 y(0)=0 的解为_.14 微分方程 y+2y+5y=0 的通解为_15 若函数 f(x)满足方程 f(x)+f(x)一 2f(x)=0 及 f(x)+f(x)=2ex，则 f(x)=_.16 微分方程 xy+2y=xlnx 满足 的解为_17 微分方程 ydx+(x 一 3y2)dy=0 满足条件 y x=1=1 的解为_18 微分方程 xy+y=0 满足条件 y(1)=1 的解是 y=_19 三阶常系数线性齐次微分方程 y一 2y+y一 2y=0 的通解为 y=_20 微分方程(y+x 2e-x)
6、dx 一 xdy=0 的通解是 y=_21 微分方程(y+x 3)dx 一 2xdy=0 满足 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 设 y=y(x)是区间 (一 ，)内过 的光滑曲线，当一 0 时，曲线上任一点处的法线都过原点，当 0x 时，函数 y(x)满足 y+y+z=0求函数 y(x)的表达式23 求微分方程 y一 3y+2y=2xex 的通解24 求微分方程 y一 a(y)2=0(a0)满足初始条件 y x=0=0，y x=0=一 1 的特解25 设函数 y(x)具有二阶导数，且曲线 l：y=y(x)与直线 y=x 相切于原点，记 为曲线 l 在点(x，y
7、) 处切线的倾角，若 ，求 y(x)的表达式26 用变量代换 x=cost(0t)化简微分方程(1 一 x2)y一 xy+y=0，并求其满足y x=0=1，y x=0=2 的特解27 设 f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+01(s)sinsds，求 f(t)28 利用代换 u=ycosx 将微分方程 y“cosx 一 2ysinx+3ycosx=ex 化简，并求出原方程的通解29 求微分方程 y(x+y2)=y满足初始条件 y(1)=y(1)=1 的特解30 在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M(1，0)，其上任意点 P(x，y)(x0)处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等
8、于 ax(常数 a0)(1)求 L 的方程；(2)当 L 与直线 y=ax 所围成平面图形的面积为 时，确定 a 的值考研数学二（常微分方程）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由于 y=xex+x 是方程 y一 2y+ay=bx+c 的解，则 xex 是对应的齐次方程的解，其特征方程有二重根 r1=r2=1，则 a=1； x 为非齐次方程的解，将 y=x代入方程 y一 2y+y=bx+c，得 b=1，c=一 2，故选 B【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 D【试题解析】 已知题设的微分方程的通解中含有
9、ex、cos2x、sin2x，可知齐次线性方程所对应的特征方程有根 r=1，r=2i，所以特征方程为 (r 一 1)(r 一 2i)(r+2i)=0，即 r 3 一 r2+4r 一 4=0因此根据微分方程和对应特征方程的关系，可知所求微分程为 y一 y+4y一 4y=0【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 A【试题解析】 由 y1+y2 仍是该方程的解，得(y 1+y2)+p(x)(y1+y2)=(+)g(x)，则 +=1；由 y1 一 y2 是所对应齐次方程的解，得 (y1一 y2)+p(x)(y1 一 y2)=(一 )g(x)，那么 一 =0综上所述 【知识模块】 常微分方程4 【正确
10、答案】 C【试题解析】 齐次微分方程 y一 3y+2y=0 的特征方程为 r2 一 3r+2=0r 23r+2=0特征根为 r1=1，r 2=2，则方程 y一 3y+2y=ex+1+excos2x 的特解为y=axex+b+exx(Acos2x+Bsin2x)，故选 C【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 C【试题解析】 原方程可化为 ，其通解为曲线 y=x+Cx2 与直线 x=1 及 x 轴所围区域绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 A【试题解析】 对应齐次方程 y+y=0 的特征方程为 2+1=0 特征根为 =i ，对于方程 y+y=x2+1=
11、e0(x2+1)，0 不是特征根，从而其特解形式可设为 y1=ax2+bx+c，对于方程 y+y=sinx-Im(eik)，i 为特征根，从而其特解形式可设为y2*=x(Asinx+Bcosx)，因此 y+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 C【试题解析】 原方程对应的齐次方程的特征方程为 r2 一 2=0，其特征根为r1,2=，所以 y一 2y=ex的特解为 y1=axex，y 一 2y=e2x 的特解为 y2*=bxe-x，根据叠加原理可知原方程的特解形式为 y*=y1*+y2*=x(aex+
12、be-x)，因此选 C【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 B【试题解析】 由于 y1(x)一 y2(x)是对应齐次线性微分方程 y+P(x)y=0 的非零解，所以它的通解是 Y=Cy1(x)一 y2(x)，故原方程的通解为 y=y1(x)+Y=y1(x)+Cy1(x)一y2(x)，故应选 B【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 B【试题解析】 由 du(x，y)=f(x)ydx+sinx-f(x)dy 知【知识模块】 常微分方程二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 原方程可化为(xy)=0，积分得 xy=C，代入初始条件得 C=2，故所求特解为 xy=2，即【知识模块】 常微分
13、方程11 【正确答案】 【试题解析】 将已知方程变形整理得，【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 【试题解析】 对应齐次微分方程的特征方程为 r2 一 4=0，解得 r1=2，r 2=一 2故y一 4y=0 的通解为 y1=C1e-2x+C2e2x，其中 C1，C 2 为任意常数由于非齐次项为f(x)=e2x，=2 为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为 y*=Axe2x，代入原方程可求出 故所求通解为【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 y=e -xsinx【试题解析】 原方程的通解为 =e-x(cosxdx+C)=e-x(sinx+C)?由 y(0)=0 得 C=0，故所求解
14、为 y=e-xsinx【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 y=e -x(C1cosx+C2sin2x)【试题解析】 由题干可知，方程 y+2y+5y=0 的特征方程为 r2+2r+5=0解得则原方程的通解为 y=e-x(C1cosx+C2sin2x)【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 e x【试题解析】 由已知，特征方程为 r2+r 一 2=0，特征根为 r1=1，r 2=一 2，该齐次微分方程 f(x)+f(x)一 2f(x)=0 的通解为 f(x)=C1ex+C2e-2x再由 f(x)+f(x)=2ex，解得 2C1ex 一 3C2e-2x=2ex，可知 C1=1，C 2=
15、0故 f(x)=ex【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 【试题解析】 原方程可等价为【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 x=y 2【试题解析】 对原微分方程变形可得 此方程为一阶线性微分方程，所以又 y=1 时 x=1，解得C=0，因此 x=y2【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 【试题解析】 由 ，两边积分，得 lny=一 Inx+C，代入条件 y(1)=1，得 C=0所以【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 C 1e2x+C2cosx+C3sinx【试题解析】 微分方程对应的特征方程为 3 一 22+一 2=0解上述方程可得其特征值为 2，i，于是其中一组特解
16、为 e2x,cosx，sinx因此通解为y=C1e2c+C2cosx+C3sinx，其中 C1，C 2，C 3 为任意常数【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 x(一 e-x+C)【试题解析】 微分方程(y+x 2e-x)dx 一 xdy=0，可变形为 所以其通解为【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 由题意，当一 x0 时，法线均过原点，所以有 ，即ydy=-xdx，得 y=一 x+C 又 代入 y2=一 x2+C 得 C=2，从而有 x2+y2=2.当 0x 时， y+y
17、+x=0，得其对应齐次微分方程的 y+y=0 的通解为y*=C1cosx+C2sinx设其特解为 y1=Ax+B，则有 0+Ax+B+x=0，得 A=一 1，B=0，故 y1=一 x 是方程的特解，因此 y+y+x=0 的通解为 y=C1cosx+C2sinx 一 x因为y=y(x)是( 一 ，)内的光滑曲线，故 y 在 x=0 处连续且可导，所以由已知得y x=0=,y x=0=0 故得 C1=，C 2=1，所以【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 齐次方程 y一 3y+2y=0 的特征方程为 r2 一 3r+2=0，由此得r1=2，r 2=1即对应齐次方程的通解为 Y=C1e2x+C
18、2ex设非齐次方程的特解为y*=(ax+b)xex则(y *)=ax2+(2a+b)x+bex(y *)=ax2+(4a+b)x+2a+2bex代入原方程得 a=一 1，b=一 2，因此所求解为 y=C1e2x+C2ex 一 x(x+2)ex(C 1，C 2 为任意常数)【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 令 y=P，则 将之代入原方程，得【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 由 ，两边对 x 求导得 ，即(1+y 2)y=y，因此可知 令 分离变量得【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程28 【正确答案】 令 ycosx=u，则 y=usecx，从而y=usecx+usecxtanx，y=usecx+2usecxtanx+usecxtan 2x+usec3x代入原方程，得u+4u=ex这是一个二阶常系数非齐次线性方程，解得其通解为【知识模块】 常微分方程29 【正确答案】 因本题不含 y，所以可设 y=p，于是 y=p，因此原方程变为p(x+p2)=p，【知识模块】 常微分方程30 【正确答案】 (1)设曲线 L 的方程为 y=f(x)，则由题设可得【知识模块】 常微分方程
