1、考研数学一（常微分方程）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知，y 1=x，y 2=x2，y 3=ex 为方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为( )（A）y=C 1x+C2x+ex（B） y=C1x+C2ex+x（C） y=C1(x 一 x)+C2(x 一 ex)+x（D）y=C 1(x 一 x)+C2(x 一 ex)2 在下列方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C 2，C 3 为任意常数)为通解的是( )（A）y“+y“ 一 4y一 4y=0（B） y“+y“+4y+4y
2、=0（C） y“一 y“一 4y+4y=0（D）y“一 y“+4y一 4y=03 若 y=xex+x 是微分方程 y“一 2y+ay=bx+c 的解，则( )（A）a=1 ，6=1，c=1（B） a=1，b=1，c=一 2（C） a=一 3，b=一 3，c=0 （D）a= 一 3，b=1，c=14 设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+py+qy=e 满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 的极限( )（A）不存在（B）等于 1（C）等于 2（D）等于 35 方程 y“+2y“=x2+xe2x 的特解形式为( )（A）y=ax 2+bx+c+x(dx+e)e2
3、x（B） y=x2(ax2+bx+c)+x2e2x（C） y=(ax2+bx+c)+(dx+e)e2x（D）y=x 2(ax2+bx+c)+x(dx+e)e2x6 方程 y“一 3y+2y=ex+1+excos2x 的特解形式为( )（A）y=axe x+b+Aexcos2x（B） y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)（C） y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x)（D）y=axe x+b+ex(Acos2x+Bsin2x)7 设曲线 y=y(x)满足 xdy+(x 一 2y)dx=0，且 y=y(x)与直线 x=1 及 x 轴所围的平面图形绕 x 轴旋转的旋转体体
4、积最小，则 y(x)=( )8 设 f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，du(x，y)=f(x)ydx+sinxf(x)dy ，则 f(x)等于( )（A）cosx+sinx 一 1（B） cosx+sinxex（C） eosxsinx+xex（D）cosx sinx+xex二、填空题9 方程(y+ )dxxdy=0 满足条件 y(1)=0 的特解为_。10 微分方程 yy“+y2=0 满足初始条件 y(0)=1，y(0)= 的特解是_11 微分方程 xy+2y=sinx 满足条件 yx= 的特解为 _12 微分方程 y“一 4y=e2x 的通解为 y=_。13 微分方程 y+y=exco
5、sx 满足条件 y(0)=0 的解为_14 微分方程 y“+2y+5y=0 的通解为_。15 若函数 f(x)满足方程 f“(x)+f(x)一 2f(x)=0 及 f“(x)+f(x)=2ex，则 f(x)=_。16 微分方程 xy+2y=xlnx 满足 y(1)=一 的解为_ 17 若二阶常系数线性齐次微分方程 y“+ay+by=0 的通解为 y=(C1，+C xx)ex，则非齐次方程 y“+ay+by=x 满足条件 y(0)=2，y(0)=0 的解是 y=_18 微分方程 xy+y=0 满足条件 y(1)=1 的解是 y=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 求微分方程
6、 y“一 3y+2y=2xex 的通解20 求微分方程 y“一 a(y)2=0(a0)满足初始条件 y x=0=0，y x=0=一 1 的特解21 求微分方程(1+x)y“= (x0)满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，其中常数 k022 求锯二阶微分方程。23 设 f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+0tf(s)sinsds，求 f(t)24 利用代换 u=ycosx 将微分方程 y“cosx 一 2ysinx+3ycosx=ex 化简，并求出原方程的通解考研数学一（常微分方程）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答
7、案】 C【试题解析】 方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x 一 x2)和(x ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为 y=C1(x 一 x2)+C2(x 一 ex)+x，故选 C【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 D【试题解析】 由通解 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x 的形式可知，所求方程的特征方程为(r 一 1).(r2+4)=0，即 r3 一 r2+4r 一 4=0，则对应的方程为 y“一 y“+4y一 4y=0，故选 D【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 B【试题解析】 由于 y=xex+x 是方程 y
8、“一 2y+ay=bx+c 的解，则 xex 是对应的齐次方程的解，其特征方程有二重根 r1=r2=1，则 a=1； x 为非齐次方程的解，将 y=x代入方程 y“一 2y+y=bx+c，得 b=1，c=一 2，故选 B【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 C【试题解析】 在方程 y“+py+qy=e3x 中，令 x=0 得 y“(0)+py(0)+qy(0)=1 ，由已知条件得 y“(0)=1因此，【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 D【试题解析】 齐次方程 y“+2y“=0 的特征方程为 r3+2r2=0 其特征根为r1=r2=0，r 3=一 2，则方程 y“+2y“=x2+xe
9、2x 的特解形式为 y=x 2(ax2+bx+c)+x(dx+e)e2x 故选 D【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 C【试题解析】 齐次方程 y“一 3y+2y=0 的特征方程为 r 2 一 3r+2=0 特征根为r1=1，r 2=2，则方程 y“一 3y+2y=ex+1+excos2x 的待定特解为 y=axex+b+exx(Acos2x+Bsin2x)， 故选 C【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 B【试题解析】 由 du(x，y)=f(x)ydx+sinx 一 f(x)dy 知【知识模块】 常微分方程二、填空题9 【
10、正确答案】 y= (x2 一 1)【试题解析】 由题干方程可知【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 y=【试题解析】 令 y=P(y)(以 y 为自变量) ，则【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 y= (sinx 一 xcosx)【试题解析】 由题干中方程可知【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 y=C 1e2x+(C2+ )e2x，其中 C1， C2 为任意常数【试题解析】 对应齐次微分方程的特征方程为 r2 一 4=0，解得 r1=2，r 2=一 2 故y“一 4y=0 的通解为 y 1=C1e2x+C2e2x，其中 C1，C 2 为任意常数 由于非齐次项为f(x)=e
11、2x，=2 为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为 y*=Axe2x， 代入原方程可求出 A= 故所求通解为 y=y 1+y*=C1e2x+C2e2x+，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 y=e xsinx【试题解析】 原方程的通解为 y=e 1dx(excosx.e1dxdx+C) =ex(cosxdx+C)=ex(sinx+C) 由 y(0)=0 得 C=0，故所求解为 y=exsinx【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 y=e x(C1cos2x+C2sin2x)【试题解析】 由题干可知，方程 y“+2y+5y=0 的特征方程为 r2+2
12、r+5=0解得 r1,2= =12 则原方程的通解为 y=ex(C1cos2x+C2sin2x)【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 e x【试题解析】 齐次微分方程 f“(x)+f(x)一 2f(x)=0 的特征方程为 r2+r 一 2=0，特征根为 r1=1，r 2=一 2，该齐次微分方程的通解为 f(x)=C 1ex+C2e2x 再由 f“(x)+f(x)=2ex， 解得 2C 1ex+5C2e2x=2ex， 比较系数可得 C1=1，C 2=0故 f(x)=ex【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 y=【试题解析】 原方程等价为【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 y=
13、x(1 一 ex)+2【试题解析】 由已知 y=(C1+C2x)ex 是齐次方程的通解可知，r=1 是齐次方程特征方程二重根，则特征方程为(r 一 1)2=0，即 r2 一 2r+1=0则 a=一 2，b=1 设非齐次方程的一个特解为 y=Cx+d，将之代入原方程得 y*=x+2，非齐次方程的通解为y=(C1+C2x)ex+x+2 由 y(0)=2，y(0)=0 得 则 C1=0，C 2=一 1 因此满足条件的解为 y=一 xex+x+2=z(1 一 ex)+2【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 y=【试题解析】 由 ，两边积分，得 lny=一lnx+C代入条件 y(1)=1，得 C=
14、0所以 y= 【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 齐次方程 y“一 3y+2y=0 的特征方程为 r2 一 3r+2=0，由此得r1=2，r 2=1 即对应齐次方程的通解为 Y=C 1e2x+C2ex 设非齐次方程的特解为 y*=(ax+b)xex则 (y *)=axx+(2a+b)x+bex，(y *)“=ax+(4a+b)x+2a+2bex 代入原方程得 a=一 1，b=一 2，因此所求解为 y=C 1e2x+C2ex 一 x(x+2)ex(C 1，C 2 为任意常数)【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 【知识模块】 常微分
15、方程21 【正确答案】 令 p=y，则 y“=p，故有由 y(0)=0 得 C1=1 或 C1=一 1由题意知 x+11，k0，故 p=y“0，所以 y单调增加，又 y(0)=0，则 x0 时，y0，因此 C1=1，于是【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 令 u= =uu，原方程化为 ucosy.u+u2siny=u当u=0，y=c(常数) 不符合初始条件，舍去【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 因 f(t)连续，因此 0tf(s)sinsds 可导，从而 f(t)可导，于是利用公式 f(t)=e sintdt一 2sin2t.esintdt+C 由 f(0)=1 得 C=e因此， f(t)=e 1cost+4(cost 一 1)【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 令 ycosx=u，则 y=usecx，从而 y=usecx+usecxtanx， y“=u“secx+2usecxtanx+usecxtan2x+usec3x 代入原方程，则 u“+4u=ex这是一个二阶常系数非齐次线性方程，其通解为【知识模块】 常微分方程
