1、考研数学（数学三）模拟试卷 468 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)满足 f“(x)+xf(x) 2 =sin x，且 f(0)=0，则 ( )（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.在点(0，f(0)左侧邻域内，曲线 y=f(x)是凹的，右侧邻域内，曲线 y=f(x)是凸的D.在点(0，f(0)左侧邻域内，曲线 y=f(x)是凸的，右侧邻域内，曲线 y=f(x)是凹的3.设 f(x)在区间
2、(一，+)上连续，且满足 f(x)= 0 x f(xt)sin tdt+x，则在(一，+)上，当x0 时，f(x) ( )（分数：2.00）A.恒为正B.恒为负C.与 x 同号D.与 x 异号4.设 a n 0(n=1，2，)，下列 4 个命题： （分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个5.曲线 y=x(x 一 1) 3 (x 一 2)与 x 轴围成的图形的面积为 ( )（分数：2.00）A. 0 2 x(x 一 1) 3 (x 一 2)dxB.一 0 2 x(x 一 1) 3 (x 一 2)dxC. 0 1 x(x 一 1) 3 (x 一 2)dx 1 2 x(x 一 1)
3、 3 (x 一 2)dxD.一 0 1 x(x 一 1) 3 (x 一 2)dx+ 1 2 x(x 一 1) 3 (x 一 2)dx6.设 A 是 n 阶矩阵(n1)，满足 A * =2E，k2，E 是单位矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，则(A * ) k = ( )（分数：2.00）A.EB.2EC.2 k1 ED.2 n1 E7.设 A= （分数：2.00）A.a=0，b=2B.a=0，b=一 2C.a=2，b=0D.a=一 2，b=08.设 是 的估计量，则下列正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，EX=
4、，DX=1，下面说法中正确的是 ( )（分数：2.00）A.一 )N(0，1)B.E( C.由切比雪夫不等式知D.若 为未知参数，则样本均值二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设某产品的需求函数为 Q=Q(p)，它对价格的弹性为 ，01已知产品收益 R 对价格的边际为s，则产品的产量应是 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设函数 z=f(x，y)(xy0)满足 f(xy， （分数：2.00）填空项 1:_12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_13.圆周 x 2 +y 2 =16 与直线 L： （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A 相似于 B，B= （分数：2.
5、00）填空项 1:_15.设随机变量(X，Y)N(0，0；1，4；0)，则 D(X 2 一 2Y 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 f(x)在 x=0 处连续，且 x0 时 f(x)= （分数：2.00）_18.求 （分数：2.00）_19.求z在约束条件 （分数：2.00）_20.设 b n =1+ （分数：2.00）_21.设微分方程 （分数：2.00）_22.设 A= （分数：2.00）_23.()设 A= ，其中 s，n 是正整数，证明 A T A 是
6、实对称阵，并就正整数 s，n 的情况讨论矩阵 A T A 的正定性； ()B= （分数：2.00）_24.设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，令 Y=maxX，1，求()Y 的分布函数；()PY=1；()EY（分数：2.00）_25.设总体 X 的概率分布为(0 ) ()试利用总体 X 的简单随机样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求 的矩估计值 ； ()设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X(其未知参数 为()中确定的 )的简单随机样本，当 n 充分大时，取值为 2 的样本个数 N 满足 （分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 468 答案解析(总分：50.00，做题时
7、间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)满足 f“(x)+xf(x) 2 =sin x，且 f(0)=0，则 ( )（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.在点(0，f(0)左侧邻域内，曲线 y=f(x)是凹的，右侧邻域内，曲线 y=f(x)是凸的D.在点(0，f(0)左侧邻域内，曲线 y=f(x)是凸的，右侧邻域内，曲线 y=f(x)是凹的 解析：解析：由 f“(z)+xf(x) 2 =sin x，有 f“(0)=0再由 f“
8、(x)+f(x) 2 +2xf(x)f“(x)=cos x， 得 f“(0)=1，所以 =1 由极限的保号性知，存在 x=0 的去心邻域 且 x0 时，f“(x)0；当 x 3.设 f(x)在区间(一，+)上连续，且满足 f(x)= 0 x f(xt)sin tdt+x，则在(一，+)上，当x0 时，f(x) ( )（分数：2.00）A.恒为正B.恒为负C.与 x 同号 D.与 x 异号解析：解析：作积分变量代换，令 xt=u，得 f(x)= 0 x f(u)sin(xu)d(u)+x= 0 x f(u)sin(xu)du+x =sin x 0 x f(u)cos uducos x 0 x f
9、(u)sin udu+x， f(x)=cos x 0 x f(u)cos udu+sin xcos xf(x)+sin x 0 x f(u)sin uducos xsin xf(x)+1 =cos x 0 x f(u)cos udu+sin x 0 x f(u)sin udu+1， f“(x)=一 sin x 0 x f(u)cos udu+cos 2 xf(x)+cos x 0 x f(u)sin udu+sin 2 xf(x) =f(x)一 f(x)+x=x 所以 f(x)= +C 1 x+C 2 又因 f(0)=0，f(0)=1，所以 C 1 =1，C 2 =0 从而 f(x)= 4.设
10、 a n 0(n=1，2，)，下列 4 个命题： （分数：2.00）A.1 个 B.2 个C.3 个D.4 个解析：解析：只有是正确的，证明如下：若 发散，其他，均可举出反例 的反例：并不收敛，而是发散 的反例： 并不发散，而是收敛 的反例：5.曲线 y=x(x 一 1) 3 (x 一 2)与 x 轴围成的图形的面积为 ( )（分数：2.00）A. 0 2 x(x 一 1) 3 (x 一 2)dxB.一 0 2 x(x 一 1) 3 (x 一 2)dxC. 0 1 x(x 一 1) 3 (x 一 2)dx 1 2 x(x 一 1) 3 (x 一 2)dx D.一 0 1 x(x 一 1) 3
11、(x 一 2)dx+ 1 2 x(x 一 1) 3 (x 一 2)dx解析：解析：由 y=x(x 一 1) 3 (x 一 2)可知： 当 x(一，0)时，y0；当 z(0，1)时，y0；当x(1，2)时，y0；当 x(2，+)时，y0于是在区间0，2内，当 x(0，1)时，y0；当x(1，2)时，y0 所以在区间0，2上，y=y(x)与 x 轴围成的图形的面积 A= 0 1 x(x 一 1) 3 (x一 2)dx 1 2 x(x1) 3 x(x2)dx 选(C)6.设 A 是 n 阶矩阵(n1)，满足 A * =2E，k2，E 是单位矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，则(A * ) k = (
12、 )（分数：2.00）A.EB.2EC.2 k1 ED.2 n1 E 解析：解析：A k =2E，A k =2E=2 n ，A= ，得 A * =AA -1 ，则 (A * ) k =(A -1 ) k =A k (A k ) -1 =A k (2E) -1 = 7.设 A= （分数：2.00）A.a=0，b=2B.a=0，b=一 2 C.a=2，b=0D.a=一 2，b=0解析：解析：设 A 的对应于 的特征值为 ，则有8.设 是 的估计量，则下列正确的是 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：9.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，EX=，DX
13、=1，下面说法中正确的是 ( )（分数：2.00）A.一 )N(0，1)B.E( C.由切比雪夫不等式知 D.若 为未知参数，则样本均值解析：解析：题中并没有给正态条件，所以排除(A)，(D)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设某产品的需求函数为 Q=Q(p)，它对价格的弹性为 ，01已知产品收益 R 对价格的边际为s，则产品的产量应是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：需求对价格的弹性是一 ，其中 Q 为需求量，即产量，p 为价格依题意， 一=，即 pQ=一 Q 收益函数 R=pQ，它对价格的边际为 ，由题意，11.设函数 z=f(x，y
14、)(xy0)满足 f(xy， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(2xy)dxxdy）解析：解析：设 xy=u， ，y 2 =uv，则 f(u，v)=uv( 12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1 一*)）解析：解析： 对等号右边第二个积分作积分变量代换，令 x= 一 t，有13.圆周 x 2 +y 2 =16 与直线 L： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：原点到直线 L： +y=4 的距离 所以直线 y=2 与圆周 x 2 +y 2 =16 围成得到小的那块弓形状的图形绕直线 y=2 旋转一周生
15、成的旋转体体积与题中要求的旋转体体积相同由此有 14.设 A 相似于 B，B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：AB，则 2EA2EB， 15.设随机变量(X，Y)N(0，0；1，4；0)，则 D(X 2 一 2Y 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：130）解析：解析：因(X，Y)N(0，01 1，4；0)，则 XN(0，1)，YN(0，4)且 X 与 Y 独立所以 X 2 与 Y 2 独立故 D(X 2 一 2Y 2 )=D(X 2 )+4D(Y 2 ) XN(0，1)X 2 2 (1)， YN(0，4)， 2 (1)
16、 故 D(X 2 一 2Y 2 )=D(X 2 )+64D( 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 f(x)在 x=0 处连续，且 x0 时 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f(x)在 x=0 处连续，所以 )解析：18.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由拉格朗日中值定理 tan(tan x)一 tan(sin x)=(tan x) x= (tan xsin x) =sec 2 (tan xsin x)， 介于 tan x 与 sin x 之间， )解析：19
17、.求z在约束条件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：z的最值点与 z 2 的最值点一致用拉格朗日乘数法，作 F(x，y，z，)=z 2 +(x 2 +9y 2 一 2z 2 )+(x+3y+3z 一 5) 解之得两组解：(x，y，z) 1 =(1， ，5) 所以当 x=1，y= 时，z=1 为最小值；当 x=一 5，y=一 )解析：20.设 b n =1+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由求收敛半径的通常办法考虑 所以收敛半径 R=1，收敛区间为(一 1，1) 考查端点 x=一 1 处，易见 满足莱布尼茨定理条件，该级数收敛以下证明此级数为条件收敛，即证级数 发散为此构造不
18、等式，当 x0 时，易知有不等式 由比较判别法知，级数 )解析：21.设微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，该微分方程可写成 由一阶线性非齐次微分方程通解公式得 对于不同的 C 求 V 的最小值，令 时对应的解 y=x 一 )解析：22.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因 1 ， 2 ， 3 是 A 的特征向量，假设对应的特征值分别是 1 ， 2 ， 3 ，则有 由等式两端的第一个分量相等，得 1 =0同理 ()A 是 33 的非零矩阵(a 1 =10)，r(A)1 A 1 =0，A 2 =0，且 1 ， 2 线性无关，所以 r(A)1则
19、r(A)=1， 1 ， 2 是 Ax=0 的基础解系又因 A 3 =(一 1) 3 ，故 A( 3 )= 3 ，Ax= 3 有特解一 3 ，从而 Ax= 3 的通解为 k 1 1 +k 2 2 一 3 ， 其中 k 1 ，k 2 是任意常数 ()直接由题设条件解出未知的 a ij (i=2，3，j=1，2，3)，从而求出 A 因 r(A)=1，故(a 21 ，a 22 ，a 23 )=k(1，一 2，3)，(a 31 ，a 32 ，a 33 )=l(1，一 2，3)，即 两端第 2 个分量，第 3 个分量分别相等，得 k=一 2，l=一 2 故 )解析：23.()设 A= ，其中 s，n 是正
20、整数，证明 A T A 是实对称阵，并就正整数 s，n 的情况讨论矩阵 A T A 的正定性； ()B= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()(A T A) T =A T (A T ) T A T A，则 A T A 是实对称矩阵 当 sn 时，A的列向量组线性相关(向量个数 s向量的维数 n)，故 Ax=0 有非零解，即存在 x0， 使得 Ax=0，从而使x T A T Ax=0，故当 sn 时，A T A 不是正定矩阵 当 s=n 时，范德蒙德行列式A0，A 是可逆矩阵，根据矩阵正定的充分必要条件，A T A 是正定矩阵 当 sn 时，A 的列向量组线性无关(当 s=n 时，A
21、的列向量组线性无关，减少向量个数仍线性无关)， Ax=0 只有零解，即任给 x0，均有 Ax0，从而有(Ax) T Ax=x T A T Ax0，从而 A T A 是正定矩阵 故当 sn 时，A T A 是正定矩阵 ()因(B T B) T =B T (B T ) T =B T B，则 B T B 是实对称矩阵又B=10!A0(其中 A 是()中 s=10，n=10 的矩阵)，故 B T B 是正定矩阵)解析：24.设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，令 Y=maxX，1，求()Y 的分布函数；()PY=1；()EY（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 XE(1)，X 的概
22、率密度为 f(x)= Y=maxX，1= 故Y1，+) 由分布函数的定义 F Y (y)=PYy 当 y1 时，F Y (y)=P( =0； 当 y1 时，F Y (y)=P(Yy)=PY=1+P1Yy=PX1+P1Xy =F X (y)=1 一 e -y ， 其中 F X (x)为 X 的分布函数 所以 F Y (y)= )解析：25.设总体 X 的概率分布为(0 ) ()试利用总体 X 的简单随机样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求 的矩估计值 ； ()设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X(其未知参数 为()中确定的 )的简单随机样本，当 n 充分大时，取值为 2 的样本个数 N 满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由题得 EX=0 2 +12(1)+2 2 +3(12)=34= ，则 的矩估计量为 (3+1+3+0+3+1+2+3)=2，所以 的矩估计值 ()由题设知N )解析：
