1、考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 1 及答案与解析一、填空题1 微分方程 dy/dx=y/x-1/2(y/x)3 满足 y 丨 x=1=1 的特解为 y=_.二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 设有微分方程 y-2y=(x)，其中 试求在(-，+) 内的连续函数y=y(x)，使之在 (-，1)和 (1，+)内都满足所给方程，且满足条件 y(0)=03 求微分方程 的通解.4 设函数 f(t)在0，+)上连续，且满足方程 f(t)=e4t2+ 求f(t)5 已知连续函数 f(x)满足条件 ，求 f(x)5 函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=1，且满足等式6 求
2、导数 f(x)；7 证明：当 x0 时，成立不等式 e-xf(x)18 设函数 f(x)具有连续的一阶导数，且满足 (x2-t2)f(t)dt+x2,求 f(x)的表达式8 在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M(1，0)，其上任意点 P(x1y)(x0)处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax(常数 a0)9 求 L 的方程：10 当 L 与直线 y=ax 所围成平面图形的面积为 8/3 时，确定 a 的值11 设曲线 y=f(x)，其中 f(x)是可导函数，且 f(x)0已知曲线 y=f(x)与直线y=0，x=1 及 x=t(t1)所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得的立体
3、体积值是该曲边梯形面积值的 t 倍，求该曲线的方程12 设 y=f(x)是第一象限内连接点 A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x，y)为该曲线上任意一点，点 C 为 M 在 x 轴上的投影，O 为坐标原点，若梯形 OCMA 的面积与曲边三角形 CBM 的面积之和为 x3/6+1/3,求 f(x)的表达式12 已知函数 f(x)满足方程 f“(x)+f(x)-2f(x)=0 及 f“(x)+f(x)=2ex13 求 f(x)的表达式；14 求曲线 y=f(x2)(-t2)dt 的拐点考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 1 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 【知识模块】 常
4、微分方程与差分方程二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 【正确答案】 当 x1 e2x-1由 y(0)=0，得 C1=1，所以 y=e2x-1 (x2x-1 在 x=1 连续，且 y(1)=e2-1把它作为初始条件在 x1 时求解 y-2y=(x)=0 可得特解 y=(1-e-2)e2x(xi)综合以上结果，得到了在(-，+)上连续的函数它就是分别在(-，1)和(1，+)内满足方程 y-2y=(x)，且满足条件 y(0)=0 的解【知识模块】 常微分方程与差分方程3 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程与差分方程4 【正确答案】 在上式中令t=0 得 f(0)=1，将上式两端
5、对 t 求导，得 f(t)-8tf(t)=8te4t2解上述关于 f(t)的一阶线性方程得 f(t)=(4t2+C)e4t2，其中常数 C 待定由 f(0)=1 可确定常数 C=1，因此f(t)=(4t2+1)e4t2【知识模块】 常微分方程与差分方程5 【正确答案】 首先，在变上限定积分中引入新变量 s=t/3，于是代入题设函数 f(x)所满足的关系式，得 f(x)= 在上式中令 x=0 得 f(0)=1，将上式两端对 x 求导数得 f(x)=3f(x)+2e2x，由此可见 f(x)是一阶线性方程 f(x)-3f(x)=2e2x 满足初始条件 f(0)=1 的特解用 e-3x 同乘方程两端，
6、得f(x)e -3x=2e-x，积分即得 f(x)=Ce3x-2e2x，由 f(0)=1 可确定常数 C=3，于是，所求的函数是 f(x)=3e3x-2e2x【知识模块】 常微分方程与差分方程【知识模块】 常微分方程与差分方程6 【正确答案】 首先对恒等式变形后两边求导以便消去积分：(x+1)f“(x)+(x+2)f(x)=0 在原方程中令变限x=0 得 f(0)+f(0)=0由 f(0)=1，得 f(0)=-1现降阶：令 u=f(x)，则有 u+(x+2)/(x+1)u=0，解此一阶线性方程得 f(x)=u=C e2-x/(x+1).由 f(0)=-1 得 C=-1.于是 f(x)=-e-x
7、/(x+1).【知识模块】 常微分方程与差分方程7 【正确答案】 从而有 e-xf(x)1.【知识模块】 常微分方程与差分方程8 【正确答案】 由 f(0)=0,可知 C=1，所以 f(x)=ex2(1-e-x2)=ex2-1.【知识模块】 常微分方程与差分方程【知识模块】 常微分方程与差分方程9 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程与差分方程10 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程与差分方程11 【正确答案】 由曲线 y=f(x)与直线 y=0，x=1 及 x=t(t1)所围成的曲边梯形的面积值是【知识模块】 常微分方程与差分方程12 【正确答案】 由题意得，有 f(0)=1，f(1)
8、：0，且 ，将上式两边对 x 求导数，得 1/21+f(x)+x/2f(x)-f(x)=x2/2当 02，积分可得 f(x)/x=x+1/x+C.于是，方程的通解为 f(x)=x2+1+Cx把f(1)=0 代入通解，可确定常数 C=-2，故所求函数 f(x)的表达式为 f(x)=x2+1-2x=(x-1)2，0x1【知识模块】 常微分方程与差分方程【知识模块】 常微分方程与差分方程13 【正确答案】 求曲线 y=f(x2) (-t2)dt 的拐点由 f(x)满足 f“(x)+f(x)-2f(x)=0,f“(x)+f(x)=2ex.f“(x)=2ex-f(x)，f(x)-3f(x)=-2e x，两边乘 e-3x 得e -3xf(x)=-2e-2x.积分得 e -3xf(x)=e-2x+C，即 f(x)=ex+Ce3x得 e x+9Ce3x+ex+Ce3x=2exC=0，于是 f(x)=ex求得 f(x)=ex【知识模块】 常微分方程与差分方程14 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程与差分方程
