1、考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (1989 年) 设线性无关的函数 y1，y 2，y 3 都是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，c 1，c 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是（A）c 1 y1+c2y2+y3（B） c1y1+c2y2 一(c 1+c2)y3（C） c1y1+c2y2 一(1 一 c1c2)y3（D）c 1y1+c2y2+(1 一 c1 一 c2)y32 (1991 年) 若连续函数 f(x)满足关系式 则 f(x)等于（A）e xln2（B） e2xl
2、n2（C） ex+ln2（D）e 2x+ln23 (1993 年) 设曲线积分 与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且 f(0)=0，则 f(x)等于 二、填空题4 (1992 年) 微分方程 y+ytanx=cosx 的通解为 y=_5 (1996 年) 微分方程 y“一 2y+2y=ex 的通解为_6 (1999 年)y“一 4ye2x 的通解为 y=_7 (2000 年) 微分方程 xy“+3y=0 的通解为_8 (2001 年) 设 y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C 2 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_9 (2002 年) 微分方程
3、yy“+y2 一 0 满足初始条件 的特解是_10 (2004 年) 欧拉方程 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 (1987 年) 求微分方程 y“+6y“+(9+a2)y=1 的通解( 一般解)，其中常数 a012 (1988 年) 设函数 y=f(x)满足微分方程 y“一 3y+2y=2ex，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线 y=x2 一 x+1 在该点的切线重合，求函数 y=y(x)13 (1989 年) 设 其中 f 为连续函数，求 f(x)14 (1990 年) 求微分方程 y“+4y+4y=e-2x 的通解(一般解)15 (1991 年)在上半平
4、面求一条向上凹的曲线，其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 长度的倒数(Q 是法线与 x 轴的交点) ，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行16 (1992 年) 求微分方程 y“+2y一 3y=e-3x 的通解17 (1993 年) 求微分方程 x2y+xy=y2 满足初始条件 的特解18 (1993 年)设物体 A 从点 (0，1) 出发，以速度大小为常数 v 沿 y 轴正向运动，物体 B 从点 (一 1，0)与 A 同时出发，其速度大小为 2v，方向始终指向 A试建立物体 B 的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件19 (1994 年) 设 f(x)具
5、有二阶连续导数， f(0)=0，f(0)=1，且xy(x+y)一 f(x)ydx+f(x)+x2ydy=0 为一全微分方程，求 f(x)及此全微分方程的通解20 (1995 年) 设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点记为 A已知 且 L 过点 求 L 的方程21 (1996 年) 设对任意 x0，曲线 y=f(x)上点(x ，f(x)处的切线在 y 轴上的截距等于求 f(x)的一般表达式22 (1997 年) 设函数 f(u)具有二阶连续导数，而 z=f(exsiny)满足方程求 f(u)23 (1997 年) 在某一人群中推广新技术是通
6、过其中已掌握新技术的人进行的设该人群总数为 N，在 t=0 时刻已掌握新技术的人数为 x0 在任一时刻 t 已掌握新技术的人数为 x(t)(将 x(t)视为连续可微变量 )，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例系数 k0，求 x(t)24 (1998 年)从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起) 与下沉速度 v 之间的函数关系设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k0)试建立 y 与 v 所满足的
7、微分方程，并求出函数关系式 y=y(v)25 (1999 年) 设函数 y(x)(xO)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1，过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间 0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1 一 S2恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程26 (2000 年) 设对于半空间 x0 内任意的光滑有向封闭曲面 S，都有 其中函数 f(x)在(0，+)内具有连续一阶导数， 求 f(x)考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的
8、四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于(D) 中的 y=C1y1+C2y2+(1 一 C1C2)y3=C1(y1 一 y3)+C2(y2 一 y3)+y3 其中 y1 一 y3 和 y2 一 y3 是对应的齐次方程的两个解，且 y1 一 y3 与 y2y3 线性无关事实上，若令 A(y 1y3)+B(y2 一 y3)=0 即 Ay 1+By2 一(A+B)y 3=0 由于y1，y 2，y 3 线性无关，则 A=0，B=0，一(A+B)=0 因此 y1 一 y3 与 y2 一 y3 线性无关，故 y=C 1y1+C2y2+(1 一 C1C2)y3 是原方程通
9、解【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 B【试题解析】 等式 两边求导得 f(x)=2f(x)解此方程得 f(x)=Ce2x 由原方程可知 f(0)=ln2，代入 f(x)=Ce2x 得 C=ln2.故 f(x)=e 2xln2【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 B【试题解析】 由 得 f(x)+f(x)=e x 解此方程得 f(x)=e -x( e2x+C)由 f(0)=0 得， 故【知识模块】 常微分方程二、填空题4 【正确答案】 (x+c)cosx【试题解析】 由线性方程通解公式得 【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 特征方程为 2 一 2+2=0，解得 1，2 =1i，
10、则齐次方程通解为 y=ex(C1cosx+C2sinx) 易观察出 y=ex 是非齐次方程的一个特解则原方程通解为 y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 C 1e-2x+C2e2x+ xe2x【试题解析】 特征方程为 2 一 4=0，则 =一 2， 2=2，从而齐次方程的解为 由于 =2为特征方程单根，则非齐次待定特解可设为 y*=Axe2x 代入原方程得 故所求通解为 y=C 1e-2x+C2e2x+ xe2x【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 【试题解析】 令 y=p，则 y“=p代入原方程得 解得 因此 【知识模块】 常微分方程8 【
11、正确答案】 y“-2y+2y=0【试题解析】 所求方程的特征根为 1，2 =1,i 则其特征方程为 2 一 2+2=0 故所求方程为 y“一 2y+2y=0【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 y 2=x+1 或【试题解析】 解 1 令 y=P，则 代入原方程得 解得 可知， 则所求的特解为 y 2=x+1 解 2 由于原方程左端 从而原方程可改写为 因此 yy=C1 以下求解同解 1【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 【试题解析】 令 z=et 代入原方程所得新方程的特征方程为 ( 一 1)+4+2=0 解得 1=一 1， 2=一 2 则新方程通解为 y=C1e-t+C2e-2t
12、，将 x=et 代入得原方程通解为【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 该方程对应的齐次方程的特征方程为 3+62+(9+a2)=0 其根为 1=0， 2，3 =一 3ai 则齐次方程通解为 由 =0 为特征方程的单根，则可设非齐次方程特解为 y *=Ax 代入原方程得 故原方程通解为 【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 本题所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为 2 一 3+2=(-1)(-2)=0 其根为 1=1， 2=2 则齐次通解为 由于 =1 为特征方程的单根，则非齐次方程特解可设为 y *=Axex 代入原方程得 A=
13、一 2 则原方程通解为 y=C 1ex+C2e2x 一 2xex 由原题设曲线 y=C1ex+C2e2x 一 2xex 与曲线 y=x2 一 x+1 在点(0，1)处有公切线可知， y(0)=1，y(0)=由 y(0)=1 得 1=C1+C2 由 y(0)=-1 得 一 1=一2+C1+2C2 以上两式联立解得 则所求的解为 y=一2xex+ex=ex(1-2x)【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 原方程可写为 上式两端对 x 求导得 两端再对 x 求导得 f“(x)= 一 sinx 一 f(x)即 f“(x)+f(x)=一 sinx 这是一个二阶线性常系数非齐次方程，由原方程知 f(
14、0)=0，由(*)式知 f(0)=1特征方程为 2+1=0，=i齐次通解为 =C1sinx+C2cosx 设非齐次方程特解为 y *=x(asinx+bcosx)，代入 f“(x)+f(x)=一 sinx 得 a=0 则非齐次方程通解为 由初始条件 y(0)=0 和 y(0)=1 可知 C2=0【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 因为 =一 2 是特征方程的二重根，故原方程特解可设为 y *=Ax2e-2x 代入原方程得 故原方程通解为 y=(C 1+C2x)e-2x+ x2e-2x 其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 曲线 y=y(x)在 P(x
15、，y)处的法线方程为 它与 x 轴的交点为 Q(x+yy，0)，则法线段 PQ 的长度为 由题设可得微分方程为 由于曲线 y=y(x)是向上凹的，则 y“0，由此上式可改写为 yy“=1+y 2 且当 x=1 时，y=1 ，y=0令 y=p，则 代入上面方程得 即 两边积分并注意到 y=1 时，p=0，得 代入 得 即 上式两边积分，并注意到 x=1 时 y=1，得 因此，所求曲线方程为 将 y 移至右边再平方，整理得 【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 特征方程为 2+2 一 3=0，其根为 1=1， 2=一 3，则对应的齐次方程的通解为 =C1ex+C2e-3x (其中 C1 和
16、C2 为任意常数)由于 =一 3 是特征方程的单根，所以原方程的特解可设为 y *=Axe-3x 代入原方程解得 所以 故原方程通解为 【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 解 1 原方程改写为 令 代入原方程得 分离变量并积分得 得 即 将 代入上式得 y 一 2x=Cx2y 由得 C=一 1则所求解为 解 2 原方程也可改写为 两边同除以 y2 得 令原方程化为线性方程 【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 设在 t 时刻，B 位于点(x，y)处(见图 210)，则 即 两边对 x 求导得 由于 代入(*)式得到所求微分方程为 其初始条件为 【知识模块】 常微分方程19 【正确
17、答案】 由于xy(x+y)一 f(x)ydx+f(x)+x2ydy=0 是全微分方程，则 即 x 2+2xy 一 f(x)=f(x)+2xy f“(x)+f(x)=x2 这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程，可求得其通解为 f(x)=C1cosx+C2sinx+x2 一 2 由 f(0)=1 及 f(0)=1，可求得 C1=2，C 2=1，从而得 f(x)=2cosx+sinx+x2 一 2 于是原方程为 xy2 一(2cosx+sinx)y+2ydx+(一 2sinx-+cosx+2x+x2y)dy=0 其通解是 【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 设 M 点的坐标为(x，y)，则切
18、线 MA 的方程为 Yy=y(Xx)令X=0，则 Y=y 一 xy，点 A 的坐标为(0，yxy)由 化简后得 令u=y2，得 解得 即 y 2=一 x2+Cx 由于所求曲线在第一象限内，故 再由 可得 C=3于是所求曲线方程为 【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线方程为 Y 一 f(x)=f(x)(Xx)令X=0，得截距为 Y=f(x)一 xf(x)由题意知 即 上式对 x 求导，化简得 xf“(x)+f(x)=0 即 积分得 xf(x)=C 1 因此 f(x)=C 1lnx+C2【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 令 u=exsi
19、ny，则 代入原方程得 f“(u)一 f(u)=0 这是一个二阶线性常系数齐次方程，特征方程为 2 一1=0(=1)，则 f(u)=C 1eu+C2e-u【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 由题设可知 由此可得 积分得 代入初始条件，得 【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 取沉放点为原点 O，Oy 轴正向铅直向下则由牛顿第二定律得 这是一个二阶可降阶方程，其中 则 原式化为 按分离变量法解之 初始条件求出 故 【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 Y y=y(x)(X-x)它与 x轴的交点为 由于 y(x)0，y(0)=1，从而 y(x)0，于是 又 由条件 2S1 一 S2=1知 两边对 x 求导并化简得 yy“=(y) 2 令 P=3y，则上述方程可化为 从而 解得 P=C1y，即 于是 注意到 y(0)=1，并由(*)式知 y(0)=1，从而可知C1=1，C 2=0故所求曲线的方程是 y=e x【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 由题设和高斯公式可得 其中 是 S 围成的有界闭区域由 S 的任意性知 xf(x)+f(x)一 xf(x)一 e2x=0 (x0)即 这是一个一阶线性方程，由通解公式知 由于 故必有 即C+1=0，从而，C=-1 于是 【知识模块】 常微分方程
