1、考研数学（数学三）模拟试卷 378 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设当 x0 时，有 则( )（A）（B）（C）（D）a=0 ，b=2，c=0。2 设则有( )（A）NPM 。（B） MPN。（C） PMN。（D）NMP 。3 设幂级数 在 x=6 处条件收敛，则幂级数 的收敛半径为( )（A）2。（B） 4。（C） 。（D）无法确定。4 设 1(x)， 2(x)为一阶非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )（A）C 1(x)+2(x)。（B） C1(x)一 2(x)。（C） C1(x)一 2(x)
2、+2(x)。（D） 1(x)一 2(x)+C2(x)。5 设则( )（A）B=P 1AP2。 （B） B=P1AP2 一 1。（C） B=P2AP1。（D）B=P 2 一 1AP1。6 设向量组 I： 1， 2， s，： 1， 2， r，且向量组 I 可由向量组线性表示，下列结论正确的是( )（A）若 rs，则向量组 I 一定线性相关。（B）若 rs，则向量组一定线性相关。（C）若 rs，则向量组 I 一定线性相关。（D）若 rs，则向量组一定线性相关。7 设二维随机变量(X 1，X 2)的概率密度函数为 f(x1， x2)，则随机变量(y 1，y 2)(其中Y1 的概率密度函数 f1(y1，
3、y 2)等于( )（A）（B）（C）（D）8 设(X，Y) 服从 D=(x，y)x 2+y2a2上的均匀分布，则( )（A）X 与 Y 不相关，也不独立。（B） X 与 Y 相互独立。（C） X 与 Y 相关。（D）X 与 Y 均服从均匀分布 U(一 a，a)。二、填空题9 10 设 f(u，v)为二元可微函数，z=f(x 2y，3y x)，则 =_.11 微分方程(x 2 一 1)dy+(2xy 一 cosx)dx=0 满足初始条件 y(0)=1 的特解为_。12 设函数 f(x)在 x=4 处连续，且 则曲线 y=f(x)在点(4,f(4)处的切线方程是_。13 设 A，B 为三阶相似矩阵
4、，且2E+A =0 ， 1=1， 2=一 1 为 B 的两个特征值，则行列式A+2AB =_。14 已知随机变量 X 的分布函数 F(x)是连续的严格单调函数，Y=12X，F(0 25)=075 ，PYk=025，则 k=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 假设某种商品的需求量 Q 是单价 P(单位：元)的函数：Q=12 00080p，商品的总成本 C 是需求量 Q 的函数：C=25 000+50Q，每单位商品需要纳税 2 元。试求使销售利润最大时的商品单价和最大利润额。17 已知 f(x)和 g(x)在a，b上连续，在(a ，b)内具有二阶导数，且在(a，b)内
5、存在相等的最大值，又设 f(a)=g(a),f(b)=g(b)，试证明：存在 (a，b)使得 f()=g()。18 计算二重积分 ，其中 D 是由直线 x=一 2，y=0，y=2 以及曲线所围成的平面图形。19 求幂级数 的收敛域与和函数，并求 的和。20 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3 是 A 的三个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1,2,3，令 =1+2+3。 (I)证明：向量组 ，A，A 2 线性无关； ()如果A3=A，求秩 r(AE)及行列式A+2E 。21 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+ax22+2x32+2x1x2 一 2bx1x3+2x2x3 经过正
6、交变换化为3y12+3y22。 (I) 求 a，b 的值； ()求正交变换 x=Qy，使二次型化为标准形。22 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求：(I)(X，Y) 的边缘概率密度 fX(x)fY(y)；()Z=2X Y 的概率密度 fZ(z)；()23 设样本总体 XU(1，)，参数 1 未知，X 1 一，X n 是来自总体 X 的简单随机样本。 (I)求 的矩估计量和极大似然估计量； ()求上述两个估计量的数学期望。考研数学（数学三）模拟试卷 378 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 已知 因此有2 【正确答案】
7、C【试题解析】 根据奇、偶函数的运算法则及奇、偶函数在对称区间上的积分性质可知3 【正确答案】 A【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1(x)， 2(x)为一阶非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，所以 1(x)一 2(x)为对应齐次方程 y+P(x)y=0 的一个解，因此y+P(x)y=Q(x)的通解为 C1(x)一 2(x)+2(x)。故选 C。5 【正确答案】 B【试题解析】 将 A 的 2，3 两行对调，再将第 1 列的一 2 倍加到第 3 列得矩阵 B，于是有 故选 B。6 【正确答案】 C【试题解析】 已知向量组 I 可由向量组线性表示
8、，则 r(I)r()r，若 rs，则 r(I)r()rs，即向量组 I 的秩小于所含向量的个数，从而向量组 I 线性相关，故选 C。7 【正确答案】 B【试题解析】 设(X 1，X 2)的分布函数为 F(x1，x 2)，(Y 1，Y 2)的分布函数为F1(y1，y 2)，则有8 【正确答案】 A【试题解析】 因为 由对称性 E(X)=E(Y)=0，E(XY)=0。于是 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=0，从而 XY=0，即 X 与 Y 不相关。又同理故 f(x，y)f x(x)fy(y)，即 X 与 Y 不独立，故选A。二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 通过拼凑将所给
9、极限变形并由等价无穷小代换得10 【正确答案】 2yx 2y-1f1+3yxlnyf2【试题解析】 由多元复合函数求导法则，有11 【正确答案】 【试题解析】 原方程可化为 ，一阶线性微分方程 y+p(x)y=q(x)的通解为 y=e-p(x)dxq(x)ep(x)dxdx+C。因此12 【正确答案】 y=4x 一 12【试题解析】 13 【正确答案】 18【试题解析】 由2E+A=(一 1)3一 2EA=0，知一 2EA=0，=一 2为 A 的一个特征值，由 AB，故 A，B 有相同特征值。因此 B 的三个特征值为1=一 2， 2=1，14 【正确答案】 05【试题解析】 三、解答题解答应写
10、出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 以 L 表示销售利润额，则 L(p)=(1200080p)(P 一 2)一(25 000+50Q)=一 80p2+16 160p 一 649 000L(P)= 一 16p+16 160，令 L(P)=0，得P=101。由于 ，可见，P=101 时， L 有极大值，也是最大值(因为 P=101 是唯一驻点) 。最大利润额 。17 【正确答案】 令 (x)=f9x)一 g(x)，根据 f(a)=g(a),f(b)=g(b)，则有 (a)=(b)=0。设 x1，x 2(a， b)，且 ，已知 f(x)和 g(x)在(a ，b)内
11、存在相等的最大值，因此 f(x1)=g(x2)，于是 (x1)=f(x1)一 g(x1)0，(x 2)=f(x2)一 g(x2)0。如果 (x1)=0 或 (x2)=0，则令 =x1，或 x2，有 ()=0；如果(x1)0，(x 2)0，根据零点定理，存在 (x1， x2)，使得 ()=0。此时 (x)在a， b上有 3 个不同的零点 a， ，b，在区间a ，和，b上分别应用罗尔定理，则存在 1(a，)， 2(a，b)，满足 (1)=(2)=0，再在 1， 2上继续应用罗尔定理可知，存在 (1， 2) (a，b)，使得 ()=0，即 f(f)=g()。18 【正确答案】 19 【正确答案】 2
12、0 【正确答案】 (I)设 k1，k 2，k 3，是实数，满足 k1+k2A+k3A2=0，根据已知有Ai=ii，(i=1，2，3) ，所以A=A1+A2+A3=11+22+33，A 2=121+222+323，将上述结果代入k1+k2A+k3A2=0 可得(k 1+k21+k312)1+(k1+k22+k322)2+(k1+k23+k332)3=0。 1,2,3 是三个不同特征值对应的特征向量，则三个向量必定线性无关，因此 由于该线性方程组的系数矩阵的行列式 ，因此 k1=k2=k3=0，故 ，A，A 2 线性无关。(H) 根据 A3=A 可得令P=(，A，A 2)，则矩阵 P 是可逆的， ，根据相似矩阵的秩及行列式相等，有21 【正确答案】 则 f(x1，x 2，x 3)=xTAx，因为二次型经过正交变换化为了 3y12+3y22。所以矩阵 A 的三个特征值分别为1=3， 2=3， 3=0，根据矩阵特征值的和是矩阵的迹(对角元素的和)，特征值的乘积是矩阵行列式的值，即有 1+2+3=4+a=6，得 a=2， 123=A= 一 2(b+2)(b1)=0，得 b=一 2 或 b=1。则存在正交变换 x=Qy，使二次型化为标准形 3y12+3y22。22 【正确答案】 (I)根据边缘概率密度的定义23 【正确答案】 总体 XU(1，)，其概率密度为 ,
