1、考研数学（数学三）模拟试卷 468 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)满足 f“(x)+xf(x)2=sin x，且 f(0)=0，则 ( )（A）f(0)是 f(x)的极小值（B） f(0)是 f(x)的极大值（C）在点 (0，f(0)左侧邻域内，曲线 y=f(x)是凹的，右侧邻域内，曲线 y=f(x)是凸的（D）在点(0，f(0)左侧邻域内，曲线 y=f(x)是凸的，右侧邻域内，曲线 y=f(x)是凹的2 设 f(x)在区间(一，+)上连续，且满足 f(x)=0xf(xt)sin tdt+x，则在(一 ，+)上，当 x0 时，f(x)
2、 ( )（A）恒为正（B）恒为负（C）与 x 同号（D）与 x 异号3 设 an0(n=1，2，)，下列 4 个命题： 正确的个数为 ( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个4 曲线 y=x(x 一 1)3(x 一 2)与 x 轴围成的图形的面积为 ( )（A） 02x(x 一 1)3(x 一 2)dx（B）一 02x(x 一 1)3(x 一 2)dx（C） 01x(x 一 1)3(x 一 2)dx12x(x 一 1)3(x 一 2)dx（D）一 01x(x 一 1)3(x 一 2)dx+12x(x 一 1)3(x 一 2)dx5 设 A 是 n 阶矩阵(n1) ，满足 A*
3、=2E，k2，E 是单位矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，则(A *)k= ( )（A） E（B） 2E（C） 2k1E（D）2 n1E6 设 A= 有特征向量 =(4，一 1，2) T，则 a，b 的取值应是( )（A）a=0 ，b=2（B） a=0，b=一 2（C） a=2，b=0（D）a= 一 2，b=07 设 是 的估计量，则下列正确的是 ( )8 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，EX=，DX=1，下面说法中正确的是 ( )（A） 一 )N(0，1)（B） E( )=2（C）由切比雪夫不等式知 ( 为任意正数)（D）若 为未知参数，则样本均值 既是 的矩估计，又
4、是 的最大似然估计二、填空题9 设某产品的需求函数为 Q=Q(p)，它对价格的弹性为 ，01已知产品收益R 对价格的边际为 s，则产品的产量应是 _10 设函数 z=f(x，y)(xy0)满足 f(xy， )=y2(x2 一 1)，则 dz=_11 =_12 圆周 x2+y2=16 与直线 L： +y=4 围成的小的那块弓形状的图形绕该直线 L 旋转一周生成的旋转体(形如橄榄状)的体积 V=_13 设 A 相似于 B，B= ，则 r(2EA)*=_14 设随机变量(X，Y) N(0，0；1，4；0)，则 D(X2 一 2Y2)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(
5、x)在 x=0 处连续，且 x0 时 f(x)= 求曲线 y=f(x)在 x=0 对应的点处的切线方程16 求 17 求z在约束条件 下的最大值与最小值18 设 bn=1+ 的收敛半径、收敛区间；在收敛区间端点处，讨论对应的数项级数是发散还是收敛?如果是收敛，讨论是条件收敛还是绝对收敛?19 设微分方程 =2yx，在它的所有解中求一个解 y=y(x)，使该曲线 y=y(x)与直线 x=1，x=2 及 x 轴围成的图形绕 z 轴旋转一周所生成的旋转体体积最小20 设 A= ()求 A 的对应于考 (i=1，2，3)的特征值；()求 Ax=3 的通解； ()求 A21 ()设 A= ，其中 s，n
6、 是正整数，证明 ATA 是实对称阵，并就正整数 s，n 的情况讨论矩阵 ATA 的正定性；()B=，B TB 是否正定? 说明理由22 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，令 Y=maxX，1，求()Y 的分布函数；()PY=1 ；()EY23 设总体 X 的概率分布为(0 )()试利用总体 X 的简单随机样本值 3，1，3，0，3，1，2，3 ，求 的矩估计值 ；()设X1，X 2，X n 是来自 X(其未知参数 为() 中确定的 )的简单随机样本，当 n充分大时，取值为 2 的样本个数 N 满足 =(x)，求 a，b考研数学（数学三）模拟试卷 468 答案与解析一、选择题下列每题
7、给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 f“(z)+xf(x)2=sin x，有 f“(0)=0再由 f“(x)+f(x) 2+2xf(x)f“(x)=cos x，得 f“(0)=1，所以 =1由极限的保号性知，存在 x=0 的去心邻域 且 x0 时，f“(x)0；当 x 且 x0 时，f“(x)0故应选 D2 【正确答案】 C【试题解析】 作积分变量代换，令 xt=u，得 f(x)= 0xf(u)sin(xu)d(u)+x=0xf(u)sin(xu)du+x =sin x 0xf(u)cos uducos x 0xf(u)sin udu+x，f(x)
8、=cos x 0xf(u)cos udu+sin xcos xf(x)+sin x 0xf(u)sin uducos xsin xf(x)+1 =cos x 0xf(u)cos udu+sin x 0xf(u)sin udu+1， f“(x)=一 sin x 0xf(u)cos udu+cos2x f(x)+cos x 0xf(u)sin udu+sin2xf(x) =f(x)一 f(x)+x=x 所以 f(x)= +C1x+C2又因 f(0)=0，f(0)=1，所以 C1=1，C 2=0 从而 f(x)= +1)，故应选 C3 【正确答案】 A【试题解析】 只有是正确的，证明如下：若发散，其
9、他， ，均可举出反例 的反例： 并不收敛，而是发散 的反例：并不发散，而是收敛 的反例：并不收敛，而是发散4 【正确答案】 C【试题解析】 由 y=x(x 一 1)3(x 一 2)可知： 当 x(一，0)时，y0；当 z(0，1)时，y0；当 x(1，2)时，y0；当 x(2，+)时，y0于是在区间0，2内，当 x(0，1)时，y0；当 x(1，2)时，y0 所以在区间0，2上，y=y(x)与 x 轴围成的图形的面积 A= 01x(x 一 1)3(x 一 2)dx12x(x1)3x(x2)dx 选(C)5 【正确答案】 D【试题解析】 A k=2E，A k=2E=2 n，A= ，得A*=AA
10、-1，则 (A *)k=(A -1)k=A k(Ak)-1=A k(2E)-1= A kE=2n1E， 故应选 D6 【正确答案】 B【试题解析】 设 A 的对应于 的特征值为 ，则有解得 =2，a=0，b=一 2，故应选 B7 【正确答案】 A【试题解析】 8 【正确答案】 C【试题解析】 题中并没有给正态条件，所以排除(A)，(D) 所以选(C)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 需求对价格的弹性是一 ，其中 Q 为需求量，即产量，p 为价格依题意， 一 =，即 pQ=一 Q收益函数 R=pQ，它对价格的边际为 ，由题意，10 【正确答案】 (2xy)dxxdy【试题解析】 设 xy
11、=u， ，y 2=uv，则 f(u，v)=uv( 一 1)=u2 一uv， 即 f(x，y)=x 2 一 xy 所以 dz=(2xy)dxxdy11 【正确答案】 (1 一 )【试题解析】 对等号右边第二个积分作积分变量代换，令 x= 一 t，有12 【正确答案】 【试题解析】 原点到直线 L： +y=4 的距离 所以直线 y=2 与圆周 x2+y2=16 围成得到小的那块弓形状的图形绕直线 y=2 旋转一周生成的旋转体体积与题中要求的旋转体体积相同由此有13 【正确答案】 1【试题解析】 AB，则 2EA2EB ，r(2EB)=2r(2EA) 一 2r(2EA) *=114 【正确答案】 1
12、30【试题解析】 因(X，Y) N(0 ，01 1，4；0)，则 XN(0，1)，YN(0 ，4)且 X 与Y 独立所以 X2 与 Y2 独立故 D(X 2 一 2Y2)=D(X2)+4D(Y2) X N(0 ，1)X 2 2(1)， YN(0，4)， 2(1) 故 D(X2 一 2Y2)=D(X2)+64D( )2=2+642=130三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由于 f(x)在 x=0 处连续，所以切线方程为 ye2=一 2e2(x0)，即 y=一 2e2x+e216 【正确答案】 由拉格朗日中值定理 tan(tan x)一 tan(sin x)=(
13、tan x) x=(tan xsin x) =sec2(tan xsin x) ， 介于 tan x 与 sin x 之间，17 【正确答案】 z 的最值点与 z2 的最值点一致用拉格朗日乘数法，作 F(x，y，z， ，)=z 2+(x2+9y2 一 2z2)+(x+3y+3z 一 5)解之得两组解：(x，y，z) 1=(1， ，5) 所以当 x=1，y=时，z =1 为最小值；当 x=一 5，y=一 时，z=5 为最大值。18 【正确答案】 由求收敛半径的通常办法考虑所以收敛半径R=1，收敛区间为 (一 1，1)考查端点 x=一 1 处，易见 满足莱布尼茨定理条件，该级数收敛以下证明此级数为
14、条件收敛，即证级数 发散为此构造不等式，当 x0 时，易知有不等式由比较判别法知，级数 发散所以该幂级数在 x=一 1 处条件收敛而在 x=1 处该幂级数显然发散，所以收敛域为1，1)19 【正确答案】 当 x0 时，该微分方程可写成 由一阶线性非齐次微分方程通解公式得对于不同的 C求 V 的最小值，令时对应的解 y=x 一x2 在区间1，2 上与 x 轴围成的曲边梯形绕 x 轴旋转所生成的旋转体体积最小20 【正确答案】 () 因 1， 2， 3 是 A 的特征向量，假设对应的特征值分别是1， 2， 3，则有 由等式两端的第一个分量相等，得 1=0同理 ()A 是33 的非零矩阵(a 1=1
15、0)，r(A)1 A 1=0，A 2=0，且 1， 2 线性无关，所以 r(A)1则 r(A)=1， 1， 2 是 Ax=0 的基础解系又因 A3=(一 1)3，故 A(3)=3，Ax= 3 有特解一 3，从而 Ax=3 的通解为 k11+k22 一 3，其中 k1，k 2 是任意常数() 直接由题设条件解出未知的 aij(i=2，3，j=1 ，2，3)，从而求出 A因r(A)=1，故(a 21，a 22，a 23)=k(1，一 2，3) ，(a 31，a 32，a 33)=l(1，一 2，3)，即两端第 2 个分量，第 3 个分量分别相等，得 k=一 2，l= 一 2故 21 【正确答案】
16、()(A TA)T=AT(AT)TATA，则 ATA 是实对称矩阵 当 sn 时，A 的列向量组线性相关(向量个数 s向量的维数 n)，故 Ax=0 有非零解，即存在x0， 使得 Ax=0，从而使 xTATAx=0，故当 sn 时，A TA 不是正定矩阵 当 s=n时，范德蒙德行列式A0，A 是可逆矩阵，根据矩阵正定的充分必要条件，ATA 是正定矩阵 当 sn 时，A 的列向量组线性无关(当 s=n 时，A 的列向量组线性无关，减少向量个数仍线性无关)， Ax=0 只有零解，即任给 x0，均有 Ax0，从而有(Ax) TAx=xTATAx 0，从而 ATA 是正定矩阵 故当 sn 时，A TA
17、 是正定矩阵 ( )因(B TB)T=BT(BT)T=BTB，则 BTB 是实对称矩阵又B =10!A 0(其中 A 是()中 s=10，n=10 的矩阵)，故 BTB 是正定矩阵22 【正确答案】 () 由 XE(1) ，X 的概率密度为 f(x)= Y=maxX，1= 故 Y1，+)由分布函数的定义FY(y)=PYy当 y1 时，F Y(y)=P( =0；当 y1 时，F Y(y)=P(Yy)=PY=1+P1Yy=PX1+P1Xy =FX(y)=1 一 e-y，其中 FX(x)为 X 的分布函数所以 F Y(y)= ()P(Y=1)=F Y(1)一 FY(1 一 0)=1 一 e-1 一 0=1 一 e-1()由()知 Y 不是连续型随机变量，故 EY=Emax(X，1= -+maxx，1f(x)dx =0+maxx，1e -xdx =011e -xdx+1+xe -xdx =1+e-123 【正确答案】 () 由题得 EX=0 2+12(1)+2 2+3(12)=34= ，则 的矩估计量为 (3+1+3+0+3+1+2+3)=2，所以 的矩估计值 ()由题设知 N。
