1、考研数学一（常微分方程）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 y“+2y+y=0 的通解是( )（A）y=C 1cosx+C2sinx。（B） y=C1ex+C2e-2x。（C） y=(C1+C2x)e-x。（D）y=C 1ex+C2e-x。2 在下列微分方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(其中 C1，C 2，C 3 为任意常数)为通解的是( )（A）y“+y“ 一 4y一 4y=0。（B） y“+y“+4y+4y=0。（C） y“一 y“一 4y+4y=0。（D）y“一 y“+4y一 4y=0。3 设 y
2、=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+py+qy=e3x 满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 的极限( )（A）不存在。（B）等于 1。（C）等于 2。（D）等于 3。4 微分万程 y“一 4y=x+2 的通解为( )（A）(C 1+C2x)e2x 一 。（B） (C1+C2x)e-2x 一 。（C） C1e-2x+C2e2x 一 x。（D）C 1e-2x+C2e2x 一 。5 设 a，b，c 为待定常数，则微分方程 y“一 3y+2y=3x 一 2ex 的特解形式为( )（A）(ax+b)e x。（B） (ax+b)xex。（C） (ax+b)+cex。（D）
3、(ax+b)+cxe x。二、填空题6 微分方程 xy+y=0 满足条件 y(1)=1 的解是 y=_。7 微分方程 ydx+(x24x)dy=0 的通解为_。8 微分方程 ydx+(x 一 3y2)dy=0 满足条件 y x=1=1 的解为_。9 微分方程 xy+2y=xlnx 似满足 y(1)=一 的解为_ 。10 若函数 f(x)满足方程 f“(x)+f(x)一 2f(x)=0 及 f(x)+f(x)=2ex，则 f(x)=_。11 y“一 6y+13y=0 的通解为_。12 已知 y1=e3x 一 xe2x，y 2=ex 一 xe2x，y 3=一 xe2x 是某二阶常系数非齐次线性微分
4、方程的 3 个解，则该方程的通解为_。13 欧拉方程 x +2y=0(x0) 的通解为 _。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 求微分方程 xy+y=2 (x0)的通解。15 求微分方程 =y(lny 一 lnx)的通解。16 设有微分方程 y一 2y=(x)，其中 (x)= 试求，在(一，+) 内的连续函数 y=y(x)，使之在( 一，1)和(1 ，+)内都满足所给方程，且满足条件 y(0)=0。17 求微分方程 yycosx=y2(1 一 sinx)cosx 的通解。18 试确定常数 ，使微分方程 xydx+ (x2+y)dy=0 为全微分方程，并求满足 y(0)=2
5、的解。19 求微分方程 y“=e2xcosx 的通解。20 求微分方程 xy“=y+x2 的通解。21 设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y(x)0，y(0)=1。过曲线 y=y(x)上任一点P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形面积记为 S1，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，且 2S1 一 S2=1，求此曲线 y=y(x)的方程。22 若二阶常系数线性齐次微分方程 y“+ay+by=0 的通解为 y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程 y“+ay+by=x 满足条件 y(0)=2，y(0)=0 的解为 y=_。23 求微
6、分方程 y“一 3y+2y=2xex 的通解。24 求方程 y“+y一 2y=2cos2x 的通解。25 求微分方程 y“一 y=excos2x 的一个特解。26 解微分方程 y“一 y“一 2y=0。27 解微分方程 y(4)一 2y“+y“=0。28 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下来。 现有一质量为 9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700kmh。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k=6010 6)。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?(kg 表示千克，kmh 表示
7、千米小时。)考研数学一（常微分方程）模拟试卷 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程为 2+2+1=0 1=2=一 1，则通解为 y=(C1+C2x)e-x。故选C。【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 D【试题解析】 由 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x，可知其特征根为 1=1， 2，3 =2i，故对应的特征方程为 ( 一 1)(+2i)( 一 2i)=( 一 1)(2+4) =3 一 x+4 一 4。 所以所求微分方程为 y“一 y“+4y一 4y=0。应选 D。【知识模块】 常微分方程3 【
8、正确答案】 C【试题解析】 因 y(0)=y(0)=0，ln(1+0)=0，故利用洛必达法则，由 y“+py+qy=e3x 知y“(x)连续且 y“(0)=e0=1，故所求极限等于 2。【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 D【试题解析】 对应齐次微分方程 y“一 4y=0 的特征方程为 24=0，特征值为 =一 2，=2 ，则齐次方程 y“一 4y=0 的通解为 C1e-2x+C2e2x，根据选项进行验证知，方程 y“一 4y=x+2 有特解一 ，故选 D。【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 D【试题解析】 微分方程对应的齐次微分方程是 y“一 3y+2y=0，其特征方程为 一3+
9、2=0，其特征根为 1=1， 2=2。 因此微分方程 y“一 3y+2y=一 2ex 有形如y1x=cxex 的特解，又微分方程 y“一 3y+2y=3x 有形如 y2*=ax+b 的特解。所以，由叠加原理可知，原方程 y“一 3y+2y=3x 一 2ex 有形如 y*=y1*+y2* =cxex+(ax+b)的特解，应选 D。【知识模块】 常微分方程二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 由已知方程变形整理得 ，两边积分后，得lny=一 lnx+C 。代入初值条件 y(1)=1，得 C=0。所以 y= 。【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 (x 一 4)y 4=Cx，C 为任意常数。
10、【试题解析】 分离变量得 ，两边积分后整理得+lny=C 1，化简可得 y 4=C，即(x 一 4)y 4=Cx，C 为任意常数。【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 C=0【试题解析】 如果把 x 看成因变量(未知函数)，y 看成自变量，则原微分方程可写成 这是以 y 为自变量，x 为未知函数的一阶线性微分方程。由一阶线性微分方程通解公式得 将y x=1=1 代入解得 C=0。所以微分方程满足条件 y x=1=1 的解为 x=y2，即 y= 。【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 【试题解析】 原方程两端同除以 x，得 y+ =lnx，此为一阶线性微分方程，通解为【知识模块】 常微分
11、方程10 【正确答案】 e x【试题解析】 已知条件中二阶常微分方程的特征方程为 2+ 一 2=0，特征根为1=1， 2=一 2， 则二阶齐次微分方程 f“(x)+f(x)一 2f(x)=0 的通解为 f(x)=C1ex+C2e-2x。 再由 f(x)+f(x)=2ex 得 2C1ex 一 C2e-2x=2ex，可知 C1=1，C 2=0故 f(x)=ex。【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 y=e 3x(C1cos2x+C2sin2x)，其中 C1，C 2 为常数。【试题解析】 特征方程为 2 一 6+13=0，因为根的判别式=36413=一160，则特征方程有一对共轭复根 i，其中
12、 =一 =2，因此通解为 y=e 3x(C1cos2x+C2sin2x)，其中 C1，C 2 为常数。【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 y=C 1e3x+C2ex 一 xe2x，其中 C1，C 2 为任意常数。【试题解析】 显然 y1 一 y3=e3x 和 y2 一 y3=ex 是对应的二阶常系数齐次线性微分方程两个线性无关的解。且 y*=一 xe2x 是非齐次微分方程的一个特解。 由解的结构定理，该方程的通解为 y=C1e3x+C2ex 一 xe2x，其中 C1，C 2 为任意常数。【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 y= ，其中 C1，C 2 为任意常数。【试题解析】 令
13、 x=et，则 t=lnx，且解此方程，得通解为 y=C1e-t+C2e-2t，将 x=et 代回，即 y= ，其中 C1，C 2 为任意常数。【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 方程两端同除以 x 得 y+ ，即 y=xu，则y=u+ 。将=C，其中 C 为任意常数。【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 原方程可变形为两边积分，得 ln lnu一 1=ln x +ln C，即 Cx=lnu 一 1，将 =u 代回即得原方程的通解为 y=xecx+1，其中 C 为常数。【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 已知所求函数 y=
14、y(x)在(一，1)和(1，+)都满足所给微分方程，故在两个区间上分别求微分方程，即其中 C1，C 2 为常数。化简得 因为 y(0)=0，所以 y x=0=一 1+C1e2x x=0=一 1+C1=0，解得 C1=1。 又因为 y=y(x)在(一 ，+)内连续，所以C2e2x=y(1)，解得 C2=1 一 e-2，故所求函数【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 原微分方程可变形为 =(sinx 一 1)y2。令 y-1=u，则，代入变形后的方程，得此为一阶线性微分方程，由一阶线性微分方程通解公式，得【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 根据全微分方程的特点，有由 ，得=1，此时微
15、分方程为全微分方程。选取路径为(0，0)(x，0)(x，y)，则 u(x，y)=0xx0dx+ y2=c，由于 y(0)=2，所以 c=1，因此方程的通解为 y2=1。【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 对方程连续积分三次，得 其中 C1， C2，C 3 是任意常数。【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 令 y=P，则 y“=P，将其代入原方程，得 xP=P+x2，即 P一P=x，这是以 x 为自变量， P 为未知函数的一阶线性微分方程，利用一阶线性微分方程的求解公式，有 P= +C1)=elnx(xe-lnxdx+C1) =x(dx+C1)=x(x+C1)，即1555*=x 2
16、+C1x，该等式两边积分，得原微分方程的通解为 y= C1x2+C2，其中C1，C 2 为常数。【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 设曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线斜率为 y，则切线方程为 yy=y(X 一 x)，上式两边对 x 求导并化简，得 yy“一(y)2=0 ，此为不显含 x 的可降阶方程，令y=p，则 y“= ，因此原方程化为(*)式中令 x=0，得 y(0)=p(0)=1，代入 p=C1y，得 C1=1。故 p=y，即 y=y，解得 y=ex。【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 由齐次微分方程 y“+ay+by=0 的通解为 y=(C1+C2x)ex
17、可知 =1 是特征方程 2+a+b=0 的重根，从而可得 a=一 2，b=1 。则原齐次微分方程为 y“一2y+y=x。 设特解 y*=Ax+B，则(y *)=A，(y *)“=0。分别将其代入原微分方程，有一2A+Ax+B=x，比较 x 的系数知，A=1 。于是有一 2+B=0，即 B=2。所以特解y*=x+2。 故非齐次微分方程的通解 y=(C1+C2x)ex+x+2，将 y(0)=2，y(0)=0 代入，得 C1=0，C 2=一 1。 因此满足条件的解 y=一 xex+x+2x(1 一 ex)+2。【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 所对应齐次方程 y“一 3y+2y=0 的特征
18、方程为 2 一 3+2=0，由此解得 1=2， 2=1。因此对应齐次方程的通解为 y=C1e2x+C2ex。 x=1 是特征方程的一个单根，故设非齐次方程的特解为 y*=(ax+b)xex，则 (y *)=ax2+(2a+b)x+bex，(y *)“=ax2+(4a+b)x+2a+2bex， 代入原方程得 a=一 1， b=一 2，即 y*=一(x+2)xe x。 从而所求解为 y=C 1e2x+C2ex 一 x(x+2)ex，其中 C1，C 2 为任意常数。【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 对应的齐次线性方程 y“+y一 2y=0 的特征方程为 2+ 一 2=0解得特征根为 1=一
19、 2， 2=1，因此，齐次线性方程的通解为 y=Cl e -2x+C2ex。 由于=2，i=2i 不是特征根，因此，设非齐次线性方程的特解 y*=Acos2x+Bsin2x，对其求一阶、二阶导数，并代入原方程可得 (一 2A+2B 一 4A)cos2x+(一 2B 一 2A4B)sin2x=2cos2x，比较两端相同项的系数可得故原方程的通解为 y=C1e-2x+C2ex 一 sin2x，其中 C1，C 2 为任意常数。【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 这是二阶常系数非齐次线性方程，且 f(x)属 exPl(1)(x)coswx+Pn(2)(x)sinwx型，其中 =1，w=2 ，P
20、 l(1)(x)=1，P n(2)(x)=0。 对应齐次方程的特征方程为2 一 1=0，解得 ，=1，=一 1。由于 +iw=1+2i 不是特征方程的根，所以设特解为 y *=ex(accos2x+bsin2x)。求导得 (y *)=ex(a+2b)cos2x+(一 2a+b)sin2x， (y *)“=ex(一 3a+4b)cos2x+(一 4a 一 3b)sin2x，代入所给方程，得 4e x(一 a+b)cos2x 一(a+b)sin2x=excos2x，比较两端同类项的系数，有 因此所给方程的一个特解为 y *= ex(sin2x 一 cos2x)。【知识模块】 常微分方程26 【正确
21、答案】 该微分方程的特征方程为： 3 一 2 一 2=0， 即 ( 一 2)(+1)=0，它的根分别为 =0，=2，=一 1，因此所给微分方程的通解是 y=C 1+C2e-x+C3e2x，其中 C1，C 2，C 3 为常数。【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 特征方程为 423+2=0，即 2( 一 1)2=0，解得1，2 =0， 3，4 =1，故方程的解为 y=C 1+C2x+(C3+C4x)ex，其中 C1，C 2，C 3，C 4 为常数。【知识模块】 常微分方程28 【正确答案】 由题设，飞机的质量 m=9000kg，着陆时的水平速度v0=700kmh 。从飞机接触跑道开始记时，设 t 时刻飞机的滑行距离为 x(t)，速度为 v(t)。 根据牛顿第二定律，得，积分得 x(t)=一 +C。由于 v(0)=v0，x(0)=0，故得 C= v0 一 v(t)。当 v(t)0 时， x(t)=105(km)。所以，飞机滑行的最长距离为 105km 。【知识模块】 常微分方程
