1、考研数学一（无穷级数，常微分方程）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2009 年试题，一) 设有两个数列a n，b n，若 则( )（A）当 收敛时， anbn 收敛（B）当 发散时, anbn 发散（C）当 收敛时, an2bn2 收敛（D）当 发散时, an2bn2 发散2 (2006 年试题，二) 若级数 收敛，则级数( ) （A） 收敛（B） 收敛（C） 收敛（D） 收敛3 (2004 年试题，二) 设 为正项级数下列结论中正确的是( )（A）若 ，则级数 收敛（B）若存在非零常数 ，使得 则级数 发散（C）若级数 收
2、敛，则（D）若级数 发散，则存在非零常数 ，使得4 (2002 年试题，二) 设 un0(n=1，2，3，)，且 则级数( ).（A）发散（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）收敛性根据所给条件不能判定5 (2000 年试题，二) 设级数 收敛，则必收敛的级数为( )（A）（B）（C）（D）6 (2011 年试题，一) 设数列a n单调减少， 无界，则幂级数 的收敛域为( )（A）(一 1，1（B） 一 1，1)（C） 0，2)（D）(0 ，27 (1999 年试题，二) 设其中 则等于( ) （A）（B）（C）（D）8 (1998 年试题，二) 已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量 且当
3、x0时， 是x 的高阶无穷小， y(0)=则 y(1)等于( )（A）2（B） （C）（D）9 (2008 年试题，一) 在下列微分方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C 2，C 3 为任意常数)为通解的是( )（A）y +y一 4y一 4y=0（B） y+y+4y+4y=0（C） y一 y一 4y+4y=0（D）y 一 y+4y一 4y=0二、填空题10 (2008 年试题，二) 已知幂级数 在 x=0 收敛，在 x=一 4 发散，则幂级数 的收敛域为_.11 (1997 年试题，一) 设幂级数 的收敛半径为 3，则幂级数 的收敛区间为_.12 (2003 年试题
4、，一) 设 则 a2=_.13 (2011 年试题，二) 微分方程 y+y=e-xcosx 满足条件 y(0)=0 的解为y=_.14 (2008 年试题，二) 微分方程 xy+y=0 满足条件 y(1)=1 的解是 y=_15 (2006 年试题，一) 微分方程 的通解是_。16 (2005 年试题，一) 微分方程 xy+2y=xlnx 满足 的解为_.17 (2002 年试题，一) 微分方程 yy+y12=0 满足初始条件 的特解是_.18 (2000 年试题，一) 微分方程 xy+3y=0 的通解为_.19 (2012 年试题，二) 若函数 f(x)满足方程 f(x)+f(x)一 2f(
5、x)=0 及 f(x)+f(x)=2ex，则f(x)=_20 (2009 年试题，二) 若二阶常系数线性齐次微分方程 y+ay+by=0 的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程 y+ay+by=x 满足条件 y(0)=2，y (0)=0 的解为_21 (2007 年试题，二) 二阶常系数非齐次线性微分方程 y一 4y+3y=2e2x 的通解为y=_.22 (2001 年试题，一) 设 y=e*(C1sinx+C2cosx)(C1，C 2 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_23 (1999 年试题，一)y 一 4y=e2x 的通解为 y=_24 (2004 年
6、试题，一) 欧拉方程 的通解为_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 (2004 年试题，三) 设有方程 xn+nx 一 1=0，其中 n 为正整数证明此方程存在唯一正实根 xn，并证明当 1 时，级数 收敛26 (1999 年试题，九) 设 (1)求 的值；(2)试证：对任意的常数 0，级数 收敛27 (1998 年试题，八) 设正项数列a n单调减少，且 发散，试问级数是否收敛? 并说明理由27 (1997 年试题，六) 设 a1=2， ，证明28 存在；29 级数 收敛30 (2012 年试题，三) 求幂级数 的收敛域及和函数31 (2000 年试题，七) 求幂级数
7、的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性32 (2010 年试题，18) 求幂级数 的收敛域与和函数32 (2007 年试题，20) 设幂级数 anxn 在(一 ， +)内收敛，其和函数 y(x)满足y一 2xy一 4y=0。y(0)=0 ， y(0)=133 证明34 求 y(x)的表达式35 (2005 年试题，16) 求幂级数 的收敛区间与和函数f(x)36 (2002 年试题，七)(1)验证函数)满足微分方程 y+y+y=ex；(2)利用(1)的结果求幂级数 的和函数37 (2009 年试题，16) 设 an 为曲线 y=xn 与 y=xn+1(n=1，2，)所围成区域的面积，记 s1=
8、 求 s1 与 s2 的值38 (2006 年试题，17) 将函数 展开成 x 的幂级数39 (2003 年试题，四) 将函数 展开成 x 的幂级数，并求级数的和40 (2001 年试题，五) 设 试将 f(x)展开成 x 的幂级数，并求级数 的和41 (2008 年试题，19) 将函数 f(x)=1x2(0x)展开成余弦形式的傅里叶级数，并求 的和42 (2010 年试题，15) 求微分方程 y一 3y+2y=2xex 的通解42 (2003 年试题，七) 设函数 y=y(x)在(一 ，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数43 试将 x=x(y)所满足的微分方程
9、 变换为 y=y(x)满足的微分方程44 求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0,y(0)= 的解45 (2004 年试题，三) 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700kmh经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k=6010 6)问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少? 注 kg 表示千克，kmh 表示千米小时46 (1999 年试题，五) 设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一
10、点 P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1,区间0，x上以 y=y(x)为曲线的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1一S 2 恒为 1，求曲线 y=y(x)的方程47 (1998 年试题，五) 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度 v 之间的函数关系设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 B，海水比重为 p，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 k(k0)试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系式
11、 y=y(v)48 (1997 年试题，三) 在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的设该人群的总人数为 N,在 t=0 时刻已掌握新技术的人数为 x0，在任意时刻 t 已掌握新技术的人数为 x(t)(将 x(t)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数之积成正比，比例常数 k0，求 x(t)考研数学一（无穷级数，常微分方程）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 A 选项的反例可取 an=bn= ；B，D 选项的反例可取 an=bn=故正确答案为 C解析二考察选项 C由 知，a n有界
12、；由 收敛知 即 b n 也有界又 0an2bn2=anb nb nMb n(M 为常数)，根据比较敛法知， an2bn2 收敛，正确答案为 C【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 D【试题解析】 由级数 收敛推出 收敛；再由线性性质推出收敛，即 收敛故选 D【知识模块】 无穷级数3 【正确答案】 B【试题解析】 由题设， 为正项级数，可通过举反例的方法一一排除干扰项关于 A，令 则 发散，但 故 A 可排除；关于 C，令 则 收敛，但 ，故 C 也可排除；关于 D，令 则 发散，但 即 D也排除；关于 B，由于 发散， 则由正项级数的比较判别法知 发散，综上，选 B【知识模块】 无穷级数4
13、 【正确答案】 C【试题解析】 由题设，令 而由已知 则根据比较判别法知发散，则原级数不是绝对收敛，排除 B，考虑原级数的部分和，即由已知 从而因而 所以 即原级数条件收敛，选 C【知识模块】 无穷级数5 【正确答案】 D【试题解析】 观察四个选项，结合题设 收敛，可知 D 中 必然收敛，因为它是两个收敛级数 和 逐项相加所得，关于其余三个选项，可逐一举出反例予以排除关于 A，令 不难验证 是收敛的交错级数，而 是发散级数；关于 B，令 同样有 为收敛的交错级数，而是发散级数；关于 C，令 则 是收敛的交错级数，而 ，当 n时，而级数 发散，因此 发散综上，选D一般通过举反例来排除错误选项时，
14、常以 P 级数 级数 (当 P1时，绝对收敛；0 (当 P1 时，收敛；P1 时，发散)作为反例，其中 P 的取值根据具体情况而定【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 C【试题解析】 因为a n单调减少 所以 an 0(n=1，2，) ，由交错级数的莱布尼兹法则， 收敛，因为 无界，所以级数 发散，则的收敛域为一 1，1)，故原级数的收敛域为0，2)故选 C【知识模块】 无穷级数7 【正确答案】 C【试题解析】 由题设，所给 S(x)为余弦级数，周期为 2，将 f(x)作偶延拓，并由傅里叶级数收敛定理，知所求和函数值为选 C。题干中只给出在0，1上的表达式，待求的是 时的傅里叶级数和，应想到
15、利用 S(x)的奇偶性和周期性【知识模块】 无穷级数8 【正确答案】 D【试题解析】 先由题意，建立 y(x)所满足的一阶微分方程由题设及导数的定义，有 这是可分离变量的方程，分离变量为两边积分，得lny=arctanx+C，其中 C 为任意常数将 y(0)= 代入上式，可求出 C=ln，因此 lny=uretanx+ln 将 x=1 代入，可求出选 D本题的关键是要得到微分方程 得到该微分方程有两种方法：由微分与增量的关系可知 应是 dy，从而可知x 的系数应是 y，即由 两边除以 x 后，令,x0 取极限亦可得【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 D【试题解析】 由微分方程的通解可知，
16、所求微分方程的特征根为 1=1， 2.3=2i，从而特征方程为(1)(+2i)( 一 2i)=(1)(2+4)=2 一 2+4 一 4=0 故所求微分方程为 y一 y+4y一 4y=0，故应选 D 本题考查的是线性常系数齐次微分方程解的结构，线性无关的解与其特征值的关系对于三阶或三阶以上的常系数线性微分方程，应该也要掌握其特征方程与对应解之间的关系【知识模块】 常微分方程二、填空题10 【正确答案】 当 x=0 时，x+2=2 ；当 x=一 4 时， x+2=一 2故由题意可知，幂级数 的收敛域为(一 2，2故当一 2 收敛，即幂级数 3)n 的收敛域为(1，5 【试题解析】 收敛域则应考虑端
17、点的敛散性【知识模块】 无穷级数11 【正确答案】 已知 收敛半径为 3，则 令 x 一 1=t，则幂级数 因此 收敛半径也为 3，所以一 3 nan(x1)n+1 的收敛区间为 (一 2，4)【试题解析】 注意收域区间的规定是指开区间，因而不需要考虑端点的敛散性；幂级数经过有限次的逐项求导或积分，不改变其收敛半径与收敛区间【知识模块】 无穷级数12 【正确答案】 本题考查欧拉一傅里叶系数公式 由题设，f(x)=x2，从而【试题解析】 求傅里叶系数应首先弄清该傅里叶级数的周期、奇偶性，然后套用相应的公式即可【知识模块】 无穷级数13 【正确答案】 由 y+y=e-xcosx 得 因为 y(0)
18、=0，所以 C=0，于是 y=e-xsinx【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 将微分方程 zy+y=0 积分得 lny=一 lnx+C，利用题设条件得 又因为 y(1)=1，所以 解析二仔细观察会发现原微分方程可写成(xy)=0，则有 xy=C又 y(1)=1，则得 C=1故而得【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 是可变量分离的一阶方程，分离变量得积分得 lny=1nxx+C 1 即y=e C1xe -x 所以，此微分方程的通解是 y=Cxe-x，C 为 常数【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 将原方程变形为 积分有因为 所以 C=0，得【知识模块】 常微分方程17
19、【正确答案】 由题设所给方程 yy+y12=0，令 y=u，则 代入原方程，有 =0，分离变量得 ，两边积分得 lnu=一 lny+C，即lnuy=C，uy=e C=C1 由初始条件 y x=0=1， 可求出 从而即 分离变量得： 两边积分得：y 2=x+C2由 y x=0=1 呵求出C2=1因此所求特解为：y 2=x+1【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 设 y=u，从而 y=u，原方程变为 zu+3u=0，分离变量为积分得 积分得 所得通解为 解析二所给方程可转化为欧拉方程 x2y+3xy=0令x=e，则方程化为常系数的线性方程 特征方程 r2+2r=0 的根为r1=0，r 2=一
20、 2，则得通解为)，=C 2+C1e-2t，即有【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 齐次方程 f(x)+f(x)一 2f(x)=0 的特征方程为 r2+r 一 2=0，得特征根为 r1=1，r 2=一 2，则有通解 f(x)=c1ex+c2e-2x，代入方程 f(x)+f(x)=2ex 得 2c1ex 一c2e-2x=2ex，则 c1=1，c 2=0因此 f(x)=ex【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 由通解 y=(C1+C2x)ex 的形式可知，二阶常系数线性齐次微分方程y+ay+by=0 的特征方程 r2+ar+b=0 有重根 r=1，则 a=一 2，b=1设微分方程为
21、y一 2y+y=x 的特解为 y=Ax+B，则一 2A+Ax+B=x，比较等式两边 x 的系数，即有A=1，一 2A+B=0，则 A=1，B=2 故特解为 y*=x+2，则非齐次方程 y+ay+6y=x 的通解为 y=(C1+C2x)ex+x+2 把 y(0)=2，y (0)=0 代入，得 C1=0，C 2=一 1故所求的解为 y=-xex+x+2【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 齐次线性微分方程 y一 4y+3y=0 的特征方程为 r2 一 4r+3=0，则可得其通解为 y=C1ex+C2e3x(因 r1,2=1，3)，非齐次方程 y一 4y+3y=2e2x 的一个特解为 y*=一
22、 2e2x，则此方程的通解为 y=C1/ex+C2e3x 一 2e2x(C1，C2R)【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 本题与以往对于微分方程的考查的角度不同，是要求从通解还原出方程本身，这就需要根据特征值与通解的关系，求出特征值，反推特征方程，从而还原出微分方程，由题设，可知对应的两个特征值为 1=1+i， 2=1i，从而有特征方程 2 一 2+2=0，因此齐次微分方程为 y一 2y+2y=0解析二不管所求微分方程是什么类型的(只要是二阶)，由通解)，=e x(C1sinx+C2cosx)求导得：y =ex(C2C2)sinx+(C1+C2)cosx，y =ex(一 2C2sinx
23、+2C1cosx)消去 C1，C 2 得 y一 2y+2y=0【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 先求齐次方程的特征根由题设，相应的特征方程为 2 一 4=0，则 1=2， 2=一 2，齐次方程通解为 y=C1e2x+C2e2x，假设非齐次方程特解为y*=Axe2x，代入原方程，有 ，因此 综上，所求通解为y=C1e2x+C2e-2x+【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 题设所给为二阶欧拉方程，令 x=et，则一并代回原方程得 此为二阶常系数线性齐次方程相应特征方程为 2+3+2=0，可解得特征根为 1=一 1， 2=一2，则通解为 y=C1e-t+C2e-2t，所以原方程通解
24、为【试题解析】 对于二阶欧拉方程 x2y+pxy+qy=f(x)(p，q 为常数)，可令x=et(t=lnx)得 代入原方程后可化为二阶常系线性微分方程f(e)【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 【正确答案】 由题设，引入辅助函数 f(x)=xn+nx 一 1 则关于原方程存在唯一正实根的讨论转化为讨论函数 f(x)的零点因为 f(0)=一 10，则由连续函数的零点定理知，f(x)在0,1 内存在零点，设其为 xn，即 xn(0，1)，且 f(xn)=0；又，f (x)=nxn1 +n，当 x0 时 f(x)0，所以 f(x)在0，+) 上严格单调递
25、增，从而 xn 是 f(x)在(0， +)上唯一零点，即原方程 xn+nx 一 1=0 在(0，+)上存在唯一正实根xnn由 xn+nxn 一 1=0 及 xn(0，1)知 所以当 1 时，由正项级数 收敛及比较判别法知， 收敛(1)【知识模块】 无穷级数26 【正确答案】 (1)由题设 先求出级数通项从而显然级数的部分和因此 (2)为证明级数 收敛，需要对 an 作出估计，由已知，令 tanx=y，则 因此已知 0，从而 收敛，由比较判别法知，级数收敛【知识模块】 无穷级数27 【正确答案】 由题设，正项数列a n单减且有下界，由此知数列a n收敛，并记且有 a0而由已知 发散。结合莱布尼兹
26、交错级数判别准则可知 a0，否则 必收敛，因此 a0，既然 an 单调减少且极限为 a0，则有而几何级数 的公比必然收敛，因此由比较判别法知 收敛解析二同分析一，先证得极限 存在，且 a0又 所以由正项级数的根式判别法.因此由比较判别法知 收敛【知识模块】 无穷级数【知识模块】 无穷级数28 【正确答案】 证明数列极限存在，通常是利用单调有界准则由题设即 an+1an，数列单调递减，且有下界，则a n必收敛设 在式 an+1= 两边取极限，得 解得 a=1，因此【知识模块】 无穷级数29 【正确答案】 关于级数 记其通项为 bn，即 由(1)中知 bn0将 代入有由比值值判别法知 收敛解析二本
27、题还可由以下方法证得结果，由(1)中已知，a n1 且 an+1n，则即 0bnan 一 an+1，级数部分和由(1)知 所以 存在，因此收敛证毕【知识模块】 无穷级数30 【正确答案】 先求收敛半径 R，令令 x2 由于，级数 足发散的，因此 发散即得幂级数 的收敛域为(一 1，1)下面求和函数，令令则 其中得和函数【知识模块】 无穷级数31 【正确答案】 由题设，先求幂级数的收敛半径因为所以收敛半径R=3，则收敛区间为 (一 3，3)当 x=3 时，幂级数通项为而级数 发散，因此原幂级数在 x=3 处发散当 x=一 3 时，上述级数是变量级数，可采用分解法讨论它的敛散性 由收敛知， 收敛又
28、 收敛知， 收敛，即 x=一 3 时原幂级数收敛，从而得其收敛域为一 3，3) 【试题解析】 级数 虽然是交错级数，但不满足莱布尼兹判别法的条件，因此不能莱布尼兹判别法判断其敛散性此外，由于该级数是变号级数，因而下述论证方法是错误的： 因收敛，故 收敛【知识模块】 无穷级数32 【正确答案】 设幂级数 的第 n 项为 un，则 un= 令则当一 1为交错级数，由莱布尼兹判别法知，该级数收敛，故题设中所给级数的收敛域为一 1，1设幂级数的和函数为令 则 S(x)=xS1(x)，S1(0)=0且有 故而所以 S(x)=xS1(x)=xarctanx，即幂级数的和函数为 xarctanx【知识模块】
29、 无穷级数【知识模块】 无穷级数33 【正确答案】 ，则代入方程 y一 2xy一 4y=0 得 则有(n+2)(n+1)a n+22nan 一 4an=0，整理得：【知识模块】 无穷级数34 【正确答案】 y(0)=0a 0=0；y (0)=1a 1=1由(I)知：an+2= a 2n=a2=a0=0 故【试题解析】 在讨论第二部分的问题时应注意利用第一部分得到的结论，最后和函数的确定利用了指数函数的幂级数展开式，如不熟悉，可用通用的求和函数方法求解【知识模块】 无穷级数35 【正确答案】 根据题意。令 t=x2，不妨考察 。有因为 所以 所以 的收敛半径为 1，原幂级数收敛半径为 1，收敛区
30、间为(一 1，1)再求和函数 f(x)把所给级数分成两部分，其中再设有 因为f2(0)=0，f(0)=0 所以 f(x)=f1(x)+f2(x)=【试题解析】 幂级数求和应尽量将其化为形如 或 的幂级数，再通过逐项积分或逐项求导的方法求出其和函数【知识模块】 无穷级数36 【正确答案】 (1)由题设，结合幂级数可以逐项求导的性质，先求 y(x)和 y(x)，即由 于是因此 y(x)是微分方程y+y+y=ex 的解(2)通过求(1) 中微分方程来得到 y(x)，该微分方程相应的齐次方程的特征方程为 2+1=0，从而特征根为 因此原方程相应的齐次线性方程的通解为 设原方程特解为y*=Aex。则代入
31、原方程有，3Ae x=ex，即 综上，原方程通解为由题设(1)可知 y(0)=1，y (0)=0，可解出C 2=0，所以幂级数 的和函数为【知识模块】 无穷级数37 【正确答案】 曲线 y=xn 与 y=xn+1 在点 x=0 和 x=1 处相交，则有因为令 x=1，则有由上式得【知识模块】 无穷级数38 【正确答案】 用分解法转化为求 的展开式由 (已知)，将f(x)分解部分分式并展成 x 的幂级数：所以【知识模块】 无穷级数39 【正确答案】 由于幂级数可逐项求导(积分)，结合题设所给函数 f(x)的形式，可知应先将 f(x)求导以后作幂级数展开，再逐项积分，即从而 因此 由于级数 收敛，
32、函数 f(x)在处连续，所以 令 则因此【试题解析】 幂级数经过有限次的逐项求导、积分不改变其收敛半径及收敛区间，但在收敛区间的端点处的敛散性可能会改变如幂级数 n4nx2n 的收敛域为但逐项积分后所得幂级数 的收敛域为 其实它在处也收敛，但函数 处没有定义【知识模块】 无穷级数40 【正确答案】 分析题设所给 f(x)的结构，可知将 arctanx 展成幂级数即可，则从而 f(x)的幂级数展开式为 令 x=1，则因此【试题解析】 注意函数 已经是 x 的幂函数形式，因而求解时只需关注函数 arctanx 的展开式另外，求级数的和是幂级数展开式的一个基本应用，求出对应的函数，赋值后即可得到级数
33、的和【知识模块】 无穷级数41 【正确答案】 令 F(x)=1 一 x2(x一 ，)，则 F(x)=f(x)(x0，) 由于在 一，上 F(x)=1 一 x2 是偶函数，故 bn=0(n=1，2， )当 n=0 时，当 n=1，2，时，因而有当 x=0 时，有【知识模块】 无穷级数42 【正确答案】 先求奇次线性微分方程 y一 3y+2y=0 的通解，其特征方程为 r23r+2=0，对应的特征解为 r1=1，r 2=2，故而方程 y一 3y+2y=0 的通解为y=C1ex+C2e2x设非奇次线性方程的特解为 y*=(ax2+bx)ex，将其带入方程中可得 a=一 1，b= 一 2，则特解 y*
34、=(一 x2 一 2x)ex=一 x(x+2)ex故所求非奇次线性微分方程的通解为 y=y1+=y*=C1ex+C2e2x 一 x(x+2)ex，其中 C1，C 2 为任意两个常数【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程43 【正确答案】 由题设，x=c(y)与 y=y(x)互为反函数且 y0，则 即此式两边对 x 求导，得 代入原微分方程，得 y一 y=sinx(1)此即变换后的微分方程【知识模块】 常微分方程44 【正确答案】 方程(1)其相应齐次方程 y一 y=0 的特征方程为 2 一 1=0，即1=1， 2=一 1，从而通解为 y=C1ex+C2e-x，又设方程(1)特解为 y
35、*=Acosx+Bsinx 代入方程(1)可求得 A=0， 因此 y*= 综上 y一 y=sinx 的通解为由初始条件 y(0)=0, 可求出 C1=1，C 2=一1因此所求初值问题的解为【知识模块】 常微分方程45 【正确答案】 由题设，设飞机质量为 m=9000(kg)，着陆时的水平速度为v0=700(kmh)，并设从着陆点开始时的 t 时刻，飞机滑行距离为 x(t)，速度为 v(t)，则 由牛顿第二定律知关于(1)，由 则即 dx= 积分上式得由初始条件，当 t=0 时，x(0)=0，v(0)=v 0，知 所以令 v=0，可解得 即飞机滑行的最长距离为105km关于(2)，即 分离变量得
36、 积分上式得 同样由初始条件 v(0)=v0 可解出 C2=v0，所以 从而即得到同样结果【试题解析】 方程(1)实际上是一个二阶常系数线性齐次微分方程，即mx+kx=0，相应特征方程为 可解得特征根为 1=0， 2= 则通解为 由初始条件 x(0)=0，v(0)=v 0，得 C3=一 C4= 所以当 t+时, 同样可得出飞机滑行的最长距离为105km【知识模块】 常微分方程46 【正确答案】 根据题设，建立相应的微分方程并求解由已知，在曲线 y=y(x)上点(x ，y) 处的切线方程为 Y 一 y=y(x)(X 一 x)，与 x 轴交点为 因为y(0)=1 且 y(x)0，则由函数导数符号与
37、其单调性之间的关系知当 x0 时，y(x)0又由题设，有 而已知 2S1 一 S2=1，则(1);(1)式对 x 求导，并化简得 yy=(y)2(2)又由(1) 式知 y(0)=1，从而曲线 y(x)满足方程 (2)及初始条件 y(0)=y(0)=1，令 P=y，则微分方程(2)化为分离变量得 从而 p=C1y，即 再分离变量得 积分得 V=eC1+C2 将 y(0)=y(0)=1，代入，可解得 C1=1，C 2=0，因此 y(x)=ex【试题解析】 本题综合考查了曲线的切线、曲边梯形的面积、变上限函数求导、二阶可降阶微分方程的解法等知识点，有一定的难度和计算量【知识模块】 常微分方程47 【正确答案】 本题考查根据牛顿第二定律建立微分方程并求特解，先取海平面为坐标原点，Oy 轴竖直向下，下沉深度为)，仪器重力 mg(g 为重力加速度)，浮力一 gB，阻力为一 kv=一 k ，根据牛顿第二定律 F=ma，有(1)因为 代入(1)式中，有分离变量，得 积分上式，得其中 C 为任意常数，由初始条件v y=0=0，可求出 综上，y 与 v 的函数关系为【知识模块】 常微分方程48 【正确答案】 依题意建立描述该问题的数学模型一阶常微分方程和初始条件， 该方程可分离变量为 两边积分，得 其中C 为积分常数将初始条件 x x=0=代入，得出 所以【知识模块】 常微分方程
