1、考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x2 一 1)dy=0 满足初始条件 Y(0)=1 的解，则为( ) （A）一 ln3（B） ln3（C）（D）2 微分方程 y“一 y一 6y=(x+1)e-2x 的特解形式为( )（A）(ax+b)e -2x（B） ax2e-2x（C） (ax2+bx)e-2x（D）x 2(ax+b)e-2x3 微分方程 y“一 4y=x+2 的通解为( ) 二、填空题4 的通解为_5 微分方程 xy一 yln(xy)一 1=0 的通解为
2、_6 微分方程 y2dx+(x2 一 xy)dy=0 的通解为_7 设连续函数 f(x)满足 则 f(x)=_8 微分方程(2x+3)y“=4y的通解为_9 yy“=1+y2满足初始条件 y(0)=1，y(0)=0 的解为_ 10 微分方程 y“+4y=4x 一 8 的通解为_ 11 设 y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线 y=2x+1，又 y=y(x)满足微分方程y“一 6y+9y=e3x，则 y(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 求微分方程 的通解13 求微分方程 满足初始条件 y(e)=2e 的特解14 求微分方程 x2y+xy=y2 满足初始条件
3、 y(1)=1 的特解15 求微分方程 的通解16 求微分方程 的通解17 设 y=ex 为微分方程 xy+P(x)y=x 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)=0 的特解18 (1)设 其中 f(x)二阶可导，求 f(x) (2)设 f(x)在(一 1， +)内连续，且 求 f(x)19 求微分方程 xy“+3y=0 的通解20 设 f(x)二阶可导，且 求 f(x)21 求微分方程 y“+2x(y)2=0 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=1 的特解22 求微分方程 yy“=y2满足初始条件 y(0)=y(0)=1 的特解考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 14 答案与
4、解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 2xydx+(x2 一 1)dy=0 得 积分得 ln(x 2 一 1)+lny=lnC，从而 由 y(0)=1 得 C=一 1，于是 故选(D)【知识模块】 常微分方程与差分方程2 【正确答案】 C【试题解析】 因为原方程的特征方程的特征值为 1=一 2， 2=3，而一 2 为其中一个特征值，所以 原方程的特解形式为 x(ax+b)e-2x，选 (C)【知识模块】 常微分方程与差分方程3 【正确答案】 D【试题解析】 微分方程 y“一 4y=0 的特征方程为 2 一 4=0，特征值为一 2
5、，2，则方程 y“一 4y=0 的通解为 C1e-2x+C2e2x，显然方程 y“一 4y=x+2 有特解选 D.【知识模块】 常微分方程与差分方程二、填空题4 【正确答案】 由 得 则 【知识模块】 常微分方程与差分方程5 【正确答案】 令 xy=u，y+xy= 代入原方程得 分离变量得积分得 lnlnu=lnx+lnC，即 lnu=Cx，原方程的通解为 ln(xy)=Cx【知识模块】 常微分方程与差分方程6 【正确答案】 令 则 代入原方程得 两边积分得 u一 lnulnxlnC=0，解得【知识模块】 常微分方程与差分方程7 【正确答案】 则 可化为 两边求导数得 f(x)一 2f(x)=
6、ex，解得 因为 f(0)=1，所以 f(0)=C 一 1=1，C=2，于是 f(x)=2e2x 一 ex【知识模块】 常微分方程与差分方程8 【正确答案】 令 y=p，则 两边积分得 lnp=ln(2x+3) 2+lnC1，或y=C1(2x+3)2， 于是 y= C1x2+6C1x2+9C1x+C2【知识模块】 常微分方程与差分方程9 【正确答案】 令 y=p，则 即 解得 ln(1+p2)=lny2+lnC1， 则 1+p2=C1y2，由 y(0)=1， y(0)=0 得 由y(0)=1 得 C2=0，所以特解为【知识模块】 常微分方程与差分方程10 【正确答案】 微分方程两个特征值为 1
7、=一 2i， 2=2i， 则微分方程的通解为y=C1COS2x+C2sin2x+x 一 2【知识模块】 常微分方程与差分方程11 【正确答案】 由题意得 y(0)=0，y(0)=2 ， y“一 6y+9y=e3x 的特征方程为 2 一6+9=0，特征值为 1=2=3， 令 y“一 6y+9y=e3x 的特解为 y0(x)=ax2e3x，代入得故通解为 y=(C1+C2x)e3x+ x2e3x 由 y(0)=0，y(0)=2 得 C1=0，C 2=2，则 y(x)=2xe3x+ x2e3x【知识模块】 常微分方程与差分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 由
8、得 令u=siny，则 令 u-1=z，则 解得则【知识模块】 常微分方程与差分方程13 【正确答案】 方法一 由 得 令 得解得 u2=lnx2+C，由 y(e)=2e，得 C=2， 所求的通解为y2=x2lnx2+2x2 方法二 解得由初始条件得 C=2， 则原方程的通解为 y2=x2lnx2+2x2【知识模块】 常微分方程与差分方程14 【正确答案】 由 x2y+xy=y2 两边积分得 即 因为 y(1)=1，所以 C=一 1，再把代入 得原方程的特解为【知识模块】 常微分方程与差分方程15 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程与差分方程16 【正确答案】 令 x+y=u，则 于是有
9、变量分离得两边积分得 u 一 arctanu=x+C， 所以原方程的通解为 yarctan(x+y)=C【知识模块】 常微分方程与差分方程17 【正确答案】 把 y=ex 代入微分方程 xy+P(x)y=x，得 P(x)=xe-x 一 x，原方程化为 y(e -x 一 1)y=1，则 将 y(ln2)=0代入 y=Cex+e-x+ex+中得 故特解为【知识模块】 常微分方程与差分方程18 【正确答案】 (1)两边对 x 求导，得 两边再对 x 求导得 f(x)+f(x)=ex，其通解为 f(x) (2)由得 两边求导得 f(x)+(x+1)f(x)一xf(x)=1，整理得 解得 由 f(0)=
10、1 得 C=3，故【知识模块】 常微分方程与差分方程19 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程与差分方程20 【正确答案】 两边求导得两边再求导得 f(x)+f(x)=0，解得 f(x)=Ce-x， 因为 f(0)=1，所以C=1，故 f(x)=e-x【知识模块】 常微分方程与差分方程21 【正确答案】 令 y=p，则 代入方程得 解得 由y(0)=1 得 C1=1，于是 y=arctanx+C2， 再由 y(0)=1 得C2=1，所以 y=arctanx+1【知识模块】 常微分方程与差分方程22 【正确答案】 令 y=p，则 代入原方程得 当 p=0 时，y=1 为原方程的解； 当 p0 时，由 解得由 y(0)=y(0)=1 得 C1=1，于是 解得 由 y(0)=1 得 C2=1，所以原方程的特解为 y=ex【知识模块】 常微分方程与差分方程
