1、考研数学三（微积分）模拟试卷 122 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 F(x，y 4，y，(y“) 2)=0 的通解中应含有( )个任意常数（A）一（B）二（C）四（D）六2 微分方程 满足条件 y(2)=0 的特解是( )（A）x=e y+y+2y2+2（B） x=ey+y2+2y（C） x=y2+2y+2（D）x=e y+1二、填空题3 微分方程 y+ay=b(其中 a，b 均为常数)的通解是 _4 曲线簇 y=c1ex+c2e2x 中满足条件 y(0)=1，y(0)=一 2 的曲线方程为_5 差分方程 2yt+1+10yt 一 5t
2、=0 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 将函数 f(x)= 在点 x0=1 处展开成幂级数，并求 f(n)(1)7 计算积分 I= 8 已知级数9 设函数 f(x)= 收敛10 已知关系式 f(一 x)=xf(x)一 1，试求函数 f(x)的表达式11 求解微分方程 +x+sin(x+y)=012 求解微分方程 13 求解微分方程(x+1) +1=2ey14 求解微分方程 =015 求解微分方程 16 求解微分方程(yx 2)y=x17 求解微分方程 y=x2+y218 设函数 f(x)在(0，+)内连续，f(1)= ，且对一切的 x、t (0，+) 满足条件：
3、1xtf(u)du=t1xf(u)du+x1tf(u)du求函数 f(x)的表达式19 求解微分方程 满足条件 y(0)=0 的特解20 某地区的人口增长速度与当前该地区的人口成正比若两年后，人口增加一倍；三年后，人口是 20 000 人，试估计该地区最初的人口数21 求解微分方程(xycos =022 求解微分方程 23 在 xOy 坐标平面上求一条曲线，使得过每一点的切线同该点的向径及 Oy 坐标轴一起构成一个等腰三角形24 求解微分方程 xy一 2y=2x425 求解下列微分方程： (1)ylnydx+(x 一 lny)dy=0 (2)y= 26 求初值问题 考研数学三（微积分）模拟试卷
4、 122 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为所给微分方程是二阶的，所以在通解中应含有二个任意常数，故选 B【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 x=一 y2，这是一阶非齐次线性微分方程所以，通解为 x=e dy(一 y2)edydy+c) =cey+y2+2y+2，其中 C 为任意常数 由条件 y(2)=0，得 c=0，于是，特解为 x=y2+2y+2，故选 C【知识模块】 微积分二、填空题3 【正确答案】 y= +ceax【试题解析】 由一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得 y=e adx(be
5、adxdx+c)=eax +ceax其中 c 为任意常数【知识模块】 微积分4 【正确答案】 y=e 2x【试题解析】 由条件 y(0)=1，得 c1+c2=1 因为 y=c1ex 一 2c2e2x，再由条件 y(0)=一 2，得 c1 一 2c2=一 2 解方程 于是，y=e 2x【知识模块】 微积分5 【正确答案】 y= 【试题解析】 y t+1+5yt= t 对应的齐次差分方程为 tt+1+5yt=0，则其通解为=c(5)t，其中 c 为任意常数 因为非齐次项 f(t)= t 是 t 的一次多项式，且a=5(一 1)，故设原差分方程的特解为 yt*=At+B，代入到原差分方程中，【知识模
6、块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 因为【试题解析】 “在点 x0=1 处展开成幂级数”，即展开成 x 一 1 的幂级数形式将函数 f(x)视为【知识模块】 微积分7 【正确答案】 将函数 ln(1 一 x)展开成 x 的幂级数为【试题解析】 用常规积分(换元积分、分部积分)法，去求积分 I= 是不能得到原函数的应将函数 ln(1 一 x)展开成 x 的幂级数的形式，再求积分【知识模块】 微积分8 【正确答案】 因为幂级数 的收敛域为一 1，1，所以函数 f(x)的定义域是一 1， 1，函数 f(1 一 x)的定义域是 0，2 令函数 F(x)=f(
7、x)+f(1 一 x)+lnxln(1一 x)，则 F(x)的定义域是(0，1) 由于所以， F(x)=f(x)一 f(1 一x)+lnxln(1 一 x)=0，x (0，1)因此， F(x)=f(x)+f(1 一 x)+lnxln(1 一 x)=c，x(0，1) 在上式两端，令 x1 ，取极限，得【试题解析】 欲证明一个函数在整个区间上恒等于常数 c，常用的一个方法是：证明其导数在该区间上恒为零，再计算某个 x 的函数值即得【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 利用函数的幂级数展开式，将 f(x)展开成 anxn再利用相应的台劳公式，求 f(n)(0)最后，证明级数 收敛【知识
8、模块】 微积分10 【正确答案】 因为 f(x)=(x)f(x)一 1，则 f(x)= ，这是一个变量已分离的微分方程于是， f(x)=f(x)dx= ln(1+x2)+xarctanx+c，其中c 为任意常数【知识模块】 微积分11 【正确答案】 作变量代换 u=x+y，则微分方程化为 这是一个可分离变量的微分方程两边积分，得 再将变量 u=x+y 代入，得原微分方程的通解为 ，其中 c 为任意常数【知识模块】 微积分12 【正确答案】 将微分方程分离变量，得 两边同时积分，得 于是，原微分方程的通解为 (1+y 2)(1+x2)=cx2，其中 c 为任意常数【试题解析】 本题主要考查可分离
9、变量的微分方程的求解问题【知识模块】 微积分13 【正确答案】 将微分方程分离变量，得 两边同时积分，得 lne y 一 2+lnx+1=lnc 1于是，原微分方程的通解为 (1+x)e y=2x+c，其中 c=2+c1 为任意常数【试题解析】 本题主要考查可分离变量的微分方程的求解问题【知识模块】 微积分14 【正确答案】 当 x1、y1 时，将微分方程分离变量，得其中 c 为任意常数 当 x=1、y=1 时，它们也是原微分方程的解【试题解析】 本题主要考查可分离变量的微分方程的求解问题【知识模块】 微积分15 【正确答案】 令 u=x+y，则 于是，微分方程就化成可分离变量的形式，即 其中
10、 c 为任意常数【试题解析】 本题主要考查如何通过变量代换，将微分方程化成可分离变量的形式【知识模块】 微积分16 【正确答案】 将原微分方程化为=yu，这是一个以变量 u 为未知函数的一阶线性微分方程 利用分离变量的方法，得齐次线性微分方程的通解为 u=ce2y，其中 c 为任意常数 利用常数变易法，设非齐次线性微分方程的通解为 =c(y)e2y，代入到原微分方程中，得其中 c 为任意常数【知识模块】 微积分17 【正确答案】 这是可分离变量的微分方程两边积分，得 arctanu=x+c，即 u=tan(x+c) 再将变量u= =tan(x+c)，即 y=xtan(x+c)，其中 c 为任意
11、常数【试题解析】 本题主要考查凑全微分的形式，可分离变量的微分方程的求解方法【知识模块】 微积分18 【正确答案】 由已知条件可知，等式两边关于变量 t 是可导的于是，对等式两边关于 t 求导，得 xf(xt)= 1xf(u)du+xf(t) 在上式中，若令 t=1，得 xf(x)= 1xf(u)du+xf(1)=1xf(u)du+ x 显然，上式两边关于变量 x 也是可导的于是，对等式两边关于 x 求导，得 f(x)+xf(x)=f(x)+ 这是一个变量可分离的微分方程 两边同时对变量 x 积分，有 f(x)= (lnx+c)，其中 c 为任意常数 由 f(1)=(lnx+1)【试题解析】
12、本题主要考查如何将一个积分方程化为一个微分方程，并用相应的方法求解微分方程的特解【知识模块】 微积分19 【正确答案】 很显然，y=0 是其一个特解 当 y0 时，原微分方程为0，且 y(0)=0，及 y=0 是解，则特解为 当 y0 时，原微分方程为0，且 y(0)=0，及 y=0 是解，则特解为其中 c10，c 20 为任意常数，原初值问题有无穷多的解【试题解析】 本题王要考查分段函数的微分方程的求解方法【知识模块】 微积分20 【正确答案】 设该地区在时刻 t 时的人口数为 N，且最初的人口数为 N0，则=kN，这是一个变量可分离的微分方程，其通解为 N=cekt，其中 c 为任意常数
13、将初始条件 t=0、N=N 0 代入，得 c=N0于是，N=N 0ekt 当 t=2 时，N=2N 0，将它们代入到上式中，得 2N0=N0ekt，从而 k= 当 t=3时，N=20 000，再将它们代入到上式中，得 20 000=N0 于是，N 0=7 071，即该地区最初的人口数为 7 071 人【试题解析】 本题主要考查如何根据实际问题，建立相应的微分方程，并求其对应的特解【知识模块】 微积分21 【正确答案】 将原微分方程化为两边积分得 sinu=一 ln x+c 再将变量代换 u=一 lnx+c ，其中 c 为任意常数【试题解析】 本题主要考查齐次微分方程的求解方法【知识模块】 微积
14、分22 【正确答案】 【试题解析】 本题是可化为齐次的微分方程，关键在于如何作相应的变量代换【知识模块】 微积分23 【正确答案】 如图 191，设此曲线方程为 y=y(x)，过此曲线上任意一点P(x，y)的切线为 Yy=y(x)(Xx) 根据题意，它与 Oy 坐标轴的交点为 A(0，yxy) ，使得 AOP 为等腰三角形若OP=AP，此时有，这不仅可作为分离变量的微分方程，也可作为齐次微分方程通解为 xy=c，其中 c 为任意常数 (注意： 的解并不符合题意) 若OA= OP ，此时有yxy=cx2，其中 c 为任意常数 若OA=AP，此时有yxy =，这是齐次微分方程通解为 x2+y2=c
15、x，其中 c为任意常数【试题解析】 本题主要考查如何根据实际问题建立相应的微分方程，并求其通解【知识模块】 微积分24 【正确答案】 将原微分方程化为 y一 y=2x3 利用线性微分方程的求解方法 利用分离变量的方法，得齐次线性微分方程的通解为 =cx2，其中 c 为任意常数 利用常数变易法，设非齐次线性微分方程的通解为 y=c(x)x2，代入到原微分方程中，得 c(x)=x2+c于是，原微分方程的通解为 y=(x2+c)x2，其中 c 为任意常数【知识模块】 微积分25 【正确答案】 (1)将原微分方程化为 ，这是一个以变量 x 为未知函数的一阶线性微分方程 利用分离变量的方法，得齐次线性微
16、分方程的通解为，其中 c 为任意常数 利用常数变易法，设非齐次线性微分方程的通解为 x= ，代入到原微分方程中，得 c(y)=，其中 c 为任意常数 (2)将原微分方程化为 =1+2lny，这是一个以变量 x 为未知函数的一阶线性微分方程 利用分离变量的方法，得齐次线性微分方程的通解为 ，其中 c 为任意常数 利用常数变易法，设非齐次线性微分方程的通解为 x= ，代入到原微分方程中，得 c(y)=y2lny+c于是，原微分方程的通解为 x= +ylny，其中 c 为任意常数【试题解析】 从微分方程的结构中看不出是何类型，因此不妨将变量 x、y 的位置对调【知识模块】 微积分26 【正确答案】 利用常数变易法，得非齐次线性微分方程的通解为 y=exc+f(x)exdx，即 其中 c1、c 2 均为任意常数 由初始条件 y(0)=0，当 0x1 时，有 c1=一 2，即 y=2(1 一 ex) 由于要求解是连续的，则y(x)=y(1) 因为 y(1)=2(1 一 e1)，则 c2e1=2(1 一 e1)，得 c2=2(e1)于是，所求初值问题的连续解为【试题解析】 本题主要考查非齐次项为分段函数的微分方程的求特解的方法以及解的连续性问题【知识模块】 微积分
