1、考研数学（数学一）模拟试卷 495 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在(一，)内连续且严格单调增加，f(0)0，常数 n 为正奇数并设 F(x) （分数：2.00）A.F(x)在(一，0)内严格单调增，在(0，)内也严格单调增B.F(x)在(一，0)内严格单调增，在(0，)内严格单调减C.F(x)在(一，0)内严格单调减，在(0，)内严格单调增D.F(x)在(一，0)内严格单调减，在(0，)内也严格单调减3.设 a n 0(n1，2，)
2、，下述命题正确的是（分数：2.00）A.设存在 N0，当 nN 时，B.设 收敛，则必存在 N0，当 nN 时，C.设存在 N0，当 nN 时D.设 发散，则必存在 N0，当 nN 时4.设 P(x，y，z)，Q(x，y，z)与 R(x，y，z)在空间区域 内连续并且有连续的一阶偏导数，则“当(x，y，z) 时 ”是“对于 内的任意一张逐片光滑的封闭曲面 S， （分数：2.00）A.充分条件而非必要条件B.必要条件而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件A.B.C.D.6.设 A 44 xb 是 4 元非齐次线性方程组 1 ， 2 ， 3 是其三个不同的解，则（分数：2.00）A.
3、若 1 ， 2 ， 3 线性无关则 1 一 2 ， 2 一 3 是 Ax0 的基础解系B.若 r(A )2，则 1 ， 2 ， 3 线性相关C.若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 r(A )1D.若 1 ， 2 ， 3 线性相关，则 r(A )37.设 A，B 均是 n(n0)阶方阵，方程 Ax0 和 Bx0 有相同的基础解系 1 ， 2 ， 3 ，则下列方程组中也以 1 ， 2 ， 3 为基础解系的是（分数：2.00）A.(AB)x0B.(AB)x0C.(BA)x0D.8.设(X，Y)是二维连续型随机变量，下列各式都有意义，若 X 与 Y 独立，则下列式中必成立的个数为 E(XY)EX?E
4、Y； f X|Y (x|y)f X (x)； PXx，Yy1 一 F X (x)F Y (y)； 令 ZXY，则 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.49.假设总体 X 在非负整数集0，1，2，k)上等可能取值，k 为未知参数，x 1 ， x 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本值，则 k 的最大似然估计值为（分数：2.00）A.x n B.C.minx 1 ，x n D.maxx 1 ，x n 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10. 1. （分数：2.00）填空项 1:_11.设 uu(x，y，z)具有二阶连续偏导数，且满足 又设 S 为曲面 x 2 y 2 x 2 2
5、ax(a0)的外侧，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(u)在 u1 的某邻域内有定义且 f(1)0, 则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 e x sin 2 x 为某 n 阶常系数齐次线性微分方程的一个解，则该方程的阶数 n 至少是 1，该方程为 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_14.设 A，B，C 均是 3 阶矩阵，满足 ABB 2 一 BC，其中 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 与 B 是两随机事件，P(A )06 且 05，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：32.00)16.解答题解答应写出文字说明
6、、证明过程或演算步骤。_17.设空间曲线 其中常数 R0，从 z 轴正向朝 z 轴负向看去，L 为逆时针转的，求空间第二型曲线积分 （分数：2.00）_函数 （分数：4.00）(1).将 f(x)展开成 x 一 1 的幂级数，并求此幂级数的收敛域；（分数：2.00）_(2).在此收敛域上，该幂级数是否都收敛于 f(x)?如果在某处收敛而不收敛于 f(x)在该处的值，那么收敛干什么?均要求说明理由（分数：2.00）_设微分方程 xy2y2(e x 一 1)（分数：4.00）(1).求上述微分方程的通解，并求 存在的那个解(将该解记为 y 0 (x)，以及极限值 （分数：2.00）_(2).补充定
7、义使 y 0 (x)在 x0 处连续，求 y 0 (x)，并请证明无论 x0 还是 x0，y 0 (x)均连续，并请写出 y 0 (x)的表达式（分数：2.00）_18.设 x0，证明： （分数：2.00）_19.设点 M(,，)是椭球面 上第一卦限中的点，S 是该椭球面在点 M 处的切平面被三个坐标面所截得的三角形的上侧求点(,，)使曲面积分 （分数：2.00）_回答下列问题（分数：4.00）(1).设 A，B 均是 n 阶方阵，A 的主对角元素之和称为 A 的迹，记成 tr(A)证明 AB 和 BA 有相同的迹；（分数：2.00）_(2).设 A，X 均是 2 阶方阵，E 是 2 阶单位阵
8、，证明矩阵方程 AX 一 XAE 无解（分数：2.00）_回答下列问题（分数：4.00）(1).设 f(x 1 ，x 2 ，x 3 ) （分数：2.00）_(2).设 A （分数：2.00）_设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，令 YmaxX，1)，求（分数：6.00）(1).Y 的分布函数；（分数：2.00）_(2).PY1；（分数：2.00）_(3).EY（分数：2.00）_设总体 X 的概率分布为(0（分数：4.00）(1).试利用总体 X 的简单随机样本值 3，1，3，0，3，1，2，3，求 的矩估计值 （分数：2.00）_(2).设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X(其
9、未知参数 为()中确定的简单随机样本，当 n 充分大时，取值为 2 的样本个数 N 满足 （分数：2.00）_考研数学（数学一）模拟试卷 495 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在(一，)内连续且严格单调增加，f(0)0，常数 n 为正奇数并设 F(x) （分数：2.00）A.F(x)在(一，0)内严格单调增，在(0，)内也严格单调增B.F(x)在(一，0)内严格单调增，在(0，)内严格单调减C.F(x)在(一，0)内严格单调减，在
10、(0，)内严格单调增 D.F(x)在(一，0)内严格单调减，在(0，)内也严格单调减解析：3.设 a n 0(n1，2，)，下述命题正确的是（分数：2.00）A.设存在 N0，当 nN 时，B.设 收敛，则必存在 N0，当 nN 时，C.设存在 N0，当 nN 时 D.设 发散，则必存在 N0，当 nN 时解析：4.设 P(x，y，z)，Q(x，y，z)与 R(x，y，z)在空间区域 内连续并且有连续的一阶偏导数，则“当(x，y，z) 时 ”是“对于 内的任意一张逐片光滑的封闭曲面 S， （分数：2.00）A.充分条件而非必要条件B.必要条件而非充分条件 C.充分必要条件D.既非充分又非必要条
11、件解析：A. B.C.D.解析：6.设 A 44 xb 是 4 元非齐次线性方程组 1 ， 2 ， 3 是其三个不同的解，则（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， 3 线性无关则 1 一 2 ， 2 一 3 是 Ax0 的基础解系B.若 r(A )2，则 1 ， 2 ， 3 线性相关C.若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 r(A )1D.若 1 ， 2 ， 3 线性相关，则 r(A )3 解析：7.设 A，B 均是 n(n0)阶方阵，方程 Ax0 和 Bx0 有相同的基础解系 1 ， 2 ， 3 ，则下列方程组中也以 1 ， 2 ， 3 为基础解系的是（分数：2.00）A.(AB)x0B.
12、(AB)x0C.(BA)x0D. 解析：8.设(X，Y)是二维连续型随机变量，下列各式都有意义，若 X 与 Y 独立，则下列式中必成立的个数为 E(XY)EX?EY； f X|Y (x|y)f X (x)； PXx，Yy1 一 F X (x)F Y (y)； 令 ZXY，则 （分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：9.假设总体 X 在非负整数集0，1，2，k)上等可能取值，k 为未知参数，x 1 ， x 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本值，则 k 的最大似然估计值为（分数：2.00）A.x n B.C.minx 1 ，x n D.maxx 1 ，x n 解析：二、填空题(
13、总题数：6，分数：12.00)10. 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 对等号右边第二个积分作积分变量代换，令 x 一 t，有11.设 uu(x，y，z)具有二阶连续偏导数，且满足 又设 S 为曲面 x 2 y 2 x 2 2ax(a0)的外侧，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由高斯公式，以 表示 S 所围的球域，有12.设 f(u)在 u1 的某邻域内有定义且 f(1)0, 则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.设 e x sin 2 x 为某 n 阶常系数齐
14、次线性微分方程的一个解，则该方程的阶数 n 至少是 1，该方程为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）填空项 1:_ （正确答案：y一 3y7y一 5y0）解析：解析：e x sin 2 x e x 一 e x cos 2x,所以方程至少有 3 个特征根：1，12i，12i?特征方程为 (r 一 1)r 一(12i)r(12i)0， 即 r 3 3r 2 7r50， 微分方程为 y一3y 7y一 5y014.设 A，B，C 均是 3 阶矩阵，满足 ABB 2 一 BC，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 10，故 B 可逆，
15、则由 ABB 2 一 BCB(BC)，得 AB(BC)B 1 ， 于是 A 5 B(BC)B 1 B(BC)B 1 B(BC)B 1 B(BC) 5 B 1 ， 又易知 故 15.设 A 与 B 是两随机事件，P(A )06 且 05，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：02）解析：解析：由 05，且 P(A)06，得 02三、解答题(总题数：10，分数：32.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.设空间曲线 其中常数 R0，从 z 轴正向朝 z 轴负向看去，L 为逆时针转的，求空间第二型曲线积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答
16、案：法一 参数法：由曲线 L 的第二个式子有 取参数式，令 ，得y ，如图所示，由于 L 为逆时针转，所以 t 从 0 到 2代 入 L 的第一个式子，得 L 的参数式为代入曲线积分表达式中，有 法二 用斯托克斯公式化成第一型曲面积分取以 L 为边界的一个光滑曲面，就取组成 L 的曲面 ，S 的法向量 由斯托克斯公式，并写成第一型曲面积分形式，有由于 S 的法向量指向外侧，故 从而 I 再将上述第一型曲面积分化成二重积分，并注意到 z ，S 在平面 xOy 上的投影区域为 于是 )解析：函数 （分数：4.00）(1).将 f(x)展开成 x 一 1 的幂级数，并求此幂级数的收敛域；（分数：2.
17、00）_正确答案：(正确答案：将函数 f(x) ，展开成 xl 的幂级数，为使式子简单起见，令 ux 一1， 即 xu1则 展开成 u 的幂级数由 （0）arctan(1) ， 所以 ，1u1. 显然，在 u1 处上式右边的幂级数收敛，所以该幂级数的收敛域为一 1u1，即 x 一 1的幂级数 )解析：(2).在此收敛域上，该幂级数是否都收敛于 f(x)?如果在某处收敛而不收敛于 f(x)在该处的值，那么收敛干什么?均要求说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在 x0 处 f(x) 无定义，所以谈不上它与该幂级数相等，那么该幂级数在x0 处收敛于什么呢?由于该幂级数在 x0 处是收敛
18、的，由同济大学高等数学(下册)(第七版)P279性质 1，和函数 是连续的，所以， 即 在 x0 处收敛于 至于该幂级数的和函数在x2 处，由于 f(x)在x2 处连续，所以 即 0，在 x2 处收敛于 f(x)在 x2 处的值，所以 )解析：设微分方程 xy2y2(e x 一 1)（分数：4.00）(1).求上述微分方程的通解，并求 存在的那个解(将该解记为 y 0 (x)，以及极限值 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，原方程化为 由一阶线性微分方程的通解公式，得通解 y 其中 C 为任意常数由上述表达式可知，并不是对于任何常数 C， 都存在，存在的必要条件是 0，即
19、C2 当 C2 时，对应的 y(x)记为 y 0 (x) )解析：(2).补充定义使 y 0 (x)在 x0 处连续，求 y 0 (x)，并请证明无论 x0 还是 x0，y 0 (x)均连续，并请写出 y 0 (x)的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 而当 x0 时， 所以 y 0 (x)在 x0 处连续又显然，y 0 (x)在 x0 处也连续，故无论 x0 还是 x0， )解析：18.设 x0，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 先证明当 0x1 时， .令 记 (x) 有 (0)0，(x)所以当 0x1 时，(x)0 从而知，当 0x1 时，(x)O，即有
20、 F(x)0因 F(1)0，所以当 0xl 时，F(x)0 又因 F(1)0，所以当 0x1 时，F(x)0，从而知当 0x1时， 上式中令 u 故知当 1u时， 又当 x1 时， 4，所以当 0x时，有 )解析：19.设点 M(,，)是椭球面 上第一卦限中的点，S 是该椭球面在点 M 处的切平面被三个坐标面所截得的三角形的上侧求点(,，)使曲面积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲面 1 上点 M(，)处的法向量为 n ,切平面方程是化简即得 1. 该切平面被三个坐标面截得的三角形在xOy 平面上的投影区域为 从而所以 I ，0a，06，0c 求 I 的最小值等价于求 W，0 由
21、拉格朗日乘数法得 显然，当 a 或 0 时，w 最小，故当(，) 时，w 最大，I的最小值为 )解析：回答下列问题（分数：4.00）(1).设 A，B 均是 n 阶方阵，A 的主对角元素之和称为 A 的迹，记成 tr(A)证明 AB 和 BA 有相同的迹；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 则 )解析：(2).设 A，X 均是 2 阶方阵，E 是 2 阶单位阵，证明矩阵方程 AX 一 XAE 无解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：法一 利用()的结论，因 tr(AXXA)tr(AX)一 tr(XA)0tr(E)2 故AXXAE 无解 法二 设 则 AxXA 从而 )解析：
22、回答下列问题（分数：4.00）(1).设 f(x 1 ，x 2 ，x 3 ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )用配方法化为标准形，得 得 f 的标准形为 所作的可逆线性变换为 xCy，其中 C A 对应的二次型的规范形为 )解析：(2).设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：法一 由()知，A 是 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的对应矩阵，即 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )X T Ax 令 xCy，其中 C ，得 fx T Axy T c T ACyy T Ey，故 c T ACE，A(C -1 ) T C -1 D T D，
23、其中 DC -1 由(C|E) (E|C -1 )， 故 D 且AD T D 法二 由()，f(x 1 ，x 2 ，x 3 ) 其中，AD T D，D )解析：设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，令 YmaxX，1)，求（分数：6.00）(1).Y 的分布函数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：)由 XE(1)，X 的概率密度为 f(x) YmaxX，1 故Y1，) 由分布函数的定义 F(y)PyY)， 当 yY (y) 0； 当 1y 时，Fr(y)PYyP0X1)PlXy F X (y)1 一 e -y ， 其中 F X (x)为 X 的分布函数 所以 )解析：(2).PY
24、1；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：PY1)F Y (1)一 F Y (1 一 0)1 一 e -1 一 01 一 e -1 )解析：(3).EY（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由()知 Y 不是连续型随机变量，故 EYEmaxX，1 )解析：设总体 X 的概率分布为(0（分数：4.00）(1).试利用总体 X 的简单随机样本值 3，1，3，0，3，1，2，3，求 的矩估计值 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意得 EX0 2 12(1 一 )2? 2 3?(12)34 ,则 的矩估计量为 .又样本均值 (31303123)2，所以 的矩估计值 )解析：(2).设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X(其未知参数 为()中确定的简单随机样本，当 n 充分大时，取值为 2 的样本个数 N 满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知 ,由中心极限定理得 所以 )解析：
