1、考研数学三（重积分）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 D:x2+y216，则 |x2+y2 一 4|dxdy 等于( )（A）40（B） 80（C） 20（D）602 设 D 是 xOy 平面上以(1，1)，(一 1，1) ，(一 1，一 1)为顶点的三角形区域，D 1为区域 D 位于第一象限的部分，则 (xy+cosxsiny)d 等于( )3 设平面区域 D：1x 2+y24，f(x，y) 是区域 D 上的连续函数，则等于( )（A）2 12rf(r)dr（B） 2rf(r)dr 一 01rf(r)dr（C） 212rf(r2)
2、dr（D）2 02rf(r2)dr 一 01rf(r2)dr二、填空题4 (x2+xy 一 x)dxdy=_，其中 D 由直线 y=x，y=2x 及 x=1 围成，5 (|x|+x2y)dxdy=_6 cosx2dx=_7 设 f(x，y)连续，且 f(x， y)=xy+ 其中 D 由 y=0，y=x 2 及 x=1 围成，则 f(x，y)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 改变积分次序9 改变积分次序10 改变积分次序11 改变积分次序并计算12 计算13 计算 01dyx2 dx14 把二重积分 f(x，y)dxdy 写成极坐标下的累次积分的形式(先 r 后 )，其中
3、 D由直线 x+y=1，x=1，y=1 围成15 把 f(x， y)dxdy 写成极坐标的累次积分，其中 D=(x，y)|0x1，0yx 16 设 f(x)连续，f(0)=1，令 F(t)= f(x2+y2)dxdy(t0)，求 F“(0)17 计算 I= ，其中 D 由曲线 =1 及 x 轴和 y 轴围成，其中a0，b018 设 D 是由点 O(0，0) ，A(1 ，2)及 B(2，1)为顶点构成的三角形区域，计算19 求 I= ，其中 D=(x，y)|x 2+y21，x0，y020 求 I= cos(x+y)|dxdy，其中 D=(x，y)|0x ，0y 21 计算二重积分 (x+y)dx
4、dy，其中 D:x2+y2x+y+122 计算 ，其中 D 是由曲线 y=一 a+ 和直线 y=一 x 所围成的区域23 计算 I= 其中 D 由 x=一 2，y=2，x 轴及曲线 x= 围成考研数学三（重积分）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 x2+y2 一 4|dxdy=02d04|r2 一 4rdr=204|r2 一 4|rdr=202(4 一 r2)rdr+24(r2 一 4)rdr=80，选 (B)【知识模块】 重积分2 【正确答案】 A【试题解析】 令 A(1，1)，B(0，1)，C( 一 1，1
5、)，D(一 1，O)，E(一 1，1)，记三角形OAB 、OBC、OCD、ODE 所在的区域分别记为 D1，D 2，D 3，D 4，【知识模块】 重积分3 【正确答案】 A【试题解析】 =02d12rf(r)dr=212rf(r)dr，选(A) 【知识模块】 重积分二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 (x2+xy 一 x)dxdy=01dxx2x(x2+xy 一 x)dy=01【知识模块】 重积分5 【正确答案】 【试题解析】 其中D1=(x，y)10x1 ，0y1 一 x)，而 =01xdx01 一 xdy=01x(1 一 x)dx=因此 (|x|+x2y)dxdy=4【知识模块】 重
6、积分6 【正确答案】 【试题解析】 改变积分次序得01dy cosx2dx+dy cosx2dx=01dxx2xcosx2dy=01xcosx2dx= 01cosx2d(x2)= sinx2|01= sinl【知识模块】 重积分7 【正确答案】 xy+【试题解析】 令 f(x，y)d=k ，则 f(x，y)=xy+k，两边在 D 上积分得所以 f(x，y)=xy+【知识模块】 重积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 因为 D=(x，y)|a 一 xy，0ya，所以【知识模块】 重积分9 【正确答案】 D=(x ，y)|0x ，x 2yx，则【知识模块】 重积分
7、10 【正确答案】 D 1=(x，y)|a 一 一ay0，D 2=(x，y)| x2a，0y2a，则【知识模块】 重积分11 【正确答案】 改变积分次序得【知识模块】 重积分12 【正确答案】 D 1+D2=D=(x，y)|1y2 ，yxy 2【知识模块】 重积分13 【正确答案】 改变积分次序得【知识模块】 重积分14 【正确答案】 【知识模块】 重积分15 【正确答案】 D=(r ，)|0 ，0rsec，则【知识模块】 重积分16 【正确答案】 令 x=rcos，y=rsin ，则 F(t)=02d|0trf(r2)dr=20trf(r2)dr，因为f(x)连续，所以 F(t)=2tf(t
8、2)且 F(0)=0，于是 F“(0)=2(t2)=2f(0)=2【知识模块】 重积分17 【正确答案】 由 因此令 t=则 x=a(1 一 t)2，dx=一 2a(1 一 t)dt，于是 I= dx=ab2(t4一 t5)dt=【知识模块】 重积分18 【正确答案】 将区域向 x 轴投影，令 D1=(x，y)|0x1， y2x)，D2=(x，y)|1x2， y3 一 x，【知识模块】 重积分19 【正确答案】 由对称性得【知识模块】 重积分20 【正确答案】 直线 x+y= 将区域 D 分为 D1，D 2，其中 D1=D2=【知识模块】 重积分21 【正确答案】 【知识模块】 重积分22 【正确答案】 【知识模块】 重积分23 【正确答案】 【知识模块】 重积分
