1、考研数学（数学一）模拟试卷 468 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若函数 f(x)在点 x0 处的左导数 f(x)和右导数 f+(x0)都存在，则( )（A）函数 f(x)在点 x0 处必可导（B）函数 f(x)在点 x0 处不一定可导，但必连续（C）函数 f(x)在点 x0 处不一定连续但极限 (x)必存在（D）极限 f(x)不一定存在2 设平面 平行于两直线 及 2xy=z 且与曲面 z=x2+y2+1 相切，则平面 的方程为( )（A）4x+2yz=0（B） 4x 一 2y+z+3=0（C） 16x+8y 一 1 6z+11=0（D）16x
2、 一 8y+8z 一 1=03 y= 的渐近线的条数为( ) （A）2（B） 3（C） 4（D）54 设 D 为 xOy 平面上的有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上连续，在 D 内可偏导，且满足 =一 z，若 f(x，y)在 D 内没有零点，则 f(x，y)在 D 上( )（A）最大值和最小值只能在边界上取到（B）最大值和最小值只能在区域内部取到（C）有最小值无最大值（D）有最大值无最小值5 A= ，其中以 a1，a 2，a 3，a 4 两两不等，下列命题正确的是( )（A）方程组 AX=0 只有零解（B）方程组 ATX=0 有非零解（C）方程组 ATAX=0 只有零解（D）方程组 AAT
3、X=0 只有零解6 对三阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*先交换第一行与第三行，然后将第二列的一 2 倍加到第三列得E，且A0，则 A 等于( )7 设连续型随机变量 X 的分布函数 F(x)严格递增，YU(0 ，1)，则 Z=F1(Y)的分布函数( ) （A）可导（B）连续但不一定可导且与 X 分布相同（C）只有一个间断点（D）有两个以上的间断点8 对于任意两个随机变量 X 和 Y，若 E(XY)=EXEY，则( )（A）D(XY)=D(X)D(y)（B） D(X+Y)=D(X)+D(Y)（C） X 和 Y 独立（D）X 和 Y 不相关二、填空题9 为逆时针方向10 设 连续，且 x2+y2+z2
4、=xy(x+y 一 t)dt，则 2z( )=_11 设 f(x)是以 2 为周期的函数，当 x一 ，时，f(x)=_12 微分方程 x2y“一 2xy+2y+=x+4 的通解为_13 设矩阵 A= 不可对角化，则 a=_14 10 件产品中有 3 件产品为次品，从中任取 2 件，已知所取的 2 件产品中至少有一件是次品，则另一件也为次品的概率为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 y=y(x)(x0)是微分方程 2y“+y一 y=(46x)ex 的一个解，且=0 ()求 y(x)，并求 y=y(x)到 x 轴的最大距离()计算 0+y(x)dx16 设 f(x)在0，
5、1上二阶连续可导，且 f(0)=f(1)证明：存在 (0，1)，使得 201f(x)dx=f(0)+f(1)+ f“()17 设 f(x)为 一 a，a 上的连续的偶函数且 f(x)0，令 F(x)=aax 一 tf(t)dt ()证明：F(x)单调增加 ( )当 x 取何值时，F(x)取最小值? ()当 F(x)的最小值为 f(a)一 a2 一 1 时，求函数 f(x)18 设 f(x)连续可微，f(1)=1G 为不包含原点的连通区域，任取 M，N G，在 G 内曲线积分 (ydx 一 xdy)与路径无关 ()求 f(x)； ()求，取正向19 计算 ，其中为圆柱面 x2+y2=1 及平面
6、z=x+2，z=0 所围立体的表面20 就 a，b 的不同取值情况讨论方程组 何时无解、何时只有唯一解、何时有无数个解，在有无数个解时求其通解21 设 =(1， 1，1) T 是 A= 的一个特征向量 () 确定参数 a，b及特征向量 所对应的特征值，()问 A 是否可以对角化?说明理由22 设 X 的概率密度为()求 a，b 的值；()求随机变量 X 的分布函数；()求 Y=X3 的密度函数23 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，且总体 X 的密度函数为()求 的矩估计量；()求 的极大似然估计量考研数学（数学一）模拟试卷 468 答案与解析一、选择题下列每题给出的四
7、个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x0)存在，即 f(x)=f(x0)，即 f(x0一 0)=f(x0)； 由 f+(x0)存在，即 f(x)=f(x0)，即f(x0+0)=f(x0)， 从而 f(x00)=f(x0+0)=f(x0)，即 f(x)在 x=x0 处连续，而左右导数存在函数不一定可导，应选(B)2 【正确答案】 C【试题解析】 平面 的法向量为 n=2 ，一 2，1)1，2，2= 一 32，1，一 2 设平面丌与曲面 z=x2+y2+1 相切的切点为(x 0，y 0，z 0)，则曲面在该点处的法向量为2x0，2y 0，一 1，整理得 1
8、6x+8y 一 16z+11=0，选(C)3 【正确答案】 C【试题解析】 故曲线共有 4 条渐近线，应选(C)4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x，y) 在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上定取到最大值与最小值不妨设 f(x，y)在 D 上的最大值 M 在 D 内的点(x 0，y 0)处取到，即 f(x0，y 0)=M0，此时 =一 z0 矛盾，即 f(x，y)在 D 上的最大值 M 不可能在 D 内取到，同理 f(x，y)在 D 上的最小值 m 不可能在D 内取到，选(A) 5 【正确答案】 D【试题解析】 由 a =(a3 一 a1)(a3 一 a2)(a2 一 a1)
9、0，得 r(A)=3由r(A)=34，得方程组 Ax=0 有非零解，不选(A) ；由 r(AT)=r(A)=3，得方程组ATX=0 只有零解，不选(B)；由 r(A)=r(ATA)=34，得方程组 ATAX=0 有非零解，不选(C)；由 r(A)=r(AAT)=3，得方程组 AATX=0 只有零解，应选(D) 6 【正确答案】 A【试题解析】 由一 E=E13A*E23(一 2)得 A*=一 E131E231(一 2)=一 E13E23(2)，因为A *=A 2=1 且A0，所以A=1，于是 A*=A1，故 A=(A*)1=一E231(2)E131=一 E23(一 2)E13 选(A)7 【正
10、确答案】 B【试题解析】 因为 YU(0，1)，所以 Y 的分布函数为 FY(y)=则 Z=F1(Y)的分布函数为 F Z(z)=PZz=PF1(Y)z=PYF(z)=FYF(z)，因为 0F(z)1，所以 FZ(z)=F(z)，即 Z 与 X 分布相同，选(B)8 【正确答案】 D【试题解析】 因为 E(XY)=E(X)E(Y)，所以 Coy(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=0， 于是 XY=0，即 X，Y 不相关，应选(D)二、填空题9 【正确答案】 8【试题解析】 10 【正确答案】 (y)一 (x)一 2(x+y)【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 当 x 为 f
11、(x)的连续点时，f(x)=S(x) ；12 【正确答案】 C 1x+C2x2 一 xlnx+2【试题解析】 令 x=et，故原方程的通解为 y=C1x+C2x2 一 xlnx+213 【正确答案】 0 或 4【试题解析】 由EA= =( 一 a)( 一 4)=0 得 1=0， 2=a， 3=4因为 A 不可对角化，所以 A 的特征值一定有重根，从而 a=0或 a=4当 a=0 时，由 r(OEA)=r(A)=2 得 1=2=0 只有一个线性无关的特征向量，则 A 不可对角化，a=0 符合题意；当 a=4 时，4EA=，由 r(4EA)=2 得 2=3=4 只有一个线性无关的特征向量，故 A
12、不可对角化，a=4 符合题意14 【正确答案】 【试题解析】 令事件 A=所取两件产品中至少有一件次品，B=两件产品都是次品，P(A)=1 一三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 ()2y“+y一 y=(46x)ex 的特征方程为 22+ 一 10，特征值为 1=一 1，= ， 2y“+y一 y=0 的通解为 y=C1ex+C2 ， 令 2y“+y一 y=(46x)ex 的特解为 y0=(ax2+bx)ex，代入得 a=1，b=0 ， 原方程的通解为 y=C1ex+C2 +x2ex 由 =0 得 y(0)=0，y(0)=0，代入通解得 C1=C2=0，故y=x2
13、ex 由 y=(2xx2)ex=0 得 x=2， 当 x(0，2) 时，y 0；当 x2 时，y 0，则 x=2 为 y(x)的最大点， 故最大距离为 dmax=y(2)=4e2 () 0+y(x)dx=0+x2exdx= (3)=2!=216 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt，则 F(z)三阶连续可导且 F(x)=f(x)，由泰勒公式得 因为f“(x)C1， 2，所以 f“(x)在 1， 2上取到最大值 M 和最小值 m，17 【正确答案】 ()F(x)= aa|xt|f(t)dt=ax(x 一 t)f(t)dt+xa(t 一 x)f(t)dt =xaxf(t)dt一 axtf(
14、t)dt+xatf(t)dt 一 xxaf(t)dt =xaxf(t)dt 一 axtf(t)dt 一 axtf(t)dt+xaxf(t)dt， F(x)=axf(t)dt+xf(x)一 xf(x)一 xf(t)+axf(t)dt+xf(x) =axf(t)dtxaf(t)dt， 因为 F“(x)=2f(x)0，所以 F(x)为单调增加的函数 ()因为 F(0)=a0f(x)dx 一 0af(x)dx 且 f(x)为偶函数，所以 F(0)=0，又因为 F“(0)0， () 因为 F(0)=a0f(x)dx 一 0af(x)dx 且f(x)为偶函数，所以 F(0)=0，又因为 F(0)0，所以
15、x=0 为 F(x)的唯一极小点，也为最小点 故最小值为 F(0)=aa|t|f(t)dt=20atf(t)dt ()由 20atf(t)dt=f(a)一 a2 一 1两边求导得 2af(a)=f(a) 一 2a， 于是 f(x)一 2xf(x)=2x， 解得 f(x)=2xe2xdxdx+Ce2xdx= 1， 在 20atf(t)dt=f(a)一 a21 中令 a=0 得 f(0)=1，则 C=2，于是 f(x)=一 118 【正确答案】 ()故 f(x)=x2 ()取 L0：2x 2+y2=r2(r0 ，L 0 在 与 L0 所围成的区域为D1，L 0 所围成的区域为 D2由格林公式得19
16、 【正确答案】 1：z=x+2(x 2+y21)在 xOy 坐标平面上投影区域为D1：x 2+y212：x 2+y2=1(0zx+2)在 xOz 坐标平面上投影区域为 D2：x|1 ，0zx+2又 2 关于xOz 坐标平面左右对称，被积函数关于 y 是偶函数， 21(右半部分)：y=20 【正确答案】 D= =(a 一 6)(a+1)，1)当 a一 1，a6 时，方程组只有唯一解；2)当 a=一 1 时，当 a=一 1，b36 时，方程组无解；当 a=一 1，b=36 时，方程组有无数个解，21 【正确答案】 () 由 A=，得 解得 a=一 3，b=0，=一1 ( )由 EA=(+1) 3=0，得 =一 1 是三重特征值 因为 r(EA)=2，所以 =一 1 对应的线性无关的特征向量只有一个，所以 A 不可以对角化22 【正确答案】 23 【正确答案】
