1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x2-1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解，则 y(x)dx为( )（A）-ln3（B） ln3（C）（D）2 微分方程 y-y-6y=(x+1)e-2x 的特解形式为( )（A）(ax+b)e -2x（B） ax2e-2x（C） (ax2+bx)e-2x（D）x 2(ax+b)e-2x3 微分方程 y-4y=x+2 的通解为 ( )二、填空题4 微分方程 y+ytanx=cosx 的通解为_5 设 f(x)在0，+)上非负连续
2、，且 f(x) f(x-t)dt=2x3，则 f(x)=_6 连续函数 f(x)满足 f(x)= f(x-t)dt+2，则 f(x)=_7 设 y=y(x)可导， y(0)=2，令 y=y(x+x)=y(x)，且 y= x+a，其中 是当x0 时的无穷小量，则 y(x)=_8 的通解为_9 微分方程 xy-yln(xy)-1=0 的通解为_10 微分方程 y2dx+(x2-xy)dy=0 的通解为_11 设连续函数 f(x)满足 f(x)= ，则 f(x)=_12 微分方程(2x+3)y=4y的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 求微分方程 =1+x+y+xy 的通
3、解14 求微分方程 xy=yln 的通解15 求微分方程 xy+2y=ex 的通解16 设 x0 时，f(x)可导，且满足：f(x)= ，求 f(x)17 求微分方程 的满足初始条件 y(1)=0 的解18 求微分方程(y-x 3)dx-2xdy=0 的通解19 求微分方程 y2dx+(2xy+y2)dy=0 的通解20 求微分方程 -cosxsin2y=siny 的通解21 求微分方程 =x2+y2 满足初始条件 y(e)=2e 的特解22 求微分方程 x2y+xy=y2 满足初始条件 y(1)=1 的特解23 求微分方程 的通解24 求微分方程 的通解25 设 y=ex 为微分方程 xy+
4、P(x)y=x 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)=0 的特解26 设 f(x)=ex- (x-t)f(t)dt，其中 f(x)连续，求 f(x)27 求微分方程 xy+3y=0 的通解28 设当 x0 时，f(x)满足 f(t)dt-f(x)=x，求 f(x)考研数学二（常微分方程）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 2xydx+(x2-1)dy=0 得 =0，积分得 ln(x2-1)+lny=lnC，从而 y= 由 y(0)=1 得 C=-1，于是 y= 故，选(D)【知识模块】 常微分方程2
5、 【正确答案】 C【试题解析】 因为原方程的特征方程的特征值为 1=-2， 2=3，而-2 为其中一个特征值，所以原方程的特解形式为 x(ax+b)e-2x，选(C)【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 D【试题解析】 微分方程 y-4y=0 的特征方程为 2-4=0，特征值为-2，2，则方程y-4y=0 的通解为 C1e-2x+C2e2x，显然方程 y-4y=x+2 有特解 ，选(D)【知识模块】 常微分方程二、填空题4 【正确答案】 cosxe tanxdxdx+Ce-tanxdx=(x+C)cosx【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 2x【试题解析】 因为 F(0)=0，所以
6、C0=0，又由 F(x)0，得 F(x)=x2，故 f(x)=2x【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 2e 3x【试题解析】 由两边对 x 求导得 f(x)-3f(x)=0，解得 f(x)=Ce-3dx=Ce3x，取 x=0 得 f(0)=2，则 C=2，故f(x)=2e3x【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 【试题解析】 由y=【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 【试题解析】 由【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 Cx【试题解析】 令 xy=u，y+xy=，积分得lnlnu=lnx+lnC，即 lnu=Cx，原方程的通解为 ln(xy)=Cx【知识模块】 常微分方程1
7、0 【正确答案】 【试题解析】 令 ，两边积分得 u-lnu-lnx-lnC=0，解得 y=【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 2e 2x-ex【试题解析】 ，两边求导数得 f(x)-2f(x)=ex，解得 f(x)= =(-e-x+C)e2x=Ce2x-ex，因为 f(0)=1，所以f(0)=C-1=1， C=2，于是 f(x)=2e2x-ex【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 C1x3+6C1x2+9C1x+C2【试题解析】 令 y=p，则 ，两边积分得 lnp=ln(2x+3)2+lnC1，或y=C1(2x+3)2，于是 y= C1x3+6C1x2+9C1x+C2【知识模
8、块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 由 =1+x+y+xy 得 =(1+x)(1+y)，分离变量得 =(1+x)dx，两边积分得 ln1+y=x+【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 xy=变量分离得 ，积分得 ln(lnu-1)=lnx+lnC，即 lnu-1=Cx，或 u=eCx+1，故原方程的通解为 y=xe Cx+1【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 方法一 令 y=p，则原方程化为方法二 xy+2y=ex两边乘以 x 得 x2y+2xy=xex，即(x 2y)=xex，积分得 x2y=(x-1)ex+C1，即 y=再积分
9、得原方程通解为【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 由 f(x)= 两边对 x 求导得 f(x)+xf(x)=1+f(x)，解得 f(x)= ，f(x)=lnx+C，因为 f(1)=1，所以 C=1，故f(x)=lnx+1【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 由【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 由(y-x 3)dx-2xdy=0，得【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 由 y2dx+(2xy+y2)dy=0 得所以原方程的通解为y2(y+3x)=C【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 由【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 方法一 由，解得u2=lnxx
10、+C，由 y(e)=2e,得 C=2，所求的通解为 y2=x2lnx2+2x2方法二 由解得 z= ，由初始条件得 C=2，则原方程的通解为 y2=x2lnx2+2x2【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 由 x2y+xy=y2 得【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 由【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 令 x+y=u，则，于是有，两边积分得u-arctanu=x+C，所以原方程的通解为 y-arctan(x+y)=C【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 把 y=ex 代入微分方程 xy+P(x)y=x，得 P(x)=xe-x-x，原方程化为y+(e-x-1)y=1
11、，则 y= ，将y(ln2)=0 代入 y=【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 由 f(x)=ex-，两边对 x 求导，得 f(x)=ex- ，两边再对 x 求导得 f(x)+f(x)=ex，其通解为 f(x)=C1cosx+C2sinx+ (x-t)f(t)dt 中，令 x=0 得 f(0)=1，在 f(x)=ex- 中，令 x=0 得 f(0)=1，于是有 C1=【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 令 y=p，则【知识模块】 常微分方程28 【正确答案】 由 f(t)dt-f(x)=x，两边求导得 f(x)-f(x)=1，解得 f(x)=Cex+1，而f(1)=-1，所以 f(x)=1-2ex-1【知识模块】 常微分方程
