1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 y-4y=e2x+x 的特解形式为( )（A）ae 2x+bx+c（B） ax2e2x+bx+c（C） axe2x+bx2+cx（D）axe 2x+bx+c2 设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y1=ex，y 2=2xex，y 3=3e-x，则该微分方程为 ( )（A）y-y-y+y=0（B） y+y-y-y=0（C） y+2y-y-2y=0（D）y-2y“-y+2y=03 设 1(x)， 2(x)为一阶非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解
2、，则该方程的通解为( ) （A）C 1(x)+2(x)（B） C1(x)-2(x)（C） C1(x)-2(x)+2(x)（D） 1(x)-2(x)+C2(x)二、填空题4 yy=1+y2 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=0 的解为_5 微分方程 y+4y=4x-8 的通解为 _6 设 y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线 y=2x+1，又 y=y(x)满足微分方程y-6y+9y=e3x，则 y(x)=_7 微分方程 2y=3y2 满足初始条件 y(-2)=1，y(-2)=1 的特解为_8 微分方程 xy= 的通解为_9 设二阶常系数非齐次线性微分方程 y+y+qy=Q(x)有特解
3、 y=3e-4x+x2+3x+2，则Q(x)=_，该微分方程的通解为_10 以 y=C1e-2x+C2ex+cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为_11 设 y-3y+ay=-5e-x 的特解形式为 Axe-x，则其通解为_12 设 f(x)可导，且 f(x)+xf(xt)dt=1，则 f(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 求满足初始条件 y+2x(y)2=0，y(0)=1，y(0)=1 的特解14 求微分方程 yy-y2 满足初始条件 y(0)=y(0)=1 的特解15 求微分方程 y-y-6y=0 的通解16 求微分方程 y+4y+4y=0 的通解1
4、7 求微分方程 y-y+2y=0 的通解18 设二阶常系数齐次线性微分方程以 y1=e2x，y 2=2e-x-3e2x 为特解，求该微分方程19 求微分方程 y+2y-3y=(2x+1)ex 的通解20 求 y-2y-ex=0 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=1 的特解21 求微分方程 y+4y+4y=eax 的通解22 求微分方程 y+y=x2+3+cosx 的通解23 设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 v t=0=v0已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问 t 为多少时此质点的速度为 ?并求到此时刻该质点所经过的路程24 设 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，设 f
5、(x)在0 ，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x)25 设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知MA=OA，且 L 经过点 ，求 L 的方程26 在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(x，y) 处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 x 轴的交点) ，且曲线在点(1，1)处的切线与 z 轴平行27 一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为 k0，设融化过程中形状不变，设半径为 r0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 ，求全部融化需要的时间28 设 f(x
6、)在0，1上连续且满足 f(0)=1，f(x)-f(x)=a(x-1)y-f(x)，=0 ，x=1，y=0围成的平面区域绕 z 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f(x)考研数学二（常微分方程）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 y-4y=0 的特征方程为 2-4=0，特征值为 1=-2， 2=2 y-4y=e 2x 的特解形式为 y=axe2x， y-4y=x 的特解形式为 y2=bx+C，故原方程特解形式为axe2x+bx+c，选(D)【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 A【试题解析】 由 y1=e
7、x，y 2=2xe-x，y 3=3e-x 为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为 1=2=1， 3=-1，其特征方程为(-1) 2(+1)=0，即 3-2-+1=0，所求的微分方程为 y-y-y+y=0，选(A)【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1(x)， 2(x)为方程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以1(x)-2(x)为方程 y+P(x)y=0 的一个解，于是方程 y+P(x)y=Q(x)的通解为 C1(x)-2(x)+2(x)，选(C) 【知识模块】 常微分方程二、填空题4 【正确答案】 x【试题解析】 令 y=p，则 ，解得 In(
8、1+p2)=lny2+lnC1，则 1+p2=C1y2，由 y(0)=1，y(0)=0 得 y=+C2=x，由 y(0)=1 得 C2=0，所以特解为【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 C 1cosx+C2sin2x+x-2【试题解析】 微分方程两个特征值为 1=-2i， 2=2i， 则微分方程的通解为y=C1cosx+C2sin2x+x-2【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 【试题解析】 由题意得 y(0)=0，y(0)=2，y-6y+9y=e 3x 的特征方程为 2-6+9=0，特征值为 1=2=3，令 y-6y+9y=e3x 的特解为 y0(x)=ax2e3x，代人得 a=
9、故通解为y=(C1+C2x)e3x+ 由 y(0)=0，y(0)=2 得 C1=0，C 2=2，则 y(x)=2xe3x+【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 【试题解析】 令 y=p，则 y= ，解得p2=y3+C1，由 y(-2)=1，y(-2)=1，得 C1=0，所以 y=，再由 y(-2)=1，得 C2=0，所求特解为=【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 lnx+C【试题解析】 由 xy=【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 -12x 2-34x-19，C 1e-4x+C2e2+x2+3x+2【试题解析】 显然 =-4 是特征方程 2+q=0 的解，故 q=-12， 即特
10、征方程为2+-12=0，特征值为 1=-4， 2=3 因为 x2+3x+2 为特征方程 y+y-12y=Q(x)的一个特解， 所以 Q(x)=2+2x+3-12(x2+3x+2)=-12x2-34x-19， 且通解为 y=C1e-4x+C2e2+x2+3x+2(其中 C1，C 2 为任意常数)【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 -sinx-3cosx，y+y-2y=-sinx-3cosx【试题解析】 特征值为 1=-2， 2=1，特征方程为 2+-2=0， 设所求的微分方程为y+y-2y=Q(x)，把 y=cosx 代入原方程，得 Q(x)=-sinx-3cosx，所求微分方程为y+y
11、-2y=-sinx-3cosx【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 y=C 1e-x+C2e4x+xe-x【试题解析】 因为方程有特解 Axe-x，所以-1 为特征值，即 (-1)2-3(-1)+a=0 a=-4，所以特征方程为 2-3-4=0 1=-1， 2=4，齐次方程 y-3y+ay=0 的通解为y=C1e-x+C2e4x，再把 Axe-x 代入原方程得 A=1，原方程的通解为 y=C1e-x+C2e4x+xe-x【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 e -x【试题解析】 由整理得 f(x)+ f(u)du=1，两边对 x 求导得 f(x)+f(x)=0，解得 f(x)=Ce
12、-x，因为 f(0)=1，所以C=1，故 f(x)=e-x【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 令 y=p，则 y=由 y(0)=1 得 C1=1，于是y= ，y=arctanx+C 2，再由 y(0)=1 得 C2=1，所以y=arctanx+1【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 令 y=p，则 y=0当 p=0 时，y=1 为原方程的解；当 p0 时，由 由y(0)=y(0)=1 得 C1=1，于是 -y=0，解得 y=C2e-dx=C2ex，由 y(0)-1 得 C2=1，所以原方程的特解为 y=ex【知识模块】 常微分方程
13、15 【正确答案】 特征方程为 2-6=0，特征值为 1=-2， 2=3，则原方程的通解为y=C1e-2x+C2e3x【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 特征方程为 2+4+4=0，特征值为 1=2=-2，则原方程的通解为y=(C1+C2x)e-2x【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 特征方程为 2-+2=0，特征值为 1,2= 则原方程的通解为y=【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 因为 y1=e2x，y 2=2e-x-3e2x 为特解，所以 e2x，e -x 也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为 1=-1， 2=2，特征方程为(+1)(-2)=0 即 2-2
14、=0，所求的微分方程为 y-y-2y=0【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 特征方程为 2+2-3=0，特征值为 1=1， 2=-3，则 y+2y-3y=0 的通解为 y=C1ex+C2e-3x令原方程的特解为 y0=x(ax+b)ex，代入原方程得 a=所以原方程的通解为 y=C1ex+C2e-3x+ (2x2+x)ex【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 原方程化为 y-2y=e2x特征方程为 2-2=0，特征值为1=0， 2=2，y-2y=0 的通解为 y=C1+C2e2x设方程 y-2y=e2x 的特解为 y0=Axe2x，代入原方程得 A= 原方程的通解为 y=C1+C
15、2e2x+ 由 y(0)=1，y(0)=1 得故所求的特解为 y=【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 特征方程为 2+4+4=0，特征值为 1=2=-2，原方程对应的齐次线性微分方程的通解为 y=(C1+C2x)e-2x (1)当 a-2 时，因为 a 不是特征值，所以设原方程的特解为 y0(x)=Aeax，代入原方程得 A= ，则原方程的通解为y=(C1+C2x)e-2x+ (2)当 a=-2 时，因为 a=-2 为二重特征值，所以设原方程的特解为 y0(x)=Ax2e-2x，代入原方程得 A= ，则原方程的通解为 y=(C1+C2x)e-2x+【知识模块】 常微分方程22 【正确答
16、案】 特征方程为 2+1=0，特征值为 1=-i， 2=i，方程 y+y=0 的通解为 y=C1cosx+C2sinx对方程 y+y=x2+3，特解为 y=x2+1；对方程 y+y=cosx，特解为 xsinx，原方程的特解为 x2+1+ 则原方程的通解为y=C1cosx+C2sinx+x2+1+【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 设 t 时刻质点运动的速度为 v(t)，阻力 F=ma=解此微分方程得 v(t)=v0e-t由 v0e-t= 得 t=ln3，从开始到 t=ln3 的时间内质点所经过的路程为【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 根据题意得【知识模块】 常微分方程25
17、【正确答案】 设点 M 的坐标为(x，y)，则切线 MA：Y-y=y(X-x)令 X=0，则Y=y-xy，故 A 点的坐标为(0，y-xy) 由MA=OA，得y-xy =即 2yy-因为曲线经过点 ，所以 C=3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 设所求曲线为 y=y(x)，该曲线在点 P(x，y)的法线方程为令 Y=0，得 X=x+yy，该点到 z 轴法线段 PO 的长度为 由题意得 ，即yy-1+y2令 y=p，则 y=，由 y(1)=1， y(1)=0 得 C1=1，所以 y=【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 设 t 时刻雪堆的半径为 r，则有，令 r=0 得 t=6，即 6 小时雪堆可以全部融化【知识模块】 常微分方程28 【正确答案】 由 f(x)-f(x)=a(x-1)得 f(x)=a(x-1)e -1dxdx+Ce-dx=Cex-ax， 由 f(0)=1 得 C=1，故 f(x)=ex-ax 由V(a)= ，所以当 a=3 时，旋转体的体积最小，故 f(x)=ex-3x【知识模块】 常微分方程
