1、考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 y1(x)，y 2(x)，y 3(x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(6 2)的解，C1，C 2 为任意常数，则该非齐次方程的通解是（A）C 1y1+C2y2+y3 （B） C1y1+C2y2-(C1+C2)y3（C） C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3 （D）C 1y1+C2y2+(1-C1-C2)y32 已知 sin2x，cos 2x 是方程 y+P(x)y+Q(x)y=0 的解，C 1，C 2 为任意常数，则该方程的通解不是（A）C 1sin2
2、x+C2cos2x（B） C1+C2cos2x（C） C1sin22x+C2tan2x（D）C 1+C2cos2x二、填空题3 微分方程 =0 当 y0 时的通解是 y=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 求微分方程 x(y2-1)dx+y(x2-1)dy=0 的通解5 求微分方程(x-4)y 4dx-x3(y2-3)dy=0 的通解6 求微分方程 的通解7 求微分方程 ydx+(xy+x-ey)dy=0 的通解8 设 f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+ f(s)sinsds，求 f(t)9 设 f(x)连续且 f(x)0，并满足 f(x)= ，求 f(x)10 求
3、下列微分方程的通解：()y-3y=2-6x； ()y+y=2cosx；()y+4y+5y=40cos3x11 求微分方程 y+2y-3y=ex+x 的通解12 设某商品的需求量 D 和供给量 S 各自对价格 P 的函数为 D(P)= ，S(P)=bP ，且 P 是时间 t 的函数，并满足方程 =kD(P)-S(P)，其中 a，b，k 为正的常数求：()需求量与供给量相等时的均衡价格 Pe； ()当 t=0，P=1 时的价格函数 P(t)； ()13 设( )函数 f(x)在0 ，+)上连续，且满足 f(0)=0 及 0f(x)ex-1； () 平行于 y轴的动直线 MN 与曲线 y=f(x)和
4、 y=ex-1 分别交于点 P2 和 P1； ()由曲线 y=f(x)与直线 MN 及 x 轴围成的平面图形的面积 S 恒等于线段 P1P2 之长 求函数 f(x)的表达式 14 求 yt=tet+2t2-1 的一阶差分15 求差分方程 yt+1+7yt=16 满足 y0=5 的特解16 求下列微分方程的通解或特解：17 求微分方程 的特解18 求下列微分方程的通解：() ()xy+2y=sinx；()ydx-2(x+y 4)dy=0； ()y+xsin2y=x 3cos2y19 给出满足下列条件的微分方程：(I)方程有通解 y=(C1+C2x+x-1)e-x；()方程为二阶常系数非齐次线性方
5、程，并有两个特解20 求下列二阶常系数齐次线性微分方程的通解：()2y+y-y=0； ( )y+8y+16y=0； ()y-2y+3y=021 求 y-7y+12y=x 满足初始条件 y(0)= 的特解.22 求 y+a2y=8cosbx 的通解，其中 a0，b0 为常数.23 求 y+4y+4y=eax 的通解，其中 a 为常数.24 求 y+y=x3-x+2 的通解25 求微分方程 y+4y+5y=8cosx 的当 x-时为有界函数的特解26 设 f(x)=sinx+ ，其中 f(x)连续，求满足条件的 f(x)27 设当 x0 时 f(x)有一阶连续导数，且满足求 f(x)考研数学三（常
6、微分方程与差分方程）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对于选项(D)来说，其表达式可改写为 y3+C1(y1-y3)+C2(y2-y3)， 而且y3 是非齐次方程(62) 的一个特解，y 1-y3 与 y2-y3 是(64)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(62)的通解故应选(D) 【知识模块】 常微分方程与差分方程2 【正确答案】 C【试题解析】 容易验证 sin2x 与 cos2x 是线性无关的两个函数，从而依题设sin2x，cos 2x 为该方程的两个线性无关的解，故 C1sin2x+C2c
7、os2x 为方程的通解而(B)，(D)中的解析式均可由 C1sin2x+C2cos2x 恒等变换得到，因此，由排除法，仅C1sin22x+C2tan2x 不能构成该方程的通解事实上，sin 22x，tan 2x 都未必是方程的解，故选(C) 【知识模块】 常微分方程与差分方程二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 将原方程改写成 ，然后令 y=ux，则 y=u+xu代入后将会发现该变形计算量较大于是可转换思维方式，将原方程改写成分离变量，然后积分得【知识模块】 常微分方程与差分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 【正确答案】 用(x 2-1)(y2-1)除方程的两端，则
8、原方程化为 由此可见这是一个变量可分离的方程两边同时积分，可求得其通解为 ln y 2-1=-lnx 2-1+lnc，即(x 2-1)(y2-1)=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程5 【正确答案】 这是一个变量可分离型方程，当 xy0 时，原方程等价于这就是原方程的通解【知识模块】 常微分方程与差分方程6 【正确答案】 因为 则原方程可化为这是一个一阶线性微分方程，解得所以原微分方程的通解为【知识模块】 常微分方程与差分方程7 【正确答案】 将 y 看成自变量，z 看成是 y 的函数，则原方程是关于未知函数x=x(y)的一阶线性微分方程，化为标准形式得 此方程的通解为
9、其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程8 【正确答案】 因 f(t)连续，故 f(s)sinsds 可导，从而 f(t)可导于是，将题设等式两边求导可得这是一阶线性微分方程的初值问题将方程两边同乘 =e-sintdt=ecost 可得 e costf(t)=-4sintcostecost积分得 e costf(t)=4costd(ecost)=4(cost-1)ecost+C由 f(0)=1I 得 C=e因此所求函数 f(t)=e1-cost+4(cost-1)【知识模块】 常微分方程与差分方程9 【正确答案】 令 ，上式两边求导得 f(x)=f(x)，解得 f(x)=Cex由
10、题设令 x=0 可得 f(0)=2a，所以 C=2a，从而 f(x)=2aex再代入【知识模块】 常微分方程与差分方程10 【正确答案】 () 先求对应齐次微分方程的通解，因其特征方程为 2-3=(-3)=0，故通解为 y(x)=C 1+C2e3x 再求非齐次微分方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且 0 是特征方程的单根，所以特解应具形式 y*(x)=x(Ax+B)，代入原方程，得y *(x)-3y*(x)=2A-3(2Ax+B)=-6Ax+2A-3B=2-6x比较方程两端的系数，得 解得 A=1，B=0，即特解为 y*(x)=x2从而，原方程的通解为 y(x)=x2+C1+C2e3x，
11、其中 C1，C 2 为任意常数 ()由于对应齐次微分方程的特征方程为2+1=0，特征根为i ，所以其通解应为 C1cosx+C2sinx；从而 y+y=2cosx 的特解应具形式：y *(x)=Axcosx+Bxsinx代人原方程，可求得 A=0，B=1，即 y*(x)=xsinx故原方程的通解为 y(x)=C 1cosx+C2sinx+xsinx，其中 C1，C 2 为任意常数 ()由于对应齐次微分方程的特征方程为 2+4+5=0，特征根为-2i，所以其通解应为 e-2x(C1cosx+C2sinx)又因 3i 不是特征根，所以方程 y+4y+5y=40cos3x 的特解应具有形式 y*(*
12、)=Acos3x+Bsin3x代入原方程可得 A=-1，B=3这样就得到原方程的通解为 y(x)=e-2x(C1cosx+C2sinx)+3sin3x-cos3x，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程11 【正确答案】 相应的齐次方程为 y+2y-3y=0，特征方程为 2+2-3=0，特征根为 1=1， 2=-3，齐次方程的通解为 C1ex+C2e-3x 为求得原方程的特解，分别考虑下列两个非齐次微分方程的特解： y+2y-3y=e x 和 y+2y-3y=x 对于第一个方程，=1 是特征根，故设特解 y*1(x)=Axex，将 y* 1(x)=Aex(x+1)，
13、y* 1(x)=Aex(x+2)代入原方程，比较系数可得 A= 对于第二个方程，非齐次项 f(x)=x，0 不是特征根，故设特解 y*2(x)=Bx+C，将 y* 2(x)=B， y* 2=0 代入原方程，比较系数可得 B= 利用解的叠加原理即得微分方程的通解为 ，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程12 【正确答案】 () 令 D(P)=S(P)，即 ()把D(P)和 S(P)的表达式代入方程，得令 t=0， P=1，可确定常数 C=a-b， 将其代回并解出 P，于是() ，这表明当 t+时 P(t)将趋向于均衡价格 Pe【试题解析】 在方程中代入 D(P)和 S
14、(P)即得 这是变量可分离的方程求 t=0，P=1 时的价格函数 P(t)就是求这个方程满足初始条件 P t=0=1 的特解【知识模块】 常微分方程与差分方程13 【正确答案】 如图 61，设动直线 MN 上各点的横坐标为 x，由题设知于是，函数 f(x)满足方程 =ex-1-f(x)由 f(x)及 ex 连续知变上限定积分 可导，从而 f(x)可导将上述方程两端对 x 求导，得 f(x)=e x-f(x)，又因 f(0)=0，于是 f(x)是一阶线性方程 y+y=ex 满足初始条件 y(0)=0 的特解解之即得【知识模块】 常微分方程与差分方程14 【正确答案】 根据差分的性质有 y t=(
15、tet)+2(t2)-(1)=tA(et)+et+1(t)+2(2t+1) =ett(e-1)+e+4t+2 也可以直接计算差 yt+1-yt【知识模块】 常微分方程与差分方程15 【正确答案】 由于 f(t)=16，a=7 ，利用表中给出的特解形式，应设 y*t=B代入方程可得 B=2，于是，方程的通解为 yt=2+C(-7)t再由初始条件 y0=5，即得 2+C=5，C=3，因此满足条件 y0=5 的特解为 yt=2+3.(-7)t【知识模块】 常微分方程与差分方程16 【正确答案】 () 属变量可分离的方程，它可以改写为 =sin(lnx)+cos(lnx)+adx 两端求积分，由于si
16、n(lnx)x=xsin(lnx)-xcos(lnx) =xsin(lnx)-cos(lnx)dx，所以lny=xsin(lnx)+ax+lnC，即其通解为 y=Cexsin(lnx)+ax，其中 C 是任意常数()属齐次微分方程令 y=xu，当 x0 时，原方程可化为两端求积分，则得 arcsinu=lnx+C，即其通解为 arcsin =lnx+C当 x0 时，上面的方程变为=-lnx+C 所得的通解公式也可以统一为y=x sin(lnx+C) 此处还需注意，在上面作除法的过程中丢掉了两个特解u=1，即 y=x() 属齐次微分方程，它可改写为()由初始条件 y(1)=0 知可在 x0 上求
17、解，即解方程 分离变量并求积分，可得为其通解再利用初始条件可确定 C=1，于是所求特解为 12y+y 3=3x(lnx-1)+3【知识模块】 常微分方程与差分方程17 【正确答案】 方程变形为 ，令 y2=z，得 再令 z=ux，有 代入方程得【知识模块】 常微分方程与差分方程18 【正确答案】 () 这是一个典型的一阶线性非齐次微分方程，利用求解公式，可得其通解为 ()本题虽然是一阶线性微分方程，但不是用标准形式给出的为采用积分因子法求解，可先把它化为标准形式，以便得到系数 p(x)求解过程如下：首先把方程化为标准形式，用 x2 同乘标准形式方程的两端，得(x 2y)=xsinx，积分可得通
18、解()若将方程改写为 ，则此方程不是线性方程但是，若将方程改写为则此方程为以 y 为自变量，x 为未知函数的一阶线性方程利用求解公式可得即方程的通解为 x=y4+Cy2，其中 C 为任意常数 ()将题设方程变形为线性微分方程的标准形式，可得 这是以 z 为未知函数的一阶线性微分方程，利用求解公式可得【知识模块】 常微分方程与差分方程19 【正确答案】 () 通解变形为 exy=C1+C2x+x-1，求导得 e x(y+y)=C2-x-2，再求导得方程 ex(y+2y+y)= ()由题设，根据方程解的结构知，方程的通解为 y=C1cos2x+C2sin2x- 从而知原方程的特征方程有两个共轭复根
19、2i，且 xsin2x 为其特解进而知原方程为 y+4y=f(x)为确定 f(x)，将代入得 因此，所求方程为 y+4y=-cos2x【试题解析】 由已知解求原方程，首先要从解的结构确定所求方程的基本类型和特征从本题题设观察，所求方程均为二阶常系数线性微分方程在此基础上，或者直接对通解二次求导消去两个任意常数，从而得到方程；或者利用解的结构和性质与方程解的关系推导出方程【知识模块】 常微分方程与差分方程20 【正确答案】 () 特征方程为 22+-1=0，特征根为 1=-1， 2= ，所以方程的通解为 其中 C1 与 C2 是两个任意常数()特征方程为2+8+16=0，特征根为 1=2=-4，
20、所以方程的通解为 y=(C 1+C2x)e-4x，其中 C1 与C2 是两个任意常数()特征方程为 2-2+3=0，特征根为 ，所以方程的通解为 其中 C1 与 C2 是两个任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程21 【正确答案】 对应齐次微分方程的特征方程为 2-7+12=0，它有两个互异的实根 1=3 与 2=4，所以其通解为 y(x)=C1e3x+C2e4x，其中 C1 与 C2 是两个任意常数由于 0 不是特征根，所以非齐次微分方程的特解应具有形式 y*(x)=Ax+B代人方程可得 A=【知识模块】 常微分方程与差分方程22 【正确答案】 由于对应齐次微分方程的特征根为ai，所以其
21、通解为 y(x)=C1cosx+C2sinax求原非齐次微分方程的特解，需分两种情况讨论： 当 ab 时，特解的形式应为 Acosbx+Bsinbx，将其代入原方程可得 所以通解为 y(x)= +C1cosax+C2sinax，其中 C1 与 C2 是两个任意常数当a=b 时，特解的形式应为 Axcosax+Bxsinax，代入原方程可得 所以原方程的通解为 y(x)= +C1cosax+C2sinax，其中 C1 与 C2 是两个任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程23 【正确答案】 特征方程是 2+4+4=0，它有相等二实根 1=2=-2，所以其对应齐次微分方程的通解为 y(x)=(
22、C1+C2x)e-2x非齐次微分方程的特解的形式与口是不是特征根有关 若 a-2，则应设特解为 y*(x)=Aeax，其中 A 是待定系数代入方程可得 所以，当 a-2 时通解为 y(x)=(C1+C2x)e-2x+ ，其中 C1 与 C2 是两个任意常数若 a=-2，由于它是重特征根，则应设特解为 y*=Ax2e-2x，其中 A 是待定系数代入方程可得 A(2-8x+4x2)+4(2x-2x2)+4x2e-2x=e-2x，即 2Ae -2x=e-2x于是可得出 A=【知识模块】 常微分方程与差分方程24 【正确答案】 方程的自由项是三次多项式 f(x)=x3-x+2，方程的特征根满足2+1=
23、0，从而是共轭复根 1=i 和 2=-i所以，对应齐次微分方程的通解是 y(x)=C1cosx+C2sinx，而非齐次微分方程的特解可取为 y*(x)=Ax3+Bx2+Cx+D，代入方程可得待定常数 A，B，C，D 应满足 Ax 3+Bx2+(6A+C)x+2B+D=x3-x+2， 由此可确定 A=1，B=0，C=-7，D=2所以原方程的通解为 y(x)=C1cosx+C2sinx+x3-7x+2，其中 C1 与 C2 是两个任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程25 【正确答案】 题设方程对应的特征方程为 r 2+4r+5=0， 特征根为 r=-2i， 从而对应齐次方程 y+4y+5y=
24、0 的通解为 y(x)=e -2x(C1cosx+C2sinx) 由非齐次项 8cosx知i 不是特征根，故可设原方程的一个特解为 y*=Acosx+Bsinx将 y*代入原方程比较系数得 A=B=1，因此 y*=cosx+sinx于是，原方程的通解为 y=e -2x(C1cosx+C2sinx)+cosx+sinx 当 x- 时，e -2x+，所以要使 y 有界，只有C1=C2=0故所求的特解为 y=cosx+sinx【知识模块】 常微分方程与差分方程26 【正确答案】 设 u=x-t，则 ，故原方程整理后为两边对 x 求导，得 e-xf(x)-e-xf(x)=e-xcosx-e-xsinx+e-xf(x) 化简得一阶线性微分方程 f(x)-2f(x)=cosc-sinx (*) 由一阶线性微分方程的通解公式知方程(*)的通解为 f(x)=Ce 2x+e2xe-2x(cosx-sinx)dx 分部积分两次可得 e -2x(cosx-sinx)dx= (3sinx-cosx)+C1，其中 C1 是任意常数故原微分方程的通解为【知识模块】 常微分方程与差分方程27 【正确答案】 在原方程中，令 x=0，得 f(0)=-1将原方程化为上式两边对 x 求导得【知识模块】 常微分方程与差分方程
