1、考研数学一（常微分方程）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 满足 y(1)=0 的特解是 ( )2 设线性无关的函数 y1(x)，y 2(x)，y 3(x)均是方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，C 1，C 2是任意常数，则该方程的通解是 ( )（A）C 1y1+C2y2+y3（B） C1y1+C2y2-(C1+C2)y3（C） C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3（D）C 1y1+C2y2+(1-C1-C2)y33 设二阶线性常系数齐次微分方程 y+by+y=0 的每一个解 y(x)都在区间(0，+)上有界，
2、则实数 b 的取值范围是 ( )（A）0 ，+)（B） (-，0（C） (-，4（D）(-，+)4 具有特解 y1=e-x，y 2=2xe-x，y 3=3ex 的三阶线性常系数齐次微分方程是 ( )（A）y-y-y+y=0（B） y+y-y-y=0（C） y-6y+11y-6y=0（D）y-2y-y+2y=05 函数 而言， ( )（A）是通解（B）是特解（C）是解，但既非通解也非特解（D）不是解二、填空题6 设 y=ec，y=x 2 为某二阶线性齐次微分方程的两个特解，则该微分方程为_7 设 p(x)，q(x)与 f(x)均为连续函数，f(x)0设 y(x)，y(x)与 y(x)是二阶线性非
3、齐次方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x) 的 3 个解，且 则式的通解为_8 微分方程 的通解为_9 微分方程的特解是_10 设 f(x)在(-，+) 内有定义，且对任意 x(-，+)，y(-，+)，成立 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，且 f(0)存在等于 a，a0，则 f(x)=_11 设 f(x)在(-，+) 上可导，且其反函数存在为 g(x)若则当-x+时 f(x)=_12 微分方程 y+ytanx=cosx 的通解为 y=_13 微分方程 y-4y=e2x 的通解为 y=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 已知 y=y(x)是微分方程 (x2+y
4、2)dy=dx-dy 的任意解，并在 y=y(x)的定义域内取x0，记 y0=y(x0)14 证明：15 证明： 均存在16 设 a0，函数 f(x)在0，+) 上连续有界，证明：微分方程 y+ay=f(x)的解在0，+) 上有界17 已知曲线 y=y(x)经过点 (1，e -1)，且在点(x，y) 处的切线方程在 y 轴上的截距为xy，求该曲线方程的表达式18 求解 +(y-x)dy=018 设 (x)是以 2 为周期的连续函数，且 (x)=(x)，(0)=019 求方程 y+ysinx=(x)ecosx 的通解；20 方程是否有以 2 为周期的解 ?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由
5、21 设有方程 y+P(x)y=x2，其中 P(x)= 试求在(-，+)内的连续函数y=y(x)，使之在 (-，1)和 (1，+)内都满足方程，且满足初值条件 y(0)=221 设22 用变限积分表示满足上述初值问题的特解 y(x)；23 讨论 是否存在，若存在，给出条件，若不存在，说明理由24 求微分方程 xy+y=xex 满足 y(1)=1 的特解25 求(4-x+y)dx-(2-x-y)dy=0 的通解26 求 xy-ylny+ylnx=0 满足 y(1)=2 和 y(1)=e2 的特解27 求 y2-yy=1 的通解28 求(x+2)y+xy 2=y的通解29 求微分方程 的通解考研数
6、学一（常微分方程）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 将原方程变形为 这是齐次微分方程，令分离变量得由 u(1)=0 可得C=0，进而导出 u+ 应选(B)【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 D【试题解析】 由于 C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)+y3，其中 y1-y3 和y2-y3 是原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解，又 y3 是原方程的一个特解，所以(D)是原方程的通解【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 A【试题解析】 因为当 b2 时，
7、，所以，当b2-40 时，要想使 y(x)在区间(0，+)上有界，只需要，即 b2当 b2-40 时，要想使 y(x)在区间(0， +)上有界，只需要 的实部大于等于零，即0b2 当 b=2 时，y(x)=C 1e-x+C2xe-x 在区间(0，+)上有界当 b=-2 时，y(x)=C1ex+C2xex 在区间(0，+) 上无界综上所述，当且仅当 b0 时，方程 y+by+y=0 的每一个解 y(x)都在区间(0，+)上有界，故选(A)【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 B【试题解析】 根据题设条件，1，-1 是特征方程的两个根，且-1 是重根，所以特征方程为(-1)(+1) 2=3+2
8、-1=0，故所求微分方程为 y+y-y-y=0，故选(B) 或使用待定系数法，具体为：设所求的三阶常系数齐次线性微分方程是 y+ay+by+cy=0 由于 y1=e-x，y 2=2xe-x，y 3=3ex 是上述方程的解，所以将它们代入方程后得 解得 a=1，b=-1，c=-1 故所求方程为 y+y-y-y=0，即选项(B)正确【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 C【试题解析】 (1)因原方程阶数为二，通解中应包含两个任意常数(可求出通解为C1+C2+ )；(2) 特解中不含有任意常数 满足原方程，故选项(A) ，(B)，(D)都不对，应选(C)【知识模块】 常微分方程二、填空题6 【正
9、确答案】 【试题解析】 由于方程形状已知，故只要将两个特解分别代入并求出系数即可方法一 设所求的二阶齐次线性微分方程为 y+p(x)y+q(x)y=0分别以y1=ex，y 2=x2 代入，得方法二 由于 y1=ex 与 y2=x2 线性无关，故该二阶线性齐次微分方程的通解为 y=C1ex+C2x2， y=C 1ex+2C2x， y=C1ex+2C2 由式，式 ，式消去 C1 与 C2 便得如上所填【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 y=C 1(y1-y2)+C2(y2-y3)+y1，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 由非齐次线性方程的两个解，可构造出对应的齐次方程的解，再证明这
10、样所得到的解线性无关便可 y 1-y2 与 y2-y3 均是式对应的线性齐次方程 y+p(x)y+q(x)y=0 的两个解今证它们线性无关事实上，若它们线性相关，则存在两个不全为零的常数 k1 与 2 使 k1(y1-y2)+k2(y2-y3)=0 设 k10，又由题设知 y2-y30，于是式可改写为 =常数，矛盾若 k1=0，由 y2-y30，故由式 推知 k2=0 矛盾这些矛盾证得 y1-y2 与 y2-y3 线性无关于是 Y=C1(y1-y2)+C2(y2-y3) 为式的通解，其中 C1， C2 为任意常数，从而知y=C1(y1-y2)+C2(y2-y3)+y1 为式的通解【知识模块】
11、常微分方程8 【正确答案】 x 2=yln y+C ，其中 C 为任意常数【试题解析】 将 x 看成未知函数，y 看成自变量，问题就迎刃而解了将 x 看成未知函数(实际上就是作反函数变换)，原方程改写为 这是一个伯努利方程，令 z=x2，有 得【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 【试题解析】 熟悉反函数的导数的读者知道，原方程可化为 x于 y 的二阶常系数线性方程将式代入原方程，原方程化为解得 x 关于 y 的通解为以 x=0 时，y=0 代入上式，得 0=C1+C2，再将式两边对 y 求导，有x=0 时，解得 C1=1，C 2=-1，于是得通解【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】
12、 axe x【试题解析】 由 f(0)存在，设法去证对一切 x，f(x)存在，并求出 f(x)将 y=0 代入(x+y)=f(x)=f(x)e y+f(y)ex，得 f(x)=f(x)+f(0)ex，所以 f(0)=0令x0，得 f(x)=f(x)+exf(0)=f(x)+aex，所以 f(x)存在解此一阶微分方程，得 f(x)=ex(aex.exdx+C)=ex(ax+c)因 f(0)=0，所以 C=0，从而得 f(x)=axex，如上所填【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 【试题解析】 未知函数含于积分之中的方程称积分方程现在此积分的上限为变量，求此方程的解的方法是将方程两边对 x
13、 求导数化成微分方程解之注意，积分方程的初值条件蕴含于所给式子之中，读者应自行设法挖掘之 将所给方程两边对 x 求导，有 gf(x)f(x)+f(x)=xex 因 gf(x)x，所以上式成为 xf(x)+f(x)=xex以 x=0 代入上式，由于 f(0)存在，所以由上式得 f(0)=0当 x0 时，上式成为由于 f(x)在 x=0 处可导，所以连续令 x0，得【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 (x+C)cosx，其中 C 为任意常数【试题解析】 属于一阶非齐次线性方程，直接根据解一阶非齐次线性方程的方法即可得出答案【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 ，其中 C1，C 2 为
14、任意常数【试题解析】 y-4y=0 的特征根 =2，则其通解为 y=C1e-2x+C2e2x 设其特解y*=Axe2x 代入 y-4y=e2x，可解得 所以 y-4y=e2x 的通解为，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 本题以微分方程的概念为载体，考查一元微积分学的综合知识，是一道有一定难度的综合题将微分方程(x 2+y2)dy=dx-dy 变形为，则 y=y(x)为严格单调增函数，根据单调有界准则，只要证明 y(x)有界即可对设xx0，则 y(x)y(x0)+【知识模块】 常微分
15、方程15 【正确答案】 y(x) 有上界，所以 存在同理可证，当 xx0 时，y(x)有下界，所以 也存在故 也存在【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 原方程的通解为 设 f(x)在0，+)上的上界为 M，即f(x) M，则当 x0 时，有即 y(x)在0，+) 上有界【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 本题以几何问题为载体，让考生根据问题描述建立微分方程，然后求解，是一道简单的综合题，是考研的重要出题形式 曲线 y=f(x)在点(x，y) 处的切线方程为 Y-y=y(X-x)，令 X=0，得到截距为 xy=y-xy，即 xy=y(1-x)此为一阶可分离变量的方程，于是，又 y
16、(1)=e-1，故 C=1，于是曲线方程为【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 方程化为 此为齐次方程，故令，代入上述方程得积分得 ln(u+eu)=-lny+C 1， (u+eu)y=C，将 ，故原方程的通解为 x+ =C(C 为任意常数)【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 本题考查微分方程的求解与解的讨论，尤其是(2)关于解的讨论，是考生在考场上的难点，请复习备考的学生重视 该方程为一阶线性微分方程，通解为 y=e -sinxdx(x)ecosxesinxdxdx+C=ecosx(x)ecosx.e-cosxdx+C =ecosx(x)dx+C=eco
17、sx(x)+C(C 为任意常数)【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 因为 (x)=(x)，所以 (x)=而 (x+2)=所以，当时，(x+2)=(x) ，即 (x)以 2 为周期因此，当 时，方程有以 2 为周期的解【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 本题虽是基础题，但其特色在于当 z 的取值范围不同时，系数P(x)不同，这样所求解的方程就不一样，解的形式自然也会不一样，最后要根据解y=y(x)是连续函数，确定任意常数当 x1 时，方程及其初值条件为求解得 y=e -1dx(x2e1dxdx+C)=e-x(x2exdx+C)=x2-2x+2+Ce-x由 y(0)=2得 C=0，
18、故 y=x2-2x+2当 x1 时，方程为 ，求解得又 y(x)在(-，+)内连续，有 f(1-)=f(1+)=f(1)，即 1-2+2= 所以【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 一般认为，一阶线性微分方程 y+p(x)y=q(x)的计算公式为 y=e -p(x)dxe.q(x)dx+C，而本题是要求写成变限积分形式请考生仔细分辨这里的变量表达形式 由于本题表达形式比较复杂，且写出表达式后还要进行极限讨论，故本题对于考生是一道难题初值问题可写成 由上述变限积分形式的通解公式，有：【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程24 【正确答案
19、】 方法一 对应的齐次方程 xy+y=0 的通解是 设其中 C 为 x 的函数，则 代入原方程，得 C=xex，C=xe x-ex+C1，故原方程的通解为当 x=1，y=1 时，C 1=1，所以特解为 方法二 由通解公式得 当 x=1，y=1时，得 C=1，所以特解为【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 方程化为 设 x=X+h，y=Y+k ，代入方程，并令解得 h=3，k=-1 ，此时原方程化为积分得 X2-2XY-Y2=C 将 X=x-3，Y=y+1 代入上式，得到所求通解为 x 2-2xy-y2-8x+4y=C，其中 C为任意常数【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 设 y=
20、p，则 y=p，代入原方程中， xp-plnp+pinx=0，即这是齐次方程，设 p=xu，则 代入上式，得由原方程知 x0，y0，从而 u0，积分后，得 lnu-1=C 1x，即 lnu=C1x+1，回代 代入初值条件y(1)=e2，解得 C1=1，得到方程 积分得 y=(x-1)ex+1+C2 代入初值条件 y(1)=2，解得 C2=2，故所求特解为 y=(x-1)ex+1+2【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 设 y=p， ，积分得【知识模块】 常微分方程28 【正确答案】 令 y=p，有 ，原式成为两边同除以 p2，化为当 C10 时，得 当 C1=0 时，得当 C10 时，得【知识模块】 常微分方程29 【正确答案】 此为齐次方程，只要作代换令 u=所以有uarctanu-即得原方程通解为 ，C 为任意常数【知识模块】 常微分方程
