1、考研数学二（微分方程）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设线性无关的函数 y1(x)，y 2(x)，y 3(x)均是方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，C1，C 2 是任意常数，则该方程的通解是 ( )（A）C 1y1+C2y2+y3（B） C1y1+C2y2 一(C 1+C2)y3（C） C1y1+C2y2 一(1 一 C1 一 C2)y3（D）C 1y1+C2y2+(1 一 C1 一 C2)y32 设二阶线性常系数齐次微分方程 y“+by+y=0 的每一个解 y(x)都在区间(0，+)上有界，则实数 b 的取值范围是
2、( )（A）0 ，+)（B） (一，0（C） (-，4（D）(一， +)3 具有特解 y1=e-x，y 2=2xe-x，y 3=3ex 的三阶线性常系数齐次微分方程是 ( )（A）y“一 y“一 y+y=0（B） y“+y“一 y一 y=0（C） y“一 6y“+11y一 6y=0（D）y“一 2y“一 y+2y=04 函数 (其中 C 是任意常数)对微分方程 而言， ( )（A）是通解（B）是特解（C）是解，但既非通解也非特解（D）不是解5 微分方程 y“一 6y+8y=ex+e2x 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（A）ae x+be2x（B） aex+bxe2x（C）
3、 axex+be2x（D）axe x+bxe2x6 微分方程 y“+2y+2y=e-xsin x 的特解形式为 ( )（A）e -x(Acos x+Bsin x)（B） e-x(Acos x+Bxsin x)（C） xe-x(Acos x+Bsin x)（D）e -x(Axcos x+Bsin x)7 微分方程 的通解是 ( )（A）2e 3x+3ey2=C（B） 2e3x+ =C（C） 2e3x 一 =C（D）e 3x =C8 微分方程 y“一 4y+4y=x2+8e2x 的一个特解应具有形式(其中 a，b，C ，d 为常数) ( )（A）ax 2+bx+ce2x（B） ax3+bx+C+d
4、x2e2x（C） ax2+bx+cxe2x（D）ax 2+(bx2+cx)e2x二、填空题9 设 y1=ex，y 2=x2 为某二阶线性齐次微分方程的两个特解，则该微分方程为_10 设 p(x)，q(x)与 f(x)均为连续函数，f(x)0设 y1(x)，y 2(x)与 y3(x)是二阶线性非齐次方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x) 的 3 个解，且 则式 的通解为_11 微分方程 满足初值条件 y(0)=0，y(0)= 的特解是_12 设 f(x)在( 一，+)内有定义，且对任意 x(一 ，+)，y(一，+) ，成立f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，且 f(0)存在等于 a，
5、a0，则 f(x)=_13 设 f(x)在( 一，+)上可导，且其反函数存在为 g(x)若 0f(x)g(t)dt+0xf(t)dt=xex-ex+1，则当一x+时 f(x)=_14 微分方程 y+ytan x=cos x 的通解为 y=_15 微分方程 y“一 4y=e2x 的通解为 y=_16 微分方程 3extan ydx+(1 一 ex)sec2ydy=0 的通解是_17 微分方程 ytan x=yln y 的通解是_18 微分方程(6x+y)dx+xdy=0 的通解是_19 微分方程 的通解是_20 微分方程 的通解是_21 微分方程的通解_包含了所有的解22 微分方程(y 2+1)
6、dx=y(y 一 2x)dy 的通解是_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 已知 y=y(x)是微分方程 (x2+y2)dy=dx 一 dy 的任意解，并在 y=y(x)的定义域内取x0，记 y0=y(x0) (1)证明：y(x)y 0+ 一 arctan x0；24 设 a0，函数 f(x)在0，+) 上连续有界，证明：微分方程 y+ay=f(x)的解在0，+) 上有界25 已知曲线 y=y(x)经过点 (1，e -1)，且在点(x，y) 处的切线方程在 y 轴上的截距为xy，求该曲线方程的表达式26 求解 ydx+(yx)dy=027 设 (x)是以 2 为周期的连续
7、函数，且 (x)=(x)，(0)=0 (1)求方程 y+ysinx=(x)ecos x 的通解； (2)方程是否有以 2 为周期的解 ?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由28 设有方程 y+P(x)y=x2，其中 P(x)= 试求在(一，+)内的连续函数y=y(x)，使之在 (一，1)和(1 ，+)内都满足方程，且满足初值条件 y(0)=229 设 (1)用变限积分表示满足上述初值条件的特解y(x)；(2)讨论 是否存在，若存在，给出条件，若不存在，说明理由30 求微分方程 xy+y=xex 满足 y(1)=1 的特解31 求(4 一 x+y)dx 一(2 一 xy)dy=0 的通解32
8、 求 xy”一 yln y+yln x=0 满足 y(1)=2 和 y(1)=e2 的特解33 求 y2 一 yy”=1 的通解34 求(x+2)y“+xy 2=y的通解35 求微分方程 的通解36 求微分方程 的通解37 求微分方程 y“一 2y一 e2x=0 满足条件 y(0)=1，y(0)=1 的特解38 求微分方程 y“+2y+y=xex 的通解39 求微分方程 y“+4y+4y=e-2x 的通解40 求微分方程 y“+2y一 3y=e-3x 的通解41 求微分方程 y“+5y+6y=2e-x 的通解42 求微分方程(3x 2+2xy 一 y2)dx+(x2 一 2xy)dy=0 的通
9、解43 设 y(x)是方程 y(4)一 y“=0 的解，且当 x0 时，y(x)是 x 的 3 阶无穷小，求y(x)考研数学二（微分方程）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于 C 1y1+C2y2+(1 一 C1 一 C2)y3=C1(y1 一 y3)+C2(y2 一 y3)+y3，其中y1 一 y3 和 y2 一 y3 是原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解，又 y3 是原方程的一个特解，所以(D) 是原方程的通解【知识模块】 微分方程2 【正确答案】 A【试题解析】 因为当 b2 时，y(x)= ，所
10、以，当 b240 时，要想使 y(x)在区间(0，+) 上有界，只需要即 b2当 b240 时，要想使 y(x)在区间(0，+) 上有界，只需要 的实部大于等于零，即0b2 当 b=2 时，y(x)=C 1e-x+C2xe-x 在区间(0，+)上有界当 b=一 2 时，y(x)=C1ex+C2xex(C12+C220)在区间 (0，+)上无界综上所述，当且仅当 b0 时，方程y“+by+y=0 的每一个解 y(x)都在区间(0，+) 上有界，故选 (A)【知识模块】 微分方程3 【正确答案】 B【试题解析】 根据题设条件，1，一 1 是特征方程的两个根，且一 1 是重根，所以特征方程为( 一
11、1)(+1)2=3+2 一 一 1=0，故所求微分方程为 y“+y“一 y一y=0，故选 (B) 或使用待定系数法，具体为： 设所求的三阶线性常系数齐次微分方程是 y“+ay“+by+cy=0 由于 y1=e-x，y 2=2xe-x，y 3=3ex 是上述方程的解，所以将它们代入方程后得 解得 a=1，b=一 1，c=一 1 故所求方程为 y“+y“一 y一 y=0，即选项(B)正确【知识模块】 微分方程4 【正确答案】 C【试题解析】 (1)因原方程阶数为二，通解中应包含两个任意常数(可求出通解为C1+ (2)特解中不含有任意常数 满足原方程，故选项(A)， (B)，(D)都不对，应选(C)
12、【知识模块】 微分方程5 【正确答案】 B【试题解析】 由原方程对应齐次方程的特征方程 r2-6r+8=0 得特征根r1=2，r 2=4又 f1(x)=ex， =1 非特征根，对应特解为 y1*=aex；f 2(x)=e2x，=2 为特征单根，对应特解为 y2*=bxe2x故原方程特解的形式为 aex+bxe2x，即选(B) 【知识模块】 微分方程6 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程 r2+2r+2=0 即(r+1) 2=一 1，特征根为 r1.2=一 1i，而 i=一 1i 是特征根，特解 y*=xe-x(Acosx+Bsin x)【知识模块】 微分方程7 【正确答案】 C【试题解析】
13、 原方程写成 ，分离变量有 积分得【知识模块】 微分方程8 【正确答案】 B【试题解析】 对应特征方程为 r2 一 4r+4=0，特征根是 r1,2=2 而 f1=x2， 1=0 非特征根，故 y1*=ax2+bx+c：又 f2=8e2x， 2=2 是二重特征根，所以 y2*=dx2e2xy 1*与y2*合起来就是特解，选(B)【知识模块】 微分方程二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 由于方程形状已知，故只要将两个特解分别代入并求出系数即可设所求的二阶线性齐次微分方程为 y“+p(x)y+q(x)y=0 分别以 y1=ex，y 2=x2 代入，得【知识模块】 微分方程10 【正确答案】
14、y=C 1(y1y2)+C2(y2 一 y3)+y1，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 由线性非齐次方程的两个解，可构造出对应的齐次方程的解，再证明这样所得到的解线性无关便可 y 1 一 y2 与 y2 一 y3 均是式对应的线性齐次方程 y“+p(x)y+q(x)y=0 的两个解今证它们线性无关事实上，若它们线性相关，则存在两个不全为零的常数 k1 与 k2 使 k 1(y1 一 y2)+k2(y2 一 y3)=0 设 k10，又由题设知 y2-y30，于是式可改写为 矛盾若 k1=0，由 y2 一 y30，故由式 推知 k2=0 矛盾这些矛盾证得 y1 一 y2 与 y2-y3
15、线性无关 于是 Y=C 1(y1 一 y2)+C2(y2 一 y3) 为式的通解，其中 C1，C 2 为任意常数，从而知 y=C 1(y1 一 y2)+C2(y2-y3)+y1 为式的通解【知识模块】 微分方程11 【正确答案】 x=e y 一 e-y 一【试题解析】 熟悉反函数的导数的读者知道，原方程可化为 x 关于y 的二阶常系数线性方程将式代入原方程，原方程化为 解得x 关于 y 的通解为 x=C 1ey+C2e-y 一 以 x=0 时，y=0 代入上式，得 0=C1+C2再将式 两边对 y 求导，有解得 C1=1，C 2=一1，于是得特解 x=eye-y 一【知识模块】 微分方程12
16、【正确答案】 axe x【试题解析】 由 f(0)存在，设法去证对一切 x，f(x)存在，并求出 f(x) 将 y=0 代入 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，得 f(x)=f(x)+f(0)e x，所以 f(0)=0令x0，得 f(x)=f(x)+exf(0)=f(x)+aex，所以 f(x)存在解此一阶微分方程，得 f(x)=e xaexe -xdx+C=ex(sx+C)因 f(0)=0，所以 C=0，从而得 f(x)=axex，如上所填.【知识模块】 微分方程13 【正确答案】 【试题解析】 未知函数含于积分之中的方程称积分方程现在此积分的上限为变量，求此方程的解的办法是将方程两
17、边对 x 求导数化成微分方程解之注意，积分方程的初值条件蕴含于所给式子之中，读者应自行设法挖掘之将所给方程两边对x 求导，有 g(f(x)f(x)+f(x)=xe x因 g(f(x)x，所以上式成为 xf(x)+f(x)=xex以x=0 代入上式，由于 f(0)存在，所以由上式得 f(0)=0当 x0 时，上式成为解得 由于 f(x)在 x=0 处可导，所以连续令 x0，得 从而知 C=1于是得【知识模块】 微分方程14 【正确答案】 (x+C)cos x，其中 C 为任意常数【试题解析】 属于一阶线性非齐次方程，直接根据一阶线性非齐次方程的方法即可得出答案【知识模块】 微分方程15 【正确答
18、案】 -其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 y“一 4y=0 的特征根 =2，则其通解为 y=C1e-2x+C2e2x设其特解y*=Axe2x 代入 y“*4y=e2x，可解得 所以 y“-4y=e2x 的通解为 C1e-2x+，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 微分方程16 【正确答案】 tan y=C(e x 一 1)3，其中 C 为任意常数【试题解析】 方程分离变量得 积分得 ln(tan y)=3ln(ex 一 1)+ln C 所以方程有通解为 tan y=C(ex 一 1)3，其中 C 为任意常数【知识模块】 微分方程17 【正确答案】 y=e Csinx，其中 C
19、 为任意常数【试题解析】 原方程分离变量，有 积分得 ln(ln y)=ln(sin x)+ln C，通解为 ln y=Csin x，或 y=eCsinx，其中 C 为任意常数【知识模块】 微分方程18 【正确答案】 3x 2+xy=C，其中 C 为任意常数【试题解析】 原方程兼属一阶线性方程、齐次方程、全微分方程原方程化为由一阶线性方程的通解公式得，其中 C 为任意常数，即 3x2+xy=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 微分方程19 【正确答案】 y=C 1e3x+C2e2x，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 原方程是二阶常系数线性齐次微分方程其特征方程为 r25r+6=0，
20、即(r 一 3)(r 一 2)=0解出特征根 r1=3，r 2=2，即得上述通解【知识模块】 微分方程20 【正确答案】 y=(C 1+C2x)ex+1，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 原方程为二阶常系数线性非齐次微分方程其通解为 y=y 齐 +y*，其中 y 齐 是对应齐次方程的通解，y*是非齐次方程的一个特解因原方程对应齐次方程的特征方程为 r2 一 2r+1=0，即(r 一 1)2=0，特征根为 r1,2=1故 y 齐 =(C1+C2x)ex，其中 C1， C2 为任意常数又据观察，显然 y*=1 与 y 齐 合并即得原方程通解【知识模块】 微分方程21 【正确答案】 不一定
21、【试题解析】 例如方程(y 2 一 1)dx=(x 一 1)ydy，经分离变量有 积分得通解 y2-1=C(x 一 1)2，但显然方程的全部解还应包括 y=1 和 x=1(实际上在分离变量时假定了 y2 一 10，x 一 10)【知识模块】 微分方程22 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 (1)将微分方程(x 2+y2)dy=dx 一 dy 变形为，则 y=y(x)为严格单调增函数，根据单调有界准则，只要证明 y(x)有界即可对 两边从 x0 到 x 积分，得【知识模块】 微分方程24 【
22、正确答案】 原方程的通解为 y(x)=e -ax(C+0xf(t)eatdt)，设 f(x)在0，+)上的上界为 M，即|f(x)|M ，则当 x0 时，有 |y(x)|=|e -ax(C+0xf(t)eatdt)| |Ce-ax|+e-ax|0xf(t)eatdt| |C|+Me-ax0xeatdt 即 y(x)在0 ，+) 上有界【知识模块】 微分方程25 【正确答案】 本题以几何问题为载体，让考生根据问题描述建立微分方程，然后求解，是一道简单的综合题，是考研的重要出题形式 曲线 y=f(x)在点(x，y) 处的切线方程为 Yy=y(Xx)，令 X=0，得到截距为 xy=yxy，即 xy=
23、y(1 一x)此为一阶可分离变量的方程，于是，又 y(1)=e-1，故 C=1，于是曲线方程为 y=【知识模块】 微分方程26 【正确答案】 方程化为 此为齐次方程，故令，代入上述方程得 积分得 ln(u+eu)=一 ln|y|+C1， (u+e u)y=C， ，故原方程的通解为 ，其中 C 为任意常数【知识模块】 微分方程27 【正确答案】 (1)该方程为一阶线性微分方程，通解为 y=e -sinxdx(x)ecosxesinxdxdx+C) =ecosx(x)ecosxe -cosxdx+C) =ecosx(x)dx+C)=ecosx(x)+C(其中 C为任意常数) (2)因为 (x)=(
24、x)，所以 (x)=0x(t)dt+C1，又 (0)=0，于是，(x)=0x(t)dt 而 (x+2)=0x+2(t)dt=0x(t)dt+xx+2(t)dt=(x)+02(t)dt，所以，当02(t)dt=0 时，(x+2)=(x)，即 (x)以 2 为周期 因此，当 02(t)dt=0 时，方程有以 2 为周期的解【知识模块】 微分方程28 【正确答案】 当 x1 时，方程及其初值条件为 求解得 y=e -ldx(x2e1dx+C)=e-x(x2exdx+C)=x2-2x+2+Ce-x由 y(0)=2 得 C=0，故 y=x2 一 2x+2综上，得又 y(x)在(一，+)内连续，有 f(1
25、-)=f(1+)=f(1)，即12+2= 所以【知识模块】 微分方程29 【正确答案】 一般认为，一阶线性微分方程 y+p(x)y=q(x)的计算公式为 y=e -p(x)dx(ep(x)dx.q(x)dx+C)，而本题是要求写成变限积分形式(1)初值问题可写成由上述变限积分形式的通解公式，有：【知识模块】 微分方程30 【正确答案】 由通解公式得当 x=1，y=1 时，得 C=1，所以特解为【知识模块】 微分方程31 【正确答案】 方程化为 设 x=X+h，y=Y+k ，代入方程，并令解得 h=3，k= 一 1，此时原方程化为积分得 X2-2XYY2=C 将X=x 一 3，Y=y+1 代入上
26、式，得到所求通解为 x22xyy2 一 8x+4y=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 微分方程32 【正确答案】 设 y=p，则 y“=P，代入原方程中，xp一 pln P+pln x=0，即由原方程知x0，y 0，从而 u0，积分后，得 ln u 一 1=C1x，即 ln u=C1x+1，代入初值条件 y(1)=e2，解得 C1=1，得到方程积分得 y=(x 一 1)ex+1+C2 代入初值条件 y(1)=2，解得C2=2，故所求特解为 y=(x 一 1)ex+1+2【知识模块】 微分方程33 【正确答案】 【知识模块】 微分方程34 【正确答案】 两边同除以 p2，化为【知识模块】 微
27、分方程35 【正确答案】 此为齐次方程，只要作代换 u= 解之即可方程变形为【知识模块】 微分方程36 【正确答案】 变形和作适当代换后变为可分离变量的方程方程两边同除以x，得【知识模块】 微分方程37 【正确答案】 齐次方程 y“一 2y=0 的特征方程为 2 一 2=0，由此求得特征根1=0， 2=2对应齐次方程的通解为 =C1+C2e2x，设非齐次方程的特解为y*=Axe2x，则 (y*)=(A+2Ax)e2x， (y*)“=4A(1+x)e 2x，【知识模块】 微分方程38 【正确答案】 特征方程 r2+2r+1=0 的两个根为 r1=r2=-1对应齐次方程之通解为Y=(C1+C2x)
28、e-x设所求方程的特解为 y-=(ax+b)ex，则 y*=(ax+a+b)e x， y*“=(ax+2a+b)ex，代入所给方程，有(4ax+4a+4b)e x=xex解得 而最后得所求之通解为 y=(C1+C2x)e-x+ ，C 1，C 2 为任意常数【知识模块】 微分方程39 【正确答案】 特征方程 r2+4r+4=0 的根为 r1=r2=一 2对应齐次方程的通解为 Y=(C1+C2x)e-2x设原方程的特解 y*=Ax2e-2x，代入原方程得 因此，原方程的通解为 y=Y+Y*=(C1+C2x)e-2x+【知识模块】 微分方程40 【正确答案】 对应的齐次方程的通解为 =C1ex+C2
29、e-3x原方程的一个特解为y*=Axe-3x，代入原方程，得【知识模块】 微分方程41 【正确答案】 所给微分方程的特征方程为 r 2+5r+6=(r+2)(r+3)=0，特征根为 r1=一 2，r 2=一 3于是，对应齐次微分方程的通解为 =C1e-2x+C2e-3x设所给非齐次方程的特解为 y*=Ae-x 将 y*代入原方程，可得 A=1由此得所给非齐次方程的特解 y*=e-x从而，所给微分方程的通解为 y(x)=C 1e-2x+C2e-3x+e-x，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 微分方程42 【正确答案】 原方程化为 3x2dx+(2xyy2)dx+(x2 一 2xy)dy
30、=0，即 d(x 3)+d(x2yxy2)=0， 故通解为 x3+x2yxy2=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 微分方程43 【正确答案】 由泰勒公式当 x0 时，y(x)与 x3 同阶 y(0)=0，y(0)=0，y“(0)=0，y“(0)=C，其中 C 为非零常数由这些初值条件，现将方程 y(4)一 y“=0 两边积分得 0xy(4)(t)dt 一 0xy“(t)dt=0，即 y“(x)一Cy(x)=0，两边再积分得 y“(x)一 y(x)=Cx 易知，它有特解 y*=一 Cx，因此它的通解是 y=C1ex+C2e-x 一 Cx由初值 y(0)=0，y(0)=0 得 C 1+C2=0，C 1 一 C2=C因此最后得 其中 C 为任意非零常数【知识模块】 微分方程
