1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 58 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t0，电炉就断电，以 E 表示事件“电炉断电”，而 T(1)T(2)T(3)T(4)为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于( )（A）T (1)t0（B） T(2)t0（C） T(3)t0（D）T (4)t02 设随机变量 XU1，7，则方程 x22Xx90 有实根的概率为( )3 设 X，Y 为两个随机变量，若对任意非零常数 a，b 有 D
2、(aXbY)D(aXbY) ，下列结论正确的是( ) （A）D(XY) D(X)D(Y)（B） X，Y 不相关（C） X，Y 独立（D）X，Y 不独立4 设事件 A，B 互不相容，且 0P(A)1，则有( )5 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，则下列函数中可作为某随机变量的分布函数的是( )（A）F(x 2)（B） F(x)（C） 1F(x)（D）F(2x1)6 对于随机变量 X1，X 2，X 3，下列说法不正确的是( )（A）若 X1，X 2，X n 两两不相关，则 D(X1X 2X n) D(Xi)（B）若 X1，X 2，X n 相互独立，则 D(X1X 2X n)D(X 1)D(
3、X 2)D(X n)（C）若 X，X 2，X n 相互独立同分布，服从 N(0， 2)，则（D）若 D(X1X 2X n)D(X 1)D(X 2)D(X n)，则 X1，X 2，X n 两两不相关二、填空题7 设 P(A)04，且 P(AB)P ，则 P(B)_8 设 XN，(2， 2)，且 P(2X4)04，则 P(X0)_9 设二维随机变量(x，y) 的联合密度函数为 f(x，y) 则 a_，P(XY) _10 若随机变量 XN(2， 2)，且 P(2X4)03，则 P(X0)_11 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X n 是来自总体的简单随机样本，_，E _ 12 设总体 X 的
4、分布律为 X ( 为正参数),1,2,1,1,2 为样本观察值，则 的极大似然估计值为_13 设一次试验成功的概率为 p，进行 100 次独立重复试验，当 p_时，成功次数的标准差最大，其最大值为_14 设 X 的分布函数为 F(x) 且 YX 21，则 E(XY)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 现有三个箱子，第一个箱子有 4 个红球，3 个白球；第二个箱子有 3 个红球，3个白球；第三个箱子有 3 个红球，5 个白球；先取一只箱子，再从中取一只球(1)求取到白球的概率； (2)若取到红球，求红球是从第二个箱子中取出的概率16 设 X，Y 的概率分布为 且 P(XY0
5、)1(1)求(X，Y)的联合分布； (2)X，Y 是否独立?17 设随机变量(X，Y) 的联合密度为 f(x，y) 求：(1)X，Y 的边缘密度； (2) 18 设试验成功的概率为 ，失败的概率为 ，独立重复试验直到成功两次为止求试验次数的数学期望19 设 X 为一个总体且 E(X)k，D(X) 1，X 1，X 2，X n 为来自总体的简单随机样本，令 ，问 n 多大时才能使 P ?20 设总体 X 的密度函数为 f(x) X1，X 2，X n 为来自总体X 的简单随机样本，求参数 的最大似然估计量21 设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为
6、3 份、7 份和 5 份随机取出一个地区，再从中抽取两份报名表(1)求先抽到的一份报名表是女生表的概率 p；(2)设后抽到的一份报名表为男生的报名表，求先抽到的报名表为女生报名表的概率 q22 设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出二维随机变量(X，Y) 的联合分布律及关于 X 和 Y 的边缘分布律的部分数值，试将其余的数值填入表中空白处23 设一部机器一天内发生故障的概率为 ，机器发生故障时全天停止工作若一周 5 个工作日无故障，则可获利 10 万元；发生一次故障获利 5 万元；发生两次故障获利 0 元；发生三次及以上的故障亏损 2 万元，求一周内利润的期望值24 设随机变量 X，Y 相
7、互独立且都服从 N(， 2)分布，令 Zmax(X ，Y)，求E(Z)25 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X n 是来自总体 X 的样本，令 T，求 E(X1T)考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 58 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 T (1)t0表示四个温控器温度都不低于临界温度 t0，而 E 发生只要两个温控器温 度不低于临界温度 t0，所以 ET (3)t0，选(C)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 Xf(x) 方程 x22Xx90 有实根的充要条件为4X 2360 X
8、29P(X 29)1P(X 29)1P(1X3) 【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 D(aXbY)a 2D(X)b 2D(Y)2abCov(X ，Y)， D(aXbY)a 2D(X)b 2D(y)2abCov(X ，Y)， 因为 D(aXbY)D(aXbY)，所以Cov(X，Y) 0，即 X，Y 不相关，选(B) 【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A，B 互不相容，所以 P(AB)0，于是有P(B)P(AB)P(B)选(B)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 函数 (x)可作为某一随机变量的分布函数的
9、充分必要条件是：(1)0(x)1； (2)(x)单调不减；(3)(x)右连续；(4)() 0，()1 显然只有 F(2x1)满足条件，选 (D)【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 若 X1，X 2，X n 相互独立，则(B)，(C) 是正确的，若X1，X 2，X n 两两不相关， 则(A) 是正确的，选 (D)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题7 【正确答案】 06【试题解析】 因为 1P(AB)，所以 P(AB)1P(AB)1P(A)P(B) P(AB)，从而 P(B)1P(A) 06【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 01【知识模块】 概率论与
10、数理统计9 【正确答案】 6，【试题解析】 由 1a 0 e2x dx0 e3y dy，得 a6，于是 f(x,y)PXY 0 dx0x6e2x3y dy2 0 e2x (1e 3x )dx 【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 02【试题解析】 由 P(2X4)03 得08，则 P(X0)02【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 L() 2(12) 2 4(12)，lnL()4ln ln(12) 令0，得参数 的极大似然估计值为 【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 ，5【试题解
11、析】 设成功的次数为 X，则 XB(100，p)，D(X) 100p(1 P)，标准差为 令 f(p)p(1p)(0p1)，由 f(p)12p0 得 p20，所以 p 为 f(p)的最大值点，当 p 时，成功次数的标准差最大，最大值为 5【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 06【试题解析】 随机变量 X 的分布律为 X E(XY)EX(X 21)E(X 3X)E(X 3)E(X)，因为 E(X3)80 310 580203，E(X)20 310 520203，所以 E(XY)06【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 设
12、 Ai取到的是第 i 只箱子(i1，2，3)，B取到白球 (1)P(B)P(A 1)P(BA 1)P(A 2)P(BA 2)P(A 3)P(BA 3)【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 (1)因为 P(XY0)1，所以 P(X1，Y1)P(X1，Y1)0，P(X1，Y0)P(X1) ，P(X 1，Y 0)P(X1) ，P(X0,Y0)0,P(X0，Y1)P(Y1) (X,Y)的联合分布律为：(2)因为 P(X0，Y 0)0P(X0)P(Y0) ，所以 X，Y 不相互独立【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 (1)f X(x) f(x,y)dy【知识模块】 概率论与数理
13、统计18 【正确答案】 设试验的次数为 X，则 X 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 由切比雪夫不等式得 P，即 n16【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 L()f(x 1)f(x2)f(xn) (xi0，i1，2，n)，ln() 2nln 0，得，则参数 的最大似然估计量为 【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 (1)设 Ai 所抽取的报名表为第 i 个地区的(i1，2，3)，Bj 第 i 次取的报名表为男生报名表(j1，2)，则【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 由 p11p 21p 1 得 p11 ，因为 X，Y 相互独立
14、，所以p1 p 1p 11 于是 p1 ，由 p1 p2 p 12 得 p2 ，再由 p12p 22p 2 得p22 由 p11p 12p 13p 1 得 p13 ，再由 p1 p3 p 13 得 p3 由p13p 23p 3 ，再由 p1 p 2 1 得 p2 【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 用 X 表示 5 天中发生故障的天数，则 XB 以 Y 表示获利，则 Y 则 E(Y)10P(X0)5P(X1)2P(X3)P(X4)P(X5) 100 32850410200575216(万元)【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 因为 X，Y 都服从 N(， 2)分布，所以 U N(0,1) ，VN(0,1) ，且 U，V 相互独立，则 XU ，YV，故Zmax(X，Y)max(U,Y)，由 U，V 相互独立得 (U，V)的联合密度函数为f(u,v) (u，v)于是 E(Z)Emax(U,V)而Emax(U,V) du max(u,v)f(u,v)dv故 E(Z)Emax(U,V) 【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 因为 X1，X 2，X n 独立同分布，所以有 E(X1T)E(X 1T)E(X nT) E(X1T) E(X1X 2X n)TE (n1)E E(S2)(n1) 2【知识模块】 概率论与数理统计
