1、考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知微分方程 y”+by+y=0 的每个解都在区间(0，+)上有界，则实数 b 的取值范围是( )（A）0 ，+) （B） (一，0（C） (一，4（D）(一， +)2 具有特解 y1=e-x，y 2=2xe-x，y 3=3ex 的三阶常系数齐次线性微分方程是( )（A）y“一 y”一 y+y=0（B） y“+y”一 y一 y=0（C） y“一 6y”+11y一 6y=0（D）y“一 2y“一 y+2y=03 设非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)有两个不同的解
2、 y1(x)，y 2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是( )（A）Cy 1(x)一 y2(x)（B） y1(x)+Cy1(x)一 y2(x)（C） Cy1(x)+y2(x)（D）y 1(x)+Cy1(x)+y2(x)4 设 是微分方程 的表达式为( )5 微分方程 xdy+2ydx=0 满足初始条件 y|x=2=1 的特解为 ( )（A）xy 2=4（B） xy=4（C） x2y=4（D）一 xy=46 已知 y1(x)和 y2(x)是方程 y+p(x)y=0 的两个不同的特解，则方程的通解为 ( )（A）y=Cy 1(x)（B） y=Cy2(x)（C） y=C1y1(x)+C2y2(x
3、)（D）y=C(y 1(x)一 y2(x)7 设线性无关的函数 y1，y 2，y 3 都是二阶非齐次线性方程 y”+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，C1，C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是( )（A）C 1y1+C2y2+y3（B） C1y1+C2y2 一(C 1+C2)y3（C） C1y1+C2y2 一(1 一 C1 一 C2)y3（D）C 1y1+C2y2+(1 一 C1C2)y38 已知，y 1=x，y 2=x2，y 3=ex 为方程 y”+p(x)y+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为( )（A）y=C 1x+C2x2+ex（B） y=C1x2+C2ex+x
4、（C） y=C1(x 一 x2)+C2(x 一 ex)+x（D）y=C 1(x 一 x2)+C2(x2 一 ex)9 在下列方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C 2，C 3 为任意常数)为通解的是( )（A）y“+y”一 4y一 4y=0（B） y“+y”+4y+4y=0（C） y“一 y”一 4y+4y=0（D）y“一 y”+4y一 4y=010 若 y=xex+x 是微分方程 y”一 2y+ay=bx+c 的解，则( )（A）a=1 ，b=1，c=1（B） a=1，b=1，c=一 2（C） a=一 3，b=一 3，c=0 （D）a= 一 3，b=1，c=111
5、 方程 y”一 3y+2y=ex+1+excos2x 的特解形式为( )（A）y=axe x+b+Aexcos2x（B） y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)（C） y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x)（D）y=axe x+b+ex(Acos2x+Bsin2x)二、填空题12 微分方程 y”一 2y+2y=ex 的通解为_13 二阶常系数非齐次线性方程 y”一 4y+3y=2e2x 的通解为 y=_14 微分方程 的特解是_15 微分方程 xy+y=0 满足初始条件 y(1)=2 的特解为 _16 已知 y1=e3x 一 xe2x，y 2=ex 一 xe2x，y
6、 3=一 xe2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程的通解为 y=_17 设 y=ex(asinx+bcosx)(a，b 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_18 微分方程 满足 y|x=1=1 的特解为_19 微分方程 的通解为 y=_20 微分方程 的通解是_21 方程 y=1+x+y2+xy2 的通解为_22 已知函数 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2 一 1=0 确定，则 y”(0)=_23 微分方程(y+x 3)dx 一 2xdy=0 满足 y|x=1 = 的特解为 _24 方程 xy+2y=sinx 满足条件 y|x= 的特解为
7、_ 25 微分方程 y”一 4y=e2x 的通解为 y=_26 微分方程 y+y=e-xcosx 满足条件 y(0)=0 的解为_ 27 方程 y”+2y+5y=0 的通解为_28 若函数 f(x)满足方程 f”(x)+f(x)一 2f(x)=0 及 f”(x)+f(x)=2ex，则 f(x)=_29 微分方程 xy+2y=xlnx 满足 y(1)= 的解为_30 微分方程 xy+y=0 满足条件 y(1)=1 的解是 y=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。31 设级数 的和函数为S(x)求： (1)S(x) 所满足的一阶微分方程； (2)S(x)的表达式32 设银行存款的年
8、利率为 r=005，并依年复利计算，某基金会希望通过存款 A万元，实现第一年提取 19 万元，第二年提取 28 万元，第 n 年提取(10+9n)万元，并能按此规律一直提取下去，问 A 至少应为多少万元 ?33 设函数 y=y(x)在( 一，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数(1)试将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)= 的解34 求微分方程 y”一 3y+2y=2xex 的通解35 利用代换 u=ycosx 将微分方程 y”cosx 一 2ysinx+3ycosx=e
9、x 化简，并求出原方程的通解考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 方程 y”+by+y=0 的特征方程为 r2+br+1=0，特征根为由以上解的形式可知，当 b0 时，每个解都在0，+)上有界，故选 A【知识模块】 常微分方程与差分方程2 【正确答案】 B【试题解析】 由 y1=e-x，y 2=2xe-x，y 3=3ex 是所求方程的三个特解知，r=一 1，一1，1 为所求三阶常系 数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(r1)(r+1)2=0，即 r3+r2 一 r
10、一 1=0，对应的微分方程为 y“+y”一 y一 y=0，故选 B【知识模块】 常微分方程与差分方程3 【正确答案】 B【试题解析】 由于 y1(x)一 y2(x)是对应齐次线性微分方程 y+P(x)y=0 的非零解，所以它的通解是 Y=Cy 1(x)一 y2(x)，故原方程的通解为 y=y 1(x)+Y=y1(x)+Cy1(x)一y2(x)， 故应选 B【知识模块】 常微分方程与差分方程4 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 常微分方程与差分方程5 【正确答案】 C【试题解析】 原微分方程分离变量得 ，两端积分得 ln|y|=一 2ln |x|+lnC，x 2y=c， 已知 y|x=
11、2=1，代入得 C=4，故所求特解为 x2y=4故选 C【知识模块】 常微分方程与差分方程6 【正确答案】 D【试题解析】 由于 y1(x)和 y2(x)是方程 y+p(x)y=0 的两个不同的特解，则 y1(x)一y2(x)为该方程的一个非零解，则 y=C(y1(x)一 y2(x)为该方程的通解故选 D【知识模块】 常微分方程与差分方程7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 y1，y 2，y 3 是二阶非齐次线性方程 y”+p(x)y+q(x)y=f(x)线性无关的解，所以(y 1 一 y 3)，(y 2 一 y3)都是齐次线性方程 y”+p(x)y+q(x)y=0 的解，且(y1 一 y3
12、)与(y 2 一 y3)线性无关，因此该齐次线性方程的通解为 y=C1(y1 一 y3)+C2(y2一 y3)比较四个备选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，故选 D【知识模块】 常微分方程与差分方程8 【正确答案】 C【试题解析】 方程 y”+p(x)y+q(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则 (x 一 x2)和(x 一 ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为 y=C1(x 一 x2)+C2(x 一 ex)+x，故选 C【知识模块】 常微分方程与差分方程9 【正确答案】 D【试题解析】 由通解 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x 的形式可知，所求方程
13、的特征方程为(r 一 1)(r 2+4)=0，即 r3 一 r2+4r 一 4=0，则对应的方程为 y“一 y”+4y一4y=0，故选 D【知识模块】 常微分方程与差分方程10 【正确答案】 B【试题解析】 由于 y=xex+x 是方程 y”一 2y+ay=bx+c 的解，则 xex 是对应的齐次方程的解，其特征方程有二重根 r1=r2=1，则 a=1； x 为非齐次方程的解，将 y=x代入方程 y”一 2y+y=bx+c，得 b=1，c=一 2，故选 B【知识模块】 常微分方程与差分方程11 【正确答案】 C【试题解析】 齐次方程 y”一 3y+2y=0 的特征方程为 r 2 一 3r+2=
14、0， 特征根为r1=1，r 2=2，则方程 y”一 3y+2y=ex+1+excos2x 的待定特解为 y=axex+b+exx(Acos2x+Bsin2x)， 故选 C【知识模块】 常微分方程与差分方程二、填空题12 【正确答案】 y=C 1excosx+C2exsinx+ex【试题解析】 对应的特征方程为 r 22r+2=0 解得其特征根为 r1,2=1i 由于 =1不是特征根，可设原方程的特解为 y*=Aex，代入原方程解得 A=1 因此所求的通解为 y=C 1excosx+C2exsinx+ex【知识模块】 常微分方程与差分方程13 【正确答案】 y=C 1ex+C2e3x 一 2e2
15、x【试题解析】 特征方程为 r2 一 4r+3=0，解得 r1=1，r 2=3 则对应齐次线性微分方程 y“一 4y+3y=0 的通解为 y=C1ex+C2e3x 设非齐次线性微分方程 y”一 4y+3y=2e2x 的特解为 y*=ke 2x， 代入非齐次方程可得 k=一 2 故通解为 y=C 1ex+C2e3x一 2e2x【知识模块】 常微分方程与差分方程14 【正确答案】 x=y 2+y【试题解析】 将 x 看作未知函数，则 上式为 x 对 y的一阶线性方程，又因 y=10，则 将 x=2，y=1 代入，得 C=1故 x=y2+y【知识模块】 常微分方程与差分方程15 【正确答案】 xy=
16、2【试题解析】 原方程可化为 (xy)=0，积分得 xy=C，代入初始条件得 C=2，故所求特解为 xy=2【知识模块】 常微分方程与差分方程16 【正确答案】 y=C 1e3x+C2ex 一 xe2x，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 显然 y1 一 y3=e3x 和 y2 一 y3=ex 是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解 且 y*=-xe2x 是非齐次微分方程的一个特解 由解的结构定理，该方程的通解为 y=C 1e3x+C2ex 一 xe2x，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程17 【正确答案】 y” 一 2y+2y=0【试题解析
17、】 由通解的形式可知，特征方程的两个根是 r1，r 2=1i，因此特征方程为 (r r1)(rr2)=r2 一(r 1+r2)r+r1r2=r2 一 2r+2=0 由此，所求微分方程为 y“-2y+2y=0【知识模块】 常微分方程与差分方程18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 常微分方程与差分方程19 【正确答案】 【试题解析】 二阶齐次微分方程的特征方程为【知识模块】 常微分方程与差分方程20 【正确答案】 y=Cxe -x(x0)【试题解析】 原方程等价为 两边积分得 ln|y|=In|x|一 x+C1 取，整理得 y=Cxe -x(x0)【知识模块】 常微分方程与差分方程21
18、【正确答案】 【试题解析】 将已知方程变形并整理后得【知识模块】 常微分方程与差分方程22 【正确答案】 y”(0)=一 2【试题解析】 由题干可知，方程两边对 x 进行两次求导得 e yy+6xy+6y+2x=0， (1) eyy“+eyy2+6xy“+12y+2=0， (2) 将 x=0 代入原方程得 y=0，将 x=y=0 代入(1)得 y=0将 x=y=y=0 代入(2)得 y”(0) =一 2【知识模块】 常微分方程与差分方程23 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 常微分方程与差分方程24 【正确答案】 【试题解析】 由题干中方程可知【知识模块】 常微分方程与差分方程25 【
19、正确答案】 【试题解析】 对应齐次方程的特征方程为 r2 一 4=0，解得 r1=2，r 2=一 2 故 y”一 4y=0 的通解为 y 1=C1e-2x+C2e2x，其中 C1，C 2 为任意常数 由于非齐次项为 f(x)=e2x，=2 为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为 y*=Axe2x，代入原方程可求出 故所求通解为【知识模块】 常微分方程与差分方程26 【正确答案】 y=e -xsinx【试题解析】 原方程的通解为 y=e -1dx(e-xcosx.e1dx+C) =e-x(cosxdx+C)=e-x(sinx+C) 由 y(0)=0，得 C=0，故所求解为 y=e-xsinx【
20、知识模块】 常微分方程与差分方程27 【正确答案】 y=e -x(C1cos2x+C2sin2x)【试题解析】 由题干可知，方程 y”+2y+5y=0 的特征方程为 r2+2r+5=0解得则原方程的通解为 y=e-x(C1cos2x+C2sin2x)【知识模块】 常微分方程与差分方程28 【正确答案】 e x【试题解析】 齐次微分方程 f”(x)+f(x)一 2f(x)=0 的特征方程为 r2+r 一 2=0，特征根为 r1=1，r 2=一 2，故其通解为 f(x)=C 1ex+C2e-2x 再由 f”(x)+f(x)=2e x， 解得 2C1ex+5C2e-2x=2ex， 比较函数可知 C1
21、=1，C 2=0故 f(x)=ex【知识模块】 常微分方程与差分方程29 【正确答案】 【试题解析】 原方程等价为【知识模块】 常微分方程与差分方程30 【正确答案】 【试题解析】 两边积分，得 ln|y|=一 ln |x|+C【知识模块】 常微分方程与差分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。31 【正确答案】 易知 S(0)=0，由初始条件 y(0)=0，得 C=1【知识模块】 常微分方程与差分方程32 【正确答案】 设 An 为用于第 n 年提取(10+9n)万元的贴现值，则 A n=(1+r)-n(10+9n)，所以 ，故 A=200+9420=3980，即至少应存入3
22、980 万元【知识模块】 常微分方程与差分方程33 【正确答案】 代入原微分方程得 y”一 y=sinx (*) (2)方程(*)所对应的齐次方程 y”一 y=0 的通解为 Y=C1ex+C2e-x 设方程(*)的特解为 y*=Acosx+Bsinx【知识模块】 常微分方程与差分方程34 【正确答案】 齐次方程 y”一 3y+2y=0 的特征方程为 r2 一 3r+2=0，由此得r1=2，r 2=1 对应齐次方程的通解为 Y=C 1e2x+C2ex 设非齐次方程的特解为 y=(ax+b)xex 则 y*=(ax2+(2a+b)x+b)ex，(y*)”=(ax 2+(4a+b)x+2a+2b)ex 代入原方程得 a=一 1，b=一 2 因此所求解为 y=C 1e2x+C2ex 一 x(x+2)ex(C 1，C 2 为任意常数)【知识模块】 常微分方程与差分方程35 【正确答案】 令 ycosx=u，则 y=useex，从而 y=usecx+usecxtanx y”=u“secx+2usecxtanx+usecxtan2x+usec3x 代入原方程，则有 u”+4u=ex这是一个二阶常系数非齐次线性方程，其通解为 代回到原来函数，则有 其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程
