1、考研数学一（常微分方程）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 C，C 1， C2，C 3 是任意常数，则以下函数可以看作某个二阶微分方程的通解的是（A）y=C 1x2+C2x+C3（B） x2+y2=C（C） y=ln(C1x)+ln(C1sinx)（D）y=C 1sin2x+C2cos2x2 方程 y2y+3y=e xsin( x)的特解的形式为（A）e xAcos( x)（B） xexAcos( x)（C） Aexsin( x)（D）Ae xcos( x)3 设 y1(x)、y 2(x)为二阶变系数齐次线性方程 y+p(x)y+q
2、(x)y=0 的两个特解，则C1y1(x)+C2y2(x)(C1，C 2 为任意常数) 是该方程通解的充分条件为（A）y 1(x)y2(x)y 2(x)y1(x)=0（B） y1(x)y2(x)y 2(x)y1(x)0（C） y1(x)y2(x)+y2(x)y1(x)=0（D）y 1(x)y2(x)+y2(x)y1(x)0二、填空题4 下列微分方程中(填序号)_是线性微分方程 +y2sinx=ex x2 +ycosx=tanxx4 +(lnx)y=0 +(x2+3y)y=x5 已知(x 1)yxy+y=0 的一个解是 y1=x，又知 =ex(x 2+x+1)，y *=x 21 均是(x1)y
3、xy+y=(x 1) 2 的解，则此方程的通解是 y=_6 已知方程 y+ y=0 的两个特解 y1=ex，y 2=x，则该方程满足初值 y(0)=1，y(0)=2 的解 y=_7 微分方程 y+6y+9y=0 的通解 y=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 求下列微分方程的通解：()(x2)dy=y+2(x2) 3dx； ()y 2dx=(x+y2 )dy；( )(3y7x)dx+(7y3x)dy=0； () 3xy=xy 29 求下列微分方程的通解或特解：() 4y=4x 2，y(0)= ，y(0)=2()+2y=ex cosx10 求方程 y+2my+n2y=0 的通
4、解；又设 y=y(x)是满足 y(0)=a，y(0)=b 的特解，求y(x)dx，其中 mn 0，a ，b 为常数11 设 y=y(x)在 0，+)内可导，且在 x0 处的增量y=y(x+x)y(x)满足y(1+y)= +，其中当x0 时 是x 的等价无穷小，又 y(0)=2，求 y(x)12 设函数 f(x)连续，且 f(t)dt=sin2x+ tf(xt)dt求 f(x)13 设有微分方程 y2y=(x)，其中 (x)= 试求：在(，+)内的连续函数 y=y(x)，使之在 (，1)和(1 ，+)内都满足所给方程，且满足条件 y(0)=014 设函数 f(t)在0，+)上连续，且满足方程 f
5、(t)=e4t2+ dxdy，试求 f(t)15 已知 y1*=xex+e2x，y 2*=xex+ex ，y 3*=xex+e2xe x 是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程16 求解初值问题17 设 p(x)在(a，b) 连续，p(x)dx 表示 p(x)的某个原函数，C 为任意常数，证明：y=Cep(x)dx 是方程 y+P(x)y=0 的所有解18 设连接两点 A(0，1) ， B(1，0)的一条凸弧，P(x，y)为凸弧 AB 上的任意点(图64)已知凸弧与弦 AP 之间的面积为 x3，求此凸弧的方程19 在0 ，+) 上给定曲线 y=y(x)0，y(0)=2，
6、y(x)有连续导数已知 x0，0，x上一段绕 x 轴旋转所得侧面积等于该段旋转体的体积，求曲线 y=y(x)的方程20 设 f(x)为连续正值函数，x 0，+) ，若平面区域 Rt=(x，y)0xt，0yf(x)(t0)的形心纵坐标等于曲线 y=f(x)在0，t上对应的曲边梯形面积与 之和，求f(x)21 设曲线 y=y(x)上 点(x，y)处的切线垂直于此点与原点的连线，求曲线 y=y(x)的方程22 求证：曲率半径为常数口的曲线是圆23 设有一弹性轻绳(即绳本身的重量忽略不计)，上端固定，下端悬挂一质量为 3 克的物体，已知此绳受 1 克重量的外力作用时伸长 厘米，如果物体在绳子拉直但并未
7、伸长时放下，问此物体向下运动到什么地方又开始上升?24 5kg 肥皂溶于 300L 水中后，以每分钟 10L 的速度向内注入清水，同时向外抽出混合均匀之肥皂水，问何时余下的肥皂水中只有 1kg 肥皂25 设物体 A 从点(0，1) 出发，以速度大小为常数 v 沿 y 轴正方向运动，物体 B 从点(1 ，0) 与 A 同时出发，其速度大小为 2v，方向始终指向 A，任意时刻 B 点的坐标(x ，y) ，试建立物体 B 的运动轨迹(y 作为 x 的函数)所满足的微分方程，并写出初始条件考研数学一（常微分方程）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1
8、 【正确答案】 D【试题解析】 仅有(D) 含有两个独立的任意常数 C1 与 C2，选(D) 【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 B【试题解析】 关键是求特征根：由 22+3=0 非齐次项 f(x)=exsinx，i=1 是特征根选(B) 【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 B【试题解析】 根据题目的要求，y 1(x)与 y2(x)应该线性无关，即 (常数)反之，若这个比值为常数，即 y1(x)=y2(x)，那么 y1(x)=y2(x)，利用线性代数的知识，就有 y1(x)y2(x)一 y2(x)y1(x)=0所以，(B)成立时，y 1(x)，y 2(x)一定线性无关，应选(B)
9、【知识模块】 常微分方程二、填空题4 【正确答案】 、【试题解析】 这四个方程中只有、 对未知函数 Y 及其各阶导数作为总体是一次的，因而是线性的【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 C 1x+C2ex 一 x2 一 1【试题解析】 由非齐次方程(x 一 1)y一 xy+y=(x 一 1)2 的两个特解 与 y*可得它的相应齐次方程的另一特解 一 y*=ex 一 x，事实上 y2=(ex 一 x)+x=ex 也是该齐次方程的解，又 ex 与 x 线性无关因此该非齐次方程的通解是 y=C1x+C2ex 一 x2 一 1，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】
10、e x+x【试题解析】 因 y1，y 2 线性无关，该方程的通解 y=C1ex+C2x由初条件得C1=1， C1+C2=2 y=ex+x【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 (C 1+C2x)e3x【试题解析】 特征方程 2+6+9=0，即(+3) 2=0通解为 y=(C1+C2x)e3x ，其中C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 () 原方程改写成 =2(x 一 2)2( 一阶线性方程)积分得通解 y=(x 一 2)3+C(x 一 2)，其中 C 为任意常数( )原方程改写成 (以 y 为自变量，是一阶线性的
11、)两边乘 =ey+C通解 x= 其中 C为任意常数() 原方程改写成通解为(x 一 y)2(x+y)5=C，其中 C 为任意常数()这是伯努利方程将原方程改写成故通解为 其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 () 相应齐次方程的特征方程 24=0，特征根 =2零不是特征根，方程有特解 y*=ax2+bx+c，代入方程得 2a 一 4(ax2+bx+c)=4x2因此得特解 y=()相应齐次方程的特征方程 2+3+2=0，特征根1=1， 2=2由于非齐次项是 ex cosx，一 1i 不是特征根，所以设非齐次方程有特解 y *=ex (acosx+bsinx)代入原方程比较
12、等式两端 ex cosx 与 ex sinx 的系数，可确定出 a= ，所以非齐次方程的通解为 y=C1ex +C2e2x + ex (sinxcosx)，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 特征方程 2+2m+n2=0，特征根 =m ，通解为【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 由题设等式可得(1+ y)+1从而 y=y(x)是如下一阶线性微分方程初值问题的特解： 注意方程可改写成两边积分得y=C(4+x)+(4+x)ln(4+x)令 x=0，y=2 可确定常数C= 21n2，故 y= 一21n2+ln(4+x)【知识模块】 常微分方程12 【正确
13、答案】 将代入原方程即得uf(u)du由 f(x)连续可见以上方程中各项均可导将方程两端对 x 求导即得 f(x)=2sinxcosx+ f(u)du在上式中令 x=0 可得 f(0)=0，由上式还可知 f(x)可导，于是将它两端对 x 求导，又得 f(x)=2cos2x+f(x)故求 y=f(x)等价于求解初值问题 的特解解之可得y=f(x)= (ex+2sin2xcos2x)【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 这是一个一阶线性非齐次微分方程，由于其自由项为分段函数，所以应分段求解，并且为保持其连续性，还应将其粘合在一起当 x1 时，方程y一 2y=2 的两边同乘 e2x 得(ye
14、2x )=2e2x ，积分得通解 y=C1e2x 一 1；而当 x1时，方程 y一 2y=0 的通解为 y=C2e2x为保持其在 x=1 处的连续性，应使 C1e21=C2e2，即 C2=C1 一 e2 ，这说明方程的通解为 再根据初始条件，即得 C1=1，即所求特解为 y=【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 先用极坐标变换将二重积分转化为定积分代入原方程得 f(t)=e 4t2+2 rdr (t0)两边对 t 求导得 f(t)=8te 4t2+2.f(t).2t.2，即 f(t)一 8tf(t)=8te4t2 在前一个方程中令 t=0 得 f(0)=1 求 f(t)转化为求解初值问题
15、+ 这是一阶线性方程，两边乘 e8tdt =e4t2 得e 4t2 f(t)=8t积分得 e 4t2 f(t)=4t2+C由 f(0)=1 得 C=1因此 f(t)=(4t2+1)e4t2【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y 1*y3*=ex ， y2*y3*=2ex 一 e2x 进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y1=ex ，y 2=2(y1*y3*)一(y 2*y3*)=e2x， 它们是线性无关的为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y 4*=y1*一 y2=xex 因此该非齐次方程的通解是 y=C 1ex +C2e2x+xe
16、x，其中 C1，C 2 为任意常数 由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 y+py+qy=f(x) 它的相应特征根是 1=1， 2=2，于是特征方程是 (+1)( 一2)=0，即 2 一 一 2=0 因此方程为 y一 y一 2y=f(x) 再将特解 y4*=xex 代入得 (x+2)ex 一(x+1)e x 一 2xex=f(x)，即 f(x)=(12x)e x 因此方程为 y一 y一 2y=(12x)ex【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 这是可降价类型的令 P= ，并以 y 为自变量变换原方程代入原方程得 y3p p2=y2 +C1由初值得 C1=1dy=dx积分得最
17、后得 y= (0x2)【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 因为对任意常数 C，y=Ce p(x)dx 是原方程的解，又设 y 是原方程的任意一个解，则 ye p(x)dx=ep(x)dxy+p(x)y=0， 即存在常数 C，使得 yep(x)dx=C，即 y=Cep(x)dx 【试题解析】 易直接验证对任意常数 C，y=Ce p(x)dx 是原方程的解只需再证：若 y 是原方程的解，则存在某常数 C，使得 y=Cep(x)dx ，即证：ye p(x)dx 为常数【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 设凸弧的方程为 y=f(x)，因梯形 OAPC 的面积为 1+f(x)，故x3=
18、1+f(x)两边对 x 求导，则得 y=f(x)所满足的微分方程为xyy= 6x 21 (它与原方程等价) 其通解为 y= =Cx一 6x2+1对任意常数 C，总有 y(0)=1，即此曲线族均通过点 A(0，1)又根据题设，此曲线过点(1，0) ，即 y(1)=0，由此即得 C=5，即所求曲线为 y=5x 一 6x2+1【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 () 列方程，定初值在0，x 上侧面积与体积分别为 2y2dt按题意 2 y2(t)dt， y(0)=2 () 转化将式两边求导得 2y(x) =y2(x)(在中令 x=0，得 0=0，不必另附加条件)化简得 ()解初值问题式分离变量
19、得 积分得为解出 y，两边乘 y将， 相加得 y=【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 () 列方程按平面图形的形心公式，形心的纵坐标为而相应的曲边梯形的面积为 f(x)dx见图62按题意()转化将方程两边求导，则 (中令x=0，等式自然成立，不必另加条件)f(x) 实质上是可导的，再将方程两边求导，并在中令 t=0 得 ()求解等价的微分方程的初值问题这是一阶线性齐次方程的初值问题，两边乘 (t)=得f(t)e 4t =0，并由初条件得 f(t)=e4t，即 f(x)=e4x【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 () 列方程曲线 y=y(x)在 点(x，y)处的切线斜率为 ，与原
20、点连线的斜率为 =1() 解方程将方程改写为 ydy+xdx=0，即 d(x2+y2)=0于是通解为 x2+y2=C(C0 为 常数)【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 由曲率半径公式知，曲线 y=y(x)满足由和式得 (x+C 1)2+(y+C2)2=a2，即曲线是圆周若 y= ，则同样可证【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 取物体刚放下时所处位置为坐标原点，建立坐标系，位移 s，向下为正s=?时，v(速度)=0()受力分析弹性恢复力 f=ks，由条件知 g=k.f=24gs，g 为重力加速度重力 mg=3g()加速度表示由题目的需要，加速度 a= ()列方程与初始条件由牛顿
21、第二定律得 3 v=3g 24gs初始条件：t=0 时 s(0)=0， () 求解初值问题 分离变量得 vdv=(g 一 8gs)ds v2=gs 一 4gs2+C由 v(0)=0 v2=gs一 4gs2( )当物体开始向下运动到它再开始向上运动时，此时 v=0解 gs 一4gs2=0 得 s=0，s= 为所求【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 设 t 时刻水中含的肥皂量为 Q(t)kg，任取t ，t+dt，这段时间内肥皂含量的减少量=抽出水的肥皂含量，即解此初值问题得 Q(t)=5T=ln5因此，当 t=T=30ln5 时肥皂水中只有 1kg 肥皂【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 规定 A 出发的时刻 t=0 1列方程 t 时刻 A 位于(0，1+vt) t 时刻 B 位于点 (x(t)，y(t) ， B 点的速度 =(一 x，1+vt 一 y)同向(见图63) =y 一 vt 一 1 又 B 点的速度大小为 进一步消去 t，可得 y 作为 x 的函数满足的微分方程将式两边对 x 求导得将它代入得 y=y(x)满足的微分方程为 2初条件的斜率为 1) 【知识模块】 常微分方程
