1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 58及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.在电炉上安装了 4个温控器，其显示温度的误差是随机的在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t 0 ，电炉就断电，以 E表示事件“电炉断电”，而 T (1) T (2) T (3) T (4) 为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E等于( )（分数：2.00）A.T (1) t 0 B.T (2) t 0 C.T (3) t 0 D.T (4)
2、 t 0 3.设随机变量 XU1，7，则方程 x 2 2Xx90 有实根的概率为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 X，Y 为两个随机变量，若对任意非零常数 a，b 有 D(aXbY)D(aXbY)，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.D(XY)D(X)D(Y)B.X，Y 不相关C.X，Y 独立D.X，Y 不独立5.设事件 A，B 互不相容，且 0P(A)1，则有( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设随机变量 X的分布函数为 F(x)，则下列函数中可作为某随机变量的分布函数的是( )（分数：2.00）A.F(x 2 )B.F(x)C.1F(x)D.F(2x1)7
3、.对于随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，下列说法不正确的是( )（分数：2.00）A.若 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关，则 D(X 1 X 2 X n ) B.若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，则 D(X 1 X 2 X n )D(X 1 )D(X 2 )D(X n )C.若 X ，X 2 ，X n 相互独立同分布，服从 N(0， 2 )，则 D.若 D(X 1 X 2 X n )D(X 1 )D(X 2 )D(X n )，则 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关二、填空题(总题数：8，分数：16.00)8.设 P(A)04，且 P(AB)P （分数：2.00）填空项
4、 1:_9.设 XN，(2， 2 )，且 P(2X4)04，则 P(X0) 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设二维随机变量(x，y)的联合密度函数为 f(x，y) （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_11.若随机变量 XN(2， 2 )，且 P(2X4)03，则 P(X0) 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体的简单随机样本， 1，E （分数：2.00）填空项 1:_13.设总体 X的分布律为 X （分数：2.00）填空项 1:_14.设一次试验成功的概率为 p，进行 100次独立重复试验，当 p 1 时，成
5、功次数的标准差最大，其最大值为 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_15.设 X的分布函数为 F(x) （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.现有三个箱子，第一个箱子有 4个红球，3 个白球；第二个箱子有 3个红球，3 个白球；第三个箱子有3个红球，5 个白球；先取一只箱子，再从中取一只球(1)求取到白球的概率； (2)若取到红球，求红球是从第二个箱子中取出的概率（分数：2.00）_18.设 X，Y 的概率分布为 （分数：2.00）_19.设随机变量(X，Y)的联合密
6、度为 f(x，y) 求：(1)X，Y 的边缘密度； (2) （分数：2.00）_20.设试验成功的概率为 ，失败的概率为 （分数：2.00）_21.设 X为一个总体且 E(X)k，D(X)1，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体的简单随机样本， 令 ，问 n多大时才能使 P （分数：2.00）_22.设总体 X的密度函数为 f(x) （分数：2.00）_23.设有来自三个地区的各 10名、15 名和 25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3份、7 份和 5份随机取出一个地区，再从中抽取两份报名表(1)求先抽到的一份报名表是女生表的概率 p；(2)设后抽到的一份报名表为男生的报名表，求先
7、抽到的报名表为女生报名表的概率 q（分数：2.00）_24.设随机变量 X与 Y相互独立，下表列出二维随机变量(X，Y)的联合分布律及关于 X和 Y的边缘分布律的部分数值，试将其余的数值填入表中空白处 （分数：2.00）_25.设一部机器一天内发生故障的概率为 （分数：2.00）_26.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2 )分布，令 Zmax(X，Y)，求 E(Z)（分数：2.00）_27.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的样本，令 T （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 58答案解析(总分：54.00，做题时间：90
8、分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.在电炉上安装了 4个温控器，其显示温度的误差是随机的在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t 0 ，电炉就断电，以 E表示事件“电炉断电”，而 T (1) T (2) T (3) T (4) 为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E等于( )（分数：2.00）A.T (1) t 0 B.T (2) t 0 C.T (3) t 0 D.T (4) t 0 解析：解析：T (1) t 0 表示四个温控器温度都不低于临界温度 t 0
9、 ，而 E发生只要两个温控器温 度不低于临界温度 t 0 ，所以 ET (3) t 0 ，选(C)3.设随机变量 XU1，7，则方程 x 2 2Xx90 有实根的概率为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：Xf(x) 方程 x 2 2Xx90 有实根的充要条件为 4X 2 360 X 2 9P(X 2 9)1P(X 2 9)1P(1X3) 4.设 X，Y 为两个随机变量，若对任意非零常数 a，b 有 D(aXbY)D(aXbY)，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.D(XY)D(X)D(Y)B.X，Y 不相关 C.X，Y 独立D.X，Y 不独立解析：解析：D(aXbY
10、)a 2 D(X)b 2 D(Y)2abCov(X，Y)， D(aXbY)a 2 D(X)b 2 D(y)2abCov(X，Y)， 因为 D(aXbY)D(aXbY)，所以 Cov(X，Y)0，即 X，Y 不相关，选(B)5.设事件 A，B 互不相容，且 0P(A)1，则有( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为 A，B 互不相容，所以 P(AB)0，于是有6.设随机变量 X的分布函数为 F(x)，则下列函数中可作为某随机变量的分布函数的是( )（分数：2.00）A.F(x 2 )B.F(x)C.1F(x)D.F(2x1) 解析：解析：函数 (x)可作为某一随机变量的分布函
11、数的充分必要条件是： (1)0(x)1；(2)(x)单调不减； (3)(x)右连续；(4)()0，()1 显然只有 F(2x1)满足条件，选(D)7.对于随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，下列说法不正确的是( )（分数：2.00）A.若 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关，则 D(X 1 X 2 X n ) B.若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，则 D(X 1 X 2 X n )D(X 1 )D(X 2 )D(X n )C.若 X ，X 2 ，X n 相互独立同分布，服从 N(0， 2 )，则 D.若 D(X 1 X 2 X n )D(X 1 )D(X 2 )D(X n )，
12、则 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关解析：解析：若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，则(B)，(C)是正确的，若 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关， 则(A)是正确的，选(D)二、填空题(总题数：8，分数：16.00)8.设 P(A)04，且 P(AB)P （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：06）解析：解析：因为9.设 XN，(2， 2 )，且 P(2X4)04，则 P(X0) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：01）解析：10.设二维随机变量(x，y)的联合密度函数为 f(x，y) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
13、正确答案：6）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析：由 1a 0 e 2x dx 0 e 3y dy，得 a6，于是 f(x,y) PXY 0 dx 0 x 6e 2x3y dy2 0 e 2x (1e 3x )dx 11.若随机变量 XN(2， 2 )，且 P(2X4)03，则 P(X0) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：02）解析：解析：由 P(2X4)03 得 08， 则 P(X0)12.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体的简单随机样本， 1，E （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：13.设
14、总体 X的分布律为 X （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：L() 2 (12) 2 4 (12)，lnL()4lnln(12) 令 0，得参数 的极大似然估计值为 14.设一次试验成功的概率为 p，进行 100次独立重复试验，当 p 1 时，成功次数的标准差最大，其最大值为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）填空项 1:_ （正确答案：5）解析：解析：设成功的次数为 X，则 XB(100，p)， D(X)100p(1P)，标准差为 令 f(p)p(1p)(0p1)，由 f(p)12p0 得 p 20， 所以 p 为 f(p)的最
15、大值点，当 p15.设 X的分布函数为 F(x) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：06）解析：解析：随机变量 X的分布律为 X 三、解答题(总题数：12，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.现有三个箱子，第一个箱子有 4个红球，3 个白球；第二个箱子有 3个红球，3 个白球；第三个箱子有3个红球，5 个白球；先取一只箱子，再从中取一只球(1)求取到白球的概率； (2)若取到红球，求红球是从第二个箱子中取出的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A i 取到的是第 i只箱子(i1，2，3)，B取
16、到白球 (1)P(B)P(A 1 )P(BA 1 )P(A 2 )P(BA 2 )P(A 3 )P(BA 3 ) )解析：18.设 X，Y 的概率分布为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 P(XY0)1，所以 P(X1，Y1)P(X1，Y1)0， P(X1，Y0)P(X1) ，P(X1，Y0)P(X1) ， P(X0,Y0)0,P(X0，Y1)P(Y1) (X,Y)的联合分布律为： (2)因为 P(X0，Y0)0P(X0)P(Y0) )解析：19.设随机变量(X，Y)的联合密度为 f(x，y) 求：(1)X，Y 的边缘密度； (2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案
17、：(1)f X (x) f(x,y)dy )解析：20.设试验成功的概率为 ，失败的概率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设试验的次数为 X，则 X的分布律为 )解析：21.设 X为一个总体且 E(X)k，D(X)1，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体的简单随机样本， 令 ，问 n多大时才能使 P （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由切比雪夫不等式得 P )解析：22.设总体 X的密度函数为 f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：L()f(x 1 )f(x 2 )f(x n ) (x i 0，i1，2，n)， ln()2nln 0，得 ，则参数 的最大似
18、然估计量为 )解析：23.设有来自三个地区的各 10名、15 名和 25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3份、7 份和 5份随机取出一个地区，再从中抽取两份报名表(1)求先抽到的一份报名表是女生表的概率 p；(2)设后抽到的一份报名表为男生的报名表，求先抽到的报名表为女生报名表的概率 q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 A i 所抽取的报名表为第 i个地区的(i1，2，3)， B j 第 i次取的报名表为男生报名表(j1，2)，则 )解析：24.设随机变量 X与 Y相互独立，下表列出二维随机变量(X，Y)的联合分布律及关于 X和 Y的边缘分布律的部分数值，试将其余的数
19、值填入表中空白处 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 p 11 p 21 p 1 得 p 11 ， 因为 X，Y 相互独立，所以 p 1 p 1 p 11 于是 p 1 ， 由 p 1 p 2 p 12 得 p 2 ，再由 p 12 p 22 p 2 得 p 22 由 p 11 p 12 p 13 p 1 得 p 13 ，再由 p 1 p 3 p 13 得 p 3 由 p 13 p 23 p 3 ，再由 p 1 p 2 1 得 p 2 )解析：25.设一部机器一天内发生故障的概率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 X表示 5天中发生故障的天数，则 XB 以 Y表示获利，
20、则 Y )解析：26.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2 )分布，令 Zmax(X，Y)，求 E(Z)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X，Y 都服从 N(， 2 )分布，所以 U N(0,1)，V N(0,1)， 且 U，V 相互独立，则 XU，YV，故 Zmax(X，Y)max(U,Y)， 由 U，V 相互独立得(U，V)的联合密度函数为 f(u,v) (u，v) 于是 E(Z)Emax(U,V) 而 Emax(U,V) du max(u,v)f(u,v)dv 故 E(Z)Emax(U,V) )解析：27.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的样本，令 T （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，所以有 E(X 1 T)E(X 1 T)E(X n T) E(X 1 T) E(X 1 X 2 X n )TE (n1)E )解析：
