1、考研数学二（微分方程）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设非齐次线性微分方程 yP(x)yQ(x) 有两个不同的解 y1(x)，y 2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是（A）Cy 1(x)y 2(x) （B） y1(x)Cy 1(x)y 2(x)（C） Cy1(x)y 2(x) （D）y 1(x) Cy1(x)y 2(x)2 设线性无关的函数 y1，y 2，y 3 都是二阶非齐次线性方程 y“p(x)yq(x)yf(x)的解，C 1，C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是（A）C 1y1C 2y2y 3（B） C1y1 C2y
2、2(C 1C 2)y3 （C） C1y1 C2y2(1C 1C2)y3 （D）C 1y1C 2y2(1 C 1C 2)y33 若连续函数 f(x)满足关系式 ，则 f(x)等于（A）e xln2 （B） e2xIn2 （C） exln2 （D）e 2xln2 二、填空题4 微分方程 yytanx cosx 的通解为_5 微分方程 xyy0 满足初始条件 y(1)2 的特解为_6 微分方程 xy“3y 0 的通解为_7 微分方程 y“2y 2ye 2 的通解为_8 设 Ye x(C1sinxC 1cosx)(C1，C 2 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_三、解答题解
3、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求微分方程 yycosx (lnx)esinx 的通解10 求微分方程 满足初始条件 的特解11 求微分方程 x2yxyy 2 满足初始条件 的特解12 求微分方程 的通解13 设有微分方程 y2y(x)，其中 试求在( ，)内的连续函数 yy(x) ，使之在(，1)和(1，)内都满足所给方程，满足条件y(0)014 设 f(u，v)具有连续偏导数，且满足 f(u，v)f(u，v)uv求 y(x)e 2x f(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解15 求微分方程 y“6y“(9a 2)y1 的通解，其中常数 a016 设函数 yy(x) 满足微分方
4、程 y“3y2y2e x，其图形在点(0，1)处的切线与曲线 yx 2x1 在该点处的切线重合，求函数 yy(x)17 求微分方程 y“5y 6y2e x 的通解18 求微分方程 y“4y 4ye 2x 的通解19 求微分方程 y“2y e 2x 满足条件 y(0)1，y(0)1 的解20 求微分方程 y“2y 3ye 3x 的通解21 设函数 yy(x) 满足条件 求广义积分 0 y(x)dx22 求连续函数 f(x)，使它满足 f(x)2 0xf(t)dtx 223 已知连续函数 f(x)满足条件 ，求 f(x)24 设函数 f(f)在0，)上连续，且满足方程，求 f(t)25 在上半平面
5、求一条向上凹的曲线，其上任一点 P(x，y) 处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 长度的倒数(Q 是法线与 x 轴的交点) ，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行26 设物体 A 从点(0，1) 出发，以速度大小为常数 v 沿 y 轴正向运动，物体 B 从点(1， 0)与 A 同时出发，其速度大小为 2v，方向始终指向 A，试建立物体 B 的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件27 假设： (1)函数 yf(x)(0x) 满足条件 f(0)0 和 0f(x)ex1； (2)平行于y 轴的动直线 MN 与曲线 yf(x)和 ye x1 分别相交于点 P1 和 P2； (3)曲线yf
6、(x)、直线 MN 与 x 轴所围封闭图形的面积 S 恒等于线段 P1P2 的长度 求函数yf(x)的表达式28 设曲线 l 位于 xOy 平面的第一象限内，l 上任一点 M 处的切线与 Y 轴总相交，交点记为 A 已知 ，且 l 过点 ，求 l 的方程29 设对任意 x0，曲线 yf(x)上的点(x ，f(x) 处的切线在 y 轴上的截距等于，求 f(x)的一般表达式30 在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的设该人群的总人数为 N，在 t0 时刻已掌握新技术的人数为 x0，在任意时刻 t 已掌握新技术的人数为 x(t)(将 x(t)视为连续可微变量 )，其变化率与已掌握新技
7、术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数 k0，求 x(t)31 设函数 f(x)在1，)上连续，若由曲线 yf(x)，直线 x1，xt(t1)与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体体积为试求 yf(x)所满足的微分方程，并求该方程满足条件 的解32 设有一高度为 h(t)(t 为时间) 的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程 zh(t)(设长度单位为厘米，时间单位为小时)已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为 09)，问高度为 130(厘米) 的雪堆全部融化需多少小时?33 设 yf(x)是第一象限内连接点 A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x ，y) 为
8、该曲线上任意一点，点 C 为 M 在 x 轴上的投影，0 为坐标原点，若梯形 OCMA 的面积与曲边三角形 CBM 的面积之和为 ，求 f(x)的表达式34 在 xOy 坐标平面上，连续曲线 l 过点 M(1，0)，其上任意点 P(x，y)(x0)处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax(常数 a0) (1)求 l 的方程； (2)当 l 与直线yax 所围成平面图形的面积 时，确定 a 的值考研数学二（微分方程）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 微分方程2 【正确答案】 D【知识模块】 微分方程3 【
9、正确答案】 B【知识模块】 微分方程二、填空题4 【正确答案】 y(xC)cosx；【知识模块】 微分方程5 【正确答案】 xy2；【知识模块】 微分方程6 【正确答案】 yC 1x2 C 1；【知识模块】 微分方程7 【正确答案】 ye x(C1cosxC 1sinx)e x；【知识模块】 微分方程8 【正确答案】 y“2y 2y0【知识模块】 微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 ye sinx (xlnxxC)；【知识模块】 微分方程10 【正确答案】 y 22x 2(lnx1)；【知识模块】 微分方程11 【正确答案】 ；【知识模块】 微分方程12
10、 【正确答案】 ；【知识模块】 微分方程13 【正确答案】 ；【知识模块】 微分方程14 【正确答案】 y“2y x2e2x ， ；【知识模块】 微分方程15 【正确答案】 yC 1e 3x (C2cosaxC 3sinax) ；【知识模块】 微分方程16 【正确答案】 y(12x)e x；【知识模块】 微分方程17 【正确答案】 yC 1e2x C 2e3x e x ；【知识模块】 微分方程18 【正确答案】 ；【知识模块】 微分方程19 【正确答案】 ；【知识模块】 微分方程20 【正确答案】 ；【知识模块】 微分方程21 【正确答案】 1；【知识模块】 微分方程22 【正确答案】 ；【知
11、识模块】 微分方程23 【正确答案】 f(x)3e 3x2e 2x；【知识模块】 微分方程24 【正确答案】 f(t)e 4t2(4t21)【知识模块】 微分方程25 【正确答案】 ；【知识模块】 微分方程26 【正确答案】 ；【知识模块】 微分方程27 【正确答案】 ；【知识模块】 微分方程28 【正确答案】 ；【知识模块】 微分方程29 【正确答案】 f(x)C 1lnxC 2；【知识模块】 微分方程30 【正确答案】 ；【知识模块】 微分方程31 【正确答案】 3f 2(t)2tf(t)t 2f(f)，yxx 3y；【知识模块】 微分方程32 【正确答案】 100 小时；【知识模块】 微分方程33 【正确答案】 f(x)(x1) 2，0x1；【知识模块】 微分方程34 【正确答案】 (1)y ax 2ax(x0) ；(2)a 2【知识模块】 微分方程
