1、考研数学（数学一）模拟试卷 495 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在( 一，) 内连续且严格单调增加，f(0)0，常数 n 为正奇数并设F(x) 则正确的是（A）F(x)在(一，0) 内严格单调增，在(0，)内也严格单调增（B） F(x)在(一，0)内严格单调增，在 (0，) 内严格单调减（C） F(x)在(一，0)内严格单调减，在 (0，) 内严格单调增（D）F(x)在(一，0) 内严格单调减，在(0，)内也严格单调减2 设 an0(n1，2，)，下述命题正确的是（A）设存在 N0，当 nN 时， 必收敛（B）设 收敛，则必存在 N
2、0，当 nN 时，（C）设存在 N0，当 nN 时 必发散（D）设 发散，则必存在 N0，当 nN 时3 设 P(x，y，z)，Q(x，y ，z) 与 R(x，y，z)在空间区域 内连续并且有连续的一阶偏导数，则“ 当(x，y，z) 时 ”是“ 对于 内的任意一张逐片光滑的封闭曲面 S， （x，y，z）dydzQ(x,y,z)dydzR(x,y,z)dxdy0”的（A）充分条件而非必要条件（B）必要条件而非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件4 5 设 A44xb 是 4 元非齐次线性方程组 1， 2， 3 是其三个不同的解，则（A）若 1， 2， 3 线性无关则 1 一 2，
3、 2 一 3 是 Ax0 的基础解系（B）若 r(A )2，则 1， 2， 3 线性相关（C）若 1， 2， 3 线性无关，则 r(A )1（D）若 1， 2， 3 线性相关，则 r(A )36 设 A，B 均是 n(n0)阶方阵，方程 Ax0 和 Bx0 有相同的基础解系1， 2， 3，则下列方程组中也以 1， 2， 3 为基础解系的是（A）(AB)x0（B） (AB)x0（C） (BA)x0（D）7 设(X，Y) 是二维连续型随机变量，下列各式都有意义，若 X 与 Y 独立，则下列式中必成立的个数为E(XY)EXEY； fX|Y(x|y)f X(x)；PXx，Yy1 一 FX(x)FY(y
4、)；令 ZXY，则（A）1（B） 2（C） 3（D）48 假设总体 X 在非负整数集0，1，2，k)上等可能取值，k 为未知参数，x 1， x2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本值，则 k 的最大似然估计值为（A）x n（B） （C） minx1，x n（D）maxx 1，x n二、填空题9 _.10 设 uu(x ，y，z)具有二阶连续偏导数，且满足 又设 S 为曲面 x2y 2x 2 2ax(a0) 的外侧，则_11 设 f(u)在 u1 的某邻域内有定义且 f(1)0, 则_12 设 exsin2x 为某 n 阶常系数齐次线性微分方程的一个解，则该方程的阶数 n 至少是_，该方程为
5、_13 设 A，B，C 均是 3 阶矩阵，满足 ABB 2 一 BC，其中,则 A5_ 14 设 A 与 B 是两随机事件，P(A )06 且 05，则_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设空间曲线 其中常数 R0，从 z 轴正向朝 z 轴负向看去，L 为逆时针转的，求空间第二型曲线积分15 函数 16 将 f(x)展开成 x 一 1 的幂级数，并求此幂级数的收敛域；17 在此收敛域上，该幂级数是否都收敛于 f(x)?如果在某处收敛而不收敛于 f(x)在该处的值，那么收敛干什么?均要求说明理由17 设微分方程 xy2y2(e x 一 1)18 求上述微分方程的通解，并求
6、 存在的那个解(将该解记为 y0(x)，以及极限值19 补充定义使 y0(x)在 x0 处连续，求 y 0(x)，并请证明无论 x0 还是x0，y 0(x)均连续，并请写出 y 0(x)的表达式20 设 x0，证明： ,且仅在 x1 处等号成立21 设点 M(,，)是椭球面 上第一卦限中的点，S 是该椭球面在点 M 处的切平面被三个坐标面所截得的三角形的上侧求点 (,，) 使曲面积分 为最小，并求此最小值21 回答下列问题22 设 A，B 均是 n 阶方阵，A 的主对角元素之和称为 A 的迹，记成 tr(A)证明 AB 和 BA 有相同的迹；23 设 A，X 均是 2 阶方阵，E 是 2 阶单
7、位阵，证明矩阵方程 AX 一 XAE 无解23 回答下列问题24 设 f(x1，x 2，x 3) ，用可逆线性变换将 f 化为规范形，并求出所作的可逆线性变换并说明二次型的对应矩阵A 是正定矩阵；25 设 A 求可逆矩阵 D，使 AD TD25 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，令 YmaxX，1)，求26 Y 的分布函数；27 PY1；28 EY28 设总体 X 的概率分布为(029 试利用总体 X 的简单随机样本值 3，1，3，0， 3，1，2，3，求 的矩估计值 ；30 设 X1，X 2，X n 是来自 X(其未知参数 为()中确定的简单随机样本，当 n充分大时，取值为 2 的
8、样本个数 N 满足 (x)，求a，b(x)为标准正态分布的分布函数)考研数学（数学一）模拟试卷 495 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C2 【正确答案】 C3 【正确答案】 B4 【正确答案】 A5 【正确答案】 D6 【正确答案】 D7 【正确答案】 C8 【正确答案】 D二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 对等号右边第二个积分作积分变量代换，令 x 一 t，有10 【正确答案】 【试题解析】 由高斯公式，以 表示 S 所围的球域，有11 【正确答案】 【试题解析】 式中(*)处表示等价无穷小替换12 【正确答案】 3；y一
9、3y7y一 5y0【试题解析】 e xsin2x e x 一 e xcos 2x,所以方程至少有 3 个特征根：1，12i ，12i?特征方程为 (r 一 1)r 一(12i)r(12i)0， 即 r 33r27r50， 微分方程为 y一 3y 7y一 5y013 【正确答案】 【试题解析】 10，故 B 可逆，则由 ABB 2 一 BCB(BC) ，得AB(BC)B 1 ，于是 A 5B(BC)B 1 B(BC)B1 B(BC)B1 B(BC)5B1 ，又易知 故14 【正确答案】 02【试题解析】 由 05，且 P(A)06，得0202三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15
10、 【正确答案】 法一 参数法：由曲线 L 的第二个式子有取参数式，令 ，得 y ，如图所示，由于 L 为逆时针转，所以 t从 0 到 2代入 L 的第一个式子，得 L 的参数式为代入曲线积分表达式中，有法二 用斯托克斯公式化成第一型曲面积分取以 L 为边界的一个光滑曲面，就取组成 L 的曲面 ，S 的法向量由斯托克斯公式，并写成第一型曲面积分形式，有由于 S的法向量指向外侧，故 从而 I再将上述第一型曲面积分化成二重积分，并注意到 z，S 在平面 xOy 上的投影区域为于是16 【正确答案】 将函数 f(x) ，展开成 xl 的幂级数，为使式子简单起见，令 ux 一 1，即 xu1则展开成 u
11、 的幂级数由 （0）arctan( 1) ，所以 ，1u1.显然，在 u1 处上式右边的幂级数收敛，所以该幂级数的收敛域为一1u1，即 x 一 1 的幂级数 的收敛域为 0x217 【正确答案】 在 x0 处 f(x) 无定义，所以谈不上它与该幂级数相等，那么该幂级数在 x0 处收敛于什么呢?由于该幂级数在 x0 处是收敛的，由同济大学高等数学(下册)(第七版)P279 性质 1，和函数是连续的，所以， 即在 x0 处收敛于 至于该幂级数的和函数在 x2 处，由于 f(x)在x2 处连续，所以 即0，在 x2 处收敛于 f(x)在 x2 处的值，所以18 【正确答案】 当 x0 时，原方程化为
12、 由一阶线性微分方程的通解公式，得通解 y其中 C 为任意常数由上述表达式可知，并不是对于任何常数 C， 都存在，存在的必要条件是 0，即 C2当 C2 时，对应的 y(x)记为 y0(x) 19 【正确答案】 令而当 x0 时，所以y 0(x)在 x0 处连续又显然，y 0(x)在 x0 处也连续，故无论 x0 还是 x0， 均连续20 【正确答案】 先证明当 0x1 时， .令记(x) 有 (0)0，(x) 所以当 0x1 时，(x)0从而知，当 0x1 时，(x)O，即有 F(x)0因 F(1)0，所以当 0xl 时，F(x) 0又因F(1)0，所以当 0x1 时，F(x)0，从而知当
13、0x1 时，上式中令 u 故知当 1u时，又当 x1 时， 4，所以当0x时，有 4，当且仅当 x1 时等号才成立21 【正确答案】 曲面 1 上点 M(，) 处的法向量为 n,切平面方程是 化简即得1.该切平面被三个坐标面截得的三角形在xOy 平面上的投影区域为 从而所以 I，0a，0 6，0c求 I 的最小值等价于求 W，0由拉格朗日乘数法得 显然，当 a 或0 时，w 最小，故当(，) 时，w 最大，I 的最小值为 .22 【正确答案】 设 A 则得证 tr(AB)一 tr(BA)23 【正确答案】 法一 利用()的结论，因 tr(AXXA)tr(AX)一 tr(XA)0tr(E)2故
14、AXXAE 无解法二 设 则 Ax XA从而两式相加得 02 是矛盾方程故原方程组无解24 【正确答案】 将 f(x1，x 2，x 3)用配方法化为标准形，得得 f 的标准形为 所作的可逆线性变换为 xCy，其中 C A 对应的二次型的规范形为 ，正惯性指数P3r(A)，故知 A 是正定矩阵(也可用定义证明，或用顺序主子式全部大于零证明 A 是正定矩阵)25 【正确答案】 法一 由()知，A 是 f(x1，x 2，x 3)的对应矩阵，即 f(x1， x2，x 3)X TAx令 xCy，其中 C ，得fx TAxy TcTACyy TEy，故 cTACE ，A(C -1)TC-1D TD，其中
15、DC -1由(C|E)(E|C -1)，故 D 且 AD TD法二 由()，f(x 1，x 2，x 3)其中，A D TD，D 26 【正确答案】 )由 XE(1) ，X 的概率密度为 f(x) YmaxX，1 故 Y1，)由分布函数的定义 F(y)PyY)，当 yY(y) 0；当 1y 时，Fr(y)PYyP0X1)PlXy F X(y)1 一 e-y，其中 FX(x)为 X 的分布函数所以27 【正确答案】 PY1)F Y(1)一 FY(1 一 0)1 一 e-1 一 01 一 e-128 【正确答案】 由() 知 Y 不是连续型随机变量，故 EYEmaxX ，1 29 【正确答案】 由题意得 EX0 212(1 一 )2? 23?(12) 34,则 的矩估计量为 .又样本均值 (31303123)2，所以 的矩估计值30 【正确答案】 由题设知 ,由中心极限定理得所以
