1、考研数学一（常微分方程）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程(x 2+y2)dx+(y3+2xy)dy=0 是 ( )（A）可分离变量的微分方程（B）齐次方程（C）一阶线性方程（D）全微分方程2 微分方程 y-6y+8y=ex+e2x 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（A）ae x+be2x（B） aex+bxe2x（C） axex+be2x（D）aze x+bxe2x3 微分方程 y+2y+2y=e-xsinx 的特解形式为 ( )（A）e -x(Acosx+Bsinx)（B） e-x(Acosx+Bxsi
2、nx)（C） xe-x(Acosx+Bsinx)（D）e -x(Axcosx+Bsinx)4 微分方程 的通解是 ( )5 微分方程 y-4y+4y=x2+8e2x 的一个特解应具有形式(a，b，c ，d 为常数) ( )（A）ax 2+bx+ce2x（B） ax2+bx+c+dx2e2x（C） ax2+bx+cxe2x（D）ax 2+(bx2+cx)e2x二、填空题6 微分方程 3extanydx+(1-ex)sec2ydy=0 的通解是_7 微分方程 ytanx=ylny 的通解是 _8 微分方程(6x+y)dx+xdy=0 的通解是_9 微分方程 的通解是_10 微分方程的通解_包含了所
3、有的解11 微分方程(y 2+1)dx=y(y-2x)dy 的通解是_12 设一阶非齐次线性微分方程 y+p(x)y=Q(x)有两个线性无关的解 y1，y 2，若y1+y2 也是该方程的解，则应有 +=_13 微分方程 y-7y=(x-1)2 的待定系数法确定的特解形式(系数的值不必求出)是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 求微分方程 ycosy=(1+cosxsiny)siny 的通解15 求微分方程 y-2y-e2x=0 满足条件 y(0)=1，y(0)=1 的特解16 求二阶常系数线性微分方程 y+y=2x+1 的通解，其中 为常数17 求微分方程 y+2y+y=
4、xex 的通解18 求微分方程 y+5y+6y=2e-x 的通解19 求微分方程(3x 2+2xy-y2)dx+(x2-2xy)dy=0 的通解20 设 y(x)是方程 y(4)-y=0 的解，且当 x0 时，y(x)是 x 的 3 阶无穷小，求 y(x)21 求一个以 y1=te，y 2=sin2t 为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解21 一链条悬挂在一钉子上，启动时一端离开钉子 8m，另一端离开钉子 12m，试分别在以下两种情况下求链条滑离钉子所需要的时间：22 不计钉子对链条的摩擦力；23 若摩擦力为常力且其大小等于 2m 长的链条所受到的重力24 求解 y=e2y+e
5、y，且 y(0)=0，y(0)=225 求方程 =(1-y2)tanx 的通解以及满足 y(0)=2 的特解26 求微分方程 的通解，并求满足 y(1)=0 的特解27 求方程 的通解28 求(y 3-3xy2-3x2y)dx+(3xy2-3x2y3-x3+y2)dy=0 的通解29 求微分方程 y(3y2-x)=y满足初值条件 y(1)=y(1)=1 的特解考研数学一（常微分方程）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 Qx=2y=Py 及(A)，(B)，(C)均不符合即知【知识模块】 常微分方程2 【正确
6、答案】 B【试题解析】 由原方程对应齐次方程的特征方程 r2-6r+8=0 得特征根 r1=2，r 2=4 又 f1(x)=ex，=1 非特征根，对应特解为 y1*=ae；f 2(x)=e2x，=2 为特征单根，对应特解为 y2*=bxe2x故原方程特解的形式为 aex+bxe2x，即(B) 【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程为 r2+2r+2=0 即(r+1) 2=-1，解得特征根为 r1,2=-1i而i=-1i 是特征根，特解 y*=xe-x(Acosx+Bsinx)【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 C【试题解析】 原方程写成 积分得 ，其中 C 为
7、任意常数【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 B【试题解析】 对应特征方程为 r2-4r+4=0，特征根是 r1,2=2而 f1=x2， 1=0 非特征根，故 y*1=ax2+bx+c又 f2=8e2x， 2=2 是二重特征根，所以 y*2=dx2e2xy* 1 与y*2 合起来就是特解，选(B)【知识模块】 常微分方程二、填空题6 【正确答案】 tany=C(e x-1)3，其中 C 为任意常数【试题解析】 方程分离变量得 ，积分得 ln(tany)=3ln(ex-1)+lnC 所以方程有通解为 tany=C(ex-1)3，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 y
8、=e Csinx，其中 C 为任意常数【试题解析】 原方程分离变量，有 积分得 ln(lny)=ln(sinx)+lnC，通解为 lny=Csinx，或 y=eCsinx，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 3x 2+xy=C，其中 C 为任意常数【试题解析】 原方程兼属一阶线性方程、齐次方程、全微分方程方法一 原方程化为 由一阶线性方程的通解公式得即 3x 2+xy=C，其中 C 为任意常数方法二 原方程可写为 6xdx+ydx+xdy=0，有 d(3x2+xy)=0，积分得通解 3x 2+xy=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 y=
9、(C 1+C2)ex+1，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 原方程为二阶常系数非齐次线性微分方程 其通解为 y=y 齐 +y*，其中 y 齐 是对应齐次方程的通解，y*是非齐次方程的个特解 因原方程对应齐次方程的特征方程为 r2-2r+1=0，即(r-1) 2=0，特征根为 r1,2=1故 y=(C1+C2x)C，其中C1，C 2 为任意常数又据观察，显然 y*=1 与 y 齐 合并即得原方程通解【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 不一定【试题解析】 例如方程(y 2-1)dx=(x-1)ydy，经分离变量有 ，积分得通解 y2-1=C(x-1)2但显然方程的全部解还应包括
10、y=1 和 x=1(实际上在分离变量时假定了 y2-10，x-10)【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 方法一 原方程化为 由通解公式得方法二 原方程写为(y 2+1)dx+(2x-y)ydy=0，是全微分方程，再改写为 (y2+1)dx+xd(y2+1)-y2dy=0，即 dx(y2+1)=y2ddy， 【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 1【试题解析】 由 y1+P(x)y1=Q(x)及 y2+P(x)y2=Q(x)得 (y 1+y2)+P(x)(y2+y2)=(+)Q(x) 又因 y1+y2 满足原方程，故应有(+)Q(x)=Q(x)，
11、即 +=1【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 y*=x(Ax 2+Bx+C)【试题解析】 原方程对应齐次方程的特征方程为 r2-7r=0，特征根为r1=7，r 2=0而 f(x)=x2-2x+1，=0 是特征根，所以特解如上所填【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 作适当代换 z=siny 便可化为伯努利方程令 z=sin y，则代入原方程，得伯努利方程 两边同除以 z2 得代入上面的方程，得解此一阶线性方程，得【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 齐次方程 y-2y=0 的特征方程为 2-2=0，由此求得特征根1=0， 2
12、=2对应齐次方程的通解为 y=C1+C2e2x，设非齐次方程的特懈为y*=Axe2x，则 (y*)=(A+2Ax)e2x，(y *)=4A(1+x)e2x，代入原方程，求得 A=于是，原方程通解为将 y(0)=1 和 y(0)=1 代入通解求得 C1=从而，所求解为【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 对应齐次方程 y“+y=0 的特征方程 r2+r=0 的特征根为 r=0 或 r=-当 0 时， y+y=0 的通解为 y=C1+C2e-x设原方程的特解形式为y*=x(Ax+B)，代入原方程，比较同次幂项的系数，解得 A= ，B= ，故原方程的通解为 y=C1+C2e-x+x ，其中 C
13、1，C 2 为任意常数当 =0 时，y=2x+1，积分两次得方程的通解为 +C1x+C2，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 特征方程 r2+2r+1=0 的两个根为 r1=r2=-1对应齐次方程之通解为Y=(C1+C2x)e-x设所求方程的特解为 y*=(ax+b)ex，则(y *)=(ax+a+b)ex，(y *)=(ax+2a+b)ex，代入所给方程，有 (4ax+4a+4b)ex=xex解得 a= ，而最后得所求之通解为 y=(C1+C2x)e-x+ (x-1)ex，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 所给微分
14、方程的特征方程为 r2+5r+6=(r+2)(r+3)=0，特征根为 r1=-2，r 2=-3于是，对应齐次微分方程的通解为 y(x)=C1e-2x+C2e-3x 设所给非齐次方程的特解为 y*=Ae-x将 y*(x)代入原方程，可得 A=1由此得所给非齐次方程的特解 y*=e-x从而，所给微分方程的通解为 y(x)=C1e-2x+C2e-3x+e-x，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 方法一 原方程化为 3x2dx+(2xy-y2)dx+(x2-2xy)dy=0，即 d(x 3)+d(x2y-xy2)=0，故通解为 x3+x2y-xy2=C，其中 C
15、为任意常数解得 u2-u-1=Cx-3x，即 y2-xy-x2=Cx-1 或 xy2-x2y-x3=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 由泰勒公式 y(x)=y(0)+y(0)x+ y(0)x3+o(x3) (x0) 当 x0 时，y(x)与 x3 同阶则 y(0)=0，y(0)=0 ，y(0)=0，y(0)=C，其中 C为非零常数由这些初值条件，现将方程 y(4)-y=0 两边积分得即 y(x)-C-y(x)=0，两边再积分得 y(x)-y(x)=Cx 易知，它有特解 y*=-Cx，因此它的通解是 y=C1ex+C2e-x-Cx由初值 y(0)=0，y(0)=
16、0得 C1+C2=0，C 1-C2=C，即 C1= 因此最后得y= ，其中 C 为非零常数【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 由 y1=tet 可知 y3=et 亦为其解，由 y2=sin 2t 可得 y4=cos2t 也是其解，故所求方程对应的特征方程的根 1=3=1， 2=2i， 4=-2i其特征方程为 (-1)2(2+4)=0，即 4-23+52-8+4=0 故所求微分方程为 y(4)-2y+5y“-8y+4y=0，其通解为 y=(C 1+C2t)et+C3cos2t+C4sin2t，其中 C1，C 2，C 3，C 4 为任意常数【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程2
17、2 【正确答案】 在时刻 t 时，链条下滑路程为 x(t)(m)，以 表示链条的长度密度，由牛顿第二定律 F=ma，得 =g(12+x)-(8-x)，整理得微分方程：(x+2)及初值条件 x(0)=0，x(0)=0，解方程得 当x=8 时， t【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 链条下滑路程 x(t)满足方程【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 令 y=p(y)，则 ，代入方程，有p2=e2y+2ey+C，即 y 2=e2y+2ey+C 又y(0)=0，y(0)=2，有 C=1，所以 y2=e2y+2ey+1=(ey+1)2，代入 y(0)=0，得 C1=ln2，所以，该初值问题
18、的解为 y-ln(1+e y)=x-ln2【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 这是变量可分离方程当 y21 时，分离变量得两边积分，得 去掉绝对值记号，并将 记成 C，并解出 y，得这就是在条件 y21 下的通解此外，易见 y=1 及 y=-1 也是原方程的解，但它们并不包含在式 之中以 y(0)=2 代入式中得 ，故 C=-3于是得到满足 y(0)=2 的特解【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 此为齐次微分方程，按解齐次微分方程的方法解之令 y=ux，原方程化为 得当 x0 时，上式成为 两边积分得其中 C0，将任意常数记成 lnC由上式解得当 x0，类似地仍可得其中 C0式
19、与其实是一样的，故得通解其中 C0 为任意常数将初值条件 y(1)=0 代入式 得 C=1，但由于 C0，故得相应的特解为【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 这是一阶线性方程，可以直接套通解公式解之套公式之前，应先化成标准型： 由通解公式，得当 x0 时， 当 x0 时，合并之，得通解【知识模块】 常微分方程28 【正确答案】 可以验知，这是全微分方程按解全微分方程办法解之记P(x，y)=y 3-3xy2-3x2y，Q(x，y)=3xy 2-3x2y-x3+y2，有故知这是全微分方程 方法一 按折线求曲线积分法，取点(x 0，y 0)使 P(x，y)与 Q(x，y)在此点连续即可例如取
20、(x 0， y0)=(0，0)，有方法二 原函数法先将 y 当作常量，u(x，y)=P(x，y)dx+(y)=(y 3-3xy2-3x2y)dx+P(y)=xy3- x2y2-x3y+(y)，其中 (y)为对 y 可微的待定函数又由 =Q(x，y)得 3xy2-3x2y-x3+y2= =3xy2-3x2y-x3+(y)所以 (y)=y 2，从而得 (y)=+C0，其中 C0 为任意常数，故得一个原函数(令 C0=0)方法三 分项组合视察法将原给方程通过视察分项组合(y 3-3xy2-3x2y)dx+(3xy2-3x2y-x3+y2)dy=(y3dx+3xy2dy)-3xy(ydx+xdy)-(3x2ydx+x3dy)+y2dy =0，即【知识模块】 常微分方程29 【正确答案】 这是不显含 y 型的二阶微分方程 y=f(x，y)，按典型步骤去做即可令 y=p，有 化为 3p 2dp=(xdp+pdx)=0这是关于 P 与 x 的全微分方程，解之得 p3-xp=C1以初值条件：x=1 时，p=1代入，得 C1=0从而得 p3-xp=0分解成 p=0 及 p2=x，即以 x=1 时，y=1 代入，得 C2=【知识模块】 常微分方程
