1、考研数学三（微积分）模拟试卷 58 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 =( )2 若x表示不超过 x 的最大整数，则积分 04xdx 的值为 ( )（A）0（B） 2（C） 4（D）63 F(x)=-1xf(t)dt，则 ( )（A）F(x)为 f(x)的一个原函数（B） F(x)在(一，+)上可微，但不是 f(x)的原函数（C） F(x)在(一，+)上不连续（D）F(x)在(一，+) 上连续，但不是 f(x)的原函数4 以下 4 个命题，正确的个数为 ( ) 设 f(x)是(一，+)上连续的奇函数，则 -+ f(x)dx 必收敛，且 -+ f(x)
2、dx=0； 设 f(x)在(一，+)上连续，且存在，则 -+ f(x)dx 必收敛，且 -+ f(x)dx= 若 -+ f(x)dx 与 -+ g(x)dx 都发散， -+ g(x)dx 未必发散； 若 -0 f(x)dx 与 0+ f(x)dx 都发散，则 -+ f(x)dx 未必发散（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个二、填空题5 (8rcsin x)2 dx=_6 将 分解为部分分式的形式为_7 若 f(x2)= (x0)，则 f(x)=_8 设 =1，a 为常数，则 =_9 0+xe-xdx=_10 设 =-atetdt，则 a=_11 0 tsin tdt=_12 设
3、 n 是正整数，则 = _13 反常积分 = _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 ，求f(x)dx15 求16 求17 设函数 x=x(y)由方程 x(yx)2=y 所确定，试求不定积分18 计算19 计算 (k 为常数)20 设 f(x)在闭区间a，b上具有连续的二阶导数，且 f(A)=f(b)=0，当 x(a，b)时， f(x)0证明：20 设 f(x)是在区间1，+)上单调减少且非负的连续函数，a n= 一 1nf(x)dx(n=1，2，)证明：21 证 存在；22 反常积分 1+f(x)dx 与无穷级数 同敛散23 如图 131， 设曲线方程为 y=x2+ ，
4、梯形 OABC的面积为 D，曲边梯形 OABC 的面积为 D1，点 A 的坐标为(a，0)，a0证明：24 已知25 设 f(x)，g(x) 在 a，b上连续证明：至少存在一点 (a，b)，使得 f() b g(x)dx=g() af(x)dx26 设 f(x)，g(x) 在0 ，1上的导数连续，且 f(0)=0，f(x)0，g(x)0 证明：对任意a0，1，有 0ag(x)f(x)dx+01 f(x)g(x)dxf(A)g(1)27 设 ab，证明： ab f(x)g(x)dx 2abf2(x)dxab g2(x)dx考研数学三（微积分）模拟试卷 58 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个
5、选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 通常的解法： 求积分并用连续性确定积分常数，可得所以 F(0)F-(0) 根据原函数定义，F(x)不是 f(x)在(一，+)上的原函数 由于f(x)有第一类间断点，所以 F(x)必然不是其原函数，而变限积分存在就必连续，所以答案自然选择(D) 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 A【试题解析】 -+f(x)dx 收敛 存在常数 a，使 -a f(x)dx 和 a- f(x)dx 都收敛，此时 -+ f(x)dx=-a
6、f(x)dx+a+ f(x)dx 设 f(x)=x，则 f(x)是(一，+)上连续的奇函数，且 但是 -0f(x)dx=-0xdx=， 0+ f(x)dx=0+ xdx=，故 -+f(x)dx 发散，这表明命题， ，都不是真命题 设 f(x)=x，g(x)=一 x，由上面讨论可知 -+ f(x)dx 与 -+ g(x)dx 都发散，但 -+ f(x)+ g(x)dx 收敛，这表明命题是真命题。故应选(A) 【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 x(arcsin x)2+ 一 2x+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【知识模块】 微积分7 【正
7、确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 a【试题解析】 f(x)是抽象函数，不能具体地计算积分，要用积分中值定理，然后再计算极限 xx+a f(t)dt=f(x).a， x 介于 x 与 x+a 之间，【知识模块】 微积分9 【正确答案】 1【试题解析】 原积分=- 0+xde-x=-xe-x+0+e-xdx=0+e-xdx=一 e-x|0+=1【知识模块】 微积分10 【正确答案】 2【试题解析】 -atet dt=-atdet =tet|-a 一 -aet dt=aeaet|-a=(a 一 1)ea， 所以 ea=(a 一 1)ea，a=2【知识模
8、块】 微积分11 【正确答案】 【试题解析】 0tsin tdt=一 0td(cost)=一 tcos t|0+0 costdt=【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 当 f(x)+f(a+b-x)便于积分时可简化定积分 abf(x)dx 的计算【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 当 x1 时，f(x)dx=2dx=2x+C 1；当 0x1 时，f(x)dx=xdx=当 x0 时，f(x)dx=sin xdx=一 cos x+C3 因为 f(x)在(一，1)内连续，所以f
9、(x)dx 在(一 ，1)内存在，因而 f(x)dx 在 x=0 处连续可导，因此，C 2=一 1+C3，C 3=1+C2又因 x=1 为 f(x)的第一类间断点，所以在包含 x=1 的区间内 f(x)的原函数不存在，故此处的 C1 和 C2 是两个相互独立的任意常数【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 令 yx=t，则(yt)t 2=y，故得 t3 一3t=A(t3+t2 一 t 一 1)+B(t2+2t+1)+C(t3t2 一 t+1)+D(t22t+1) =(A+C)t3+(A+BC+D)t2+(一 A+2
10、BC 一 2D)tA+B+C+D 比较 t 的同次幂的系数得【知识模块】 微积分18 【正确答案】 由分部积分法可知【知识模块】 微积分19 【正确答案】 因 k 值不同，故分情况讨论：【知识模块】 微积分20 【正确答案】 取 x0(a，b)如分析中所说，有在区间a，x 0与x 0，b上对 f(x)分别用拉格朗日中值公式，有【试题解析】 由题设 f(A)=f(b)=0，所以 可能是个反常积分。若此反常积分发散，则必有 此时可视为要证明的不等式成立 以下设该反常积分收敛或可视为一个一般定积分 由于|f(x)| 0( 当 axb) ，故存在 x0(a，b)，使 max|f(x)|)= f(x 0
11、)|0 且 f(x0)=0从而缩小 来证明之【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分21 【正确答案】 (1)由 f(x)单调减少，故当 kxk+1 时， f(k+1)f(x)f(k)两边从k 到 k+1 积分，得 kk+1 f(k+1)dxkk+1 f(x)dxkk+1f(k)dx， 即 f(k+1) kk+1 f(x)dxf(k) 即a n有下界又 a n+1 一 an=f(n+1)一 nn+1 f(x)dx0，【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由于 f(x)非负，所以 1x f(t)dt 为 x 的单调增加函数当 nxn+1 时，1n f(t)dt1x f(t)dt1n+1 f(t
12、)dt，所以从而推知【试题解析】 由 f(x)单调减少，当 kxk+1 时，可以写出关于 f(x)的一个不等式，两边从 k 到 k+1 积分，便可得到关于 an 的一个表达式【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 记 G(x)=f(x)xbg(t)dt-g(x)axf(t)dt，则 G(x)的原函数为 F(x)=ax f(t)dtxb g(t)dt+C，其中 C 为任意常数，因为 f(x)，g(x)在a ，b上连续，所以 F(x)： (1)在a，b 上连续； (2) 在(a ，b)内可导；(3)F(A)=F(b)=
13、C，即 F(x)在a，b上满足罗尔定理，所以，至少存在一个 (a，6)， 使得 F()=0，即 f()b g(x)dx=g()a f(x)dx【知识模块】 微积分26 【正确答案】 令 F(A)=0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dx 一 f(A)g(1)，a0，1，则 F(a)=g(a)f(a)一 f(a)g(1)=f(a)g(a)一 g(1) 因为 x0，1时，f(x)0 ，g(x)0，即函数 f(x)，g(x) 在0 ，1上单调递增，又 a1，所以 F(a)=f(a)g(a)一 g(1)0， 即函数 F(a)在0，1上单调递减，又 F(1)=01g(x)f(x)dx+01f(
14、x)g(x)dx 一 f(1)g(1) =01g(x)f(x)dx 一 f(1)g(1)=g(1)f(1)一 g(0)f(0)一 f(1)g(1) =一 f(0)g(0)=0， 所以，F(a)F(1)=0，即 0a g(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dx 一 f(a)g(1)0， 即 0ag(x)f(x)dx+01 f(x)g(x)dxf(a)g(1)【知识模块】 微积分27 【正确答案】 构造辅助函数 F(t)= at f(x)g(x)dx 2atf2(x)dxatg2(x)dx， 则 F(a)=0，且 F(t)=2 atf(x)g(x)dx.f(t)g(t)一 f2(t)atg2(x)dx 一 g2(t)atf2(x)dx =at2f(x)g(x)f(t)g(t)一 f2(t)g2(x)一 g2(t)f2(x)dx =一 at f(t)g(x)一 g(t)f(x)2dx0， 所以 F(b)0，即 ab f(x)g(x)dx2ab f2(x)dxab g2(x)dx0，即 ab f(x)g(x)dx2abf2(x)dxabg2(x)dx【知识模块】 微积分
