1、第三章 扭转,31 概述 32 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图 33 薄壁圆筒的扭转 34 等直圆杆在扭转时的应力 强度分析 35 等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件 36 等直圆杆的扭转超静定问题,第三章 扭 转,内容提要,重点、难点,扭矩与扭矩图 等直圆杆扭转时的应力与强度条件 等直圆杆扭转时的变形与刚度条件,扭矩与扭矩图,圆轴扭转时的剪应力及强度条件 剪应力互等定理,圆轴扭转时的变形及刚度条件,扭转超静定问题,一、工程实例,1、螺丝刀杆工作时受扭。,2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。, 3 - 1 概 述,3、机器中的传动轴工作时受扭。,4、钻井中的钻杆工作时受扭。,二、扭转的概念,扭转：
2、外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。,外力特征：力偶矩矢平行于杆的轴线。力偶矩矢表示符合右手螺旋法则。,变形特点：轴线仍为直线，杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。,扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。 剪应变（）：直角的改变量。,以扭转变形为主的杆件, 称为轴。,32 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图,1, 传动轴的外力偶矩,一传动轴，转速为 n转/min ，轴传递的功率由主动轮输入，然后由从动轮输出。若通过某一轮所传递的功率为 Nk千瓦（kW)，则作用在该轮上的外力偶矩 m可按以下方法求得。,n轴的转速 ( r/min ),m作用在
3、轴上的力偶矩，( KN.m ),NK轴传递的功率， (kW),P 轴传递的功率， (PS),_,在nn截面处假想将轴 截开取左侧为研究对象,分析图示圆轴任一横截面 nn上的内力。仍用 截面法。,11，扭矩和扭矩图,横截面上的内力应是一个力偶称为该横截面上 扭矩,取右侧为研究对象,其扭矩与取左侧为研究对象数值相同但转向相反。,右手螺旋法则：当力偶矩矢的指向背离截面时扭矩为正，反之为负。,扭矩符号的规定,用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的扭矩，从而绘制出表示扭矩与截面位置关系的图线，称为扭矩图。,目 的,扭矩变化规律； | |max值及其截面位置 强度计算（危
4、险截面）。,例题：一传动轴如图所示，其转速 n = 300转/min ，主动轮输入的功率为有N1 = 500 kW 。若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为N2 = 150 kW 、N3 = 150 kW及N4 = 200 kW。试做扭矩图。,解:计算外力偶矩,计算 CA 段内任横一截面2-2 截面上的扭矩 。假设 M n2为正值。,结果为负号，说明M n2 应是负值扭矩,由平衡方程,(-),A,B,C,D,同理，在 BC 段内,在 AD 段内,注意：若假设扭矩为正值，则扭矩的实际符号与计算符号 相同。,(-),(+),从图可见，最大扭矩在 CA段内。,作出扭矩图,实验变形规律应
5、力的分布规律应力的计算公式。,1、实验：,33 薄壁圆筒的扭转,一、薄壁圆筒横截面上的应力(壁厚,r0：为平均半径）,_,2、变形规律：,圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。,纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。,3、切应变（角应变、剪应变）：直角角度的改变量 。,4、定性分析横截面上的应力,（1）,（2）,因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等。, 因为壁厚远小于直径，所以可以认为切应力沿壁厚均匀分布,而且方向垂直于其半径方向。,5、切应力的计算公式：,二、剪切胡克定律,在弹性范围内切应力与切应变成正比关系。,_,A0：平均半径所作
6、圆的面积。,G 称为材料的 剪变模量 。其单位是 Pa。,拉(压)，剪切弹性常数之间的关系,_,思考题：指出下面图形的剪应变,(1) 在单元体左，右面（杆的横截面）上只有剪应力，其 方向于 y 轴平行。,可知，两侧面的内力元素 dy dz 大小相等，方向相反，将组成 一个力偶。,三， 剪应力互等定理,由平衡方程,( dy dz) dx,其矩为,(2) 要满足平衡方程,在单元体的上，下两平面上必有 大小相等，指向相反的一对 内力元素,它们组成的力偶，其矩为,此力偶矩与前一力偶矩,数量相等而转向相反，从而可得,( dy dz) dx,剪应力互等定理：,单元体两个相互垂直平面上 的剪应力同时存在，且
7、大小 相等，都指向（或背离）该 两平面的交线。,纯剪切应力状态：,单元体平面上只有剪应力 而无正应力，则称该单元 体为纯剪切应力状态。,34 等直圆杆在扭转时的应力 强度条件,等直圆杆横截面应力,变形几何方面 物理关系方面 静力学方面,1. 横截面变形后仍为平面；2. 轴向无伸缩；3. 纵向线变形后仍为平行。,一、等直圆杆扭转实验观察：,二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：,1. 变形几何关系：,距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。, 扭转角沿长度方向变化率。,_,_,T,2. 物理关系：,胡克定律： 代入上式得：,_,3. 静力学关系：,令,代入物理关系式 得：,_,_,横截面上距圆心为
8、处任一点剪应力计算公式。,4. 公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。, 式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。,单位：mm4，m4。, 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是Ip值不同。,D,d,O,O,d, 应力分布,T,t,max,t,max,t,max,T,（实心截面）,（空心截面）,工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。, 确定最大剪应力：,由,知：当,Wt 抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。,对于实心圆截面：
9、,对于空心圆截面：,_,三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力,低碳钢试件： 沿横截面断开。,铸铁试件： 沿与轴线约成45的螺旋线断开。,因此还需要研究斜截面上的应力。,1. 点M的应力单元体如图(b)：,(a),(b),t,t,(c),2. 斜截面上的应力；取分离体如图(d)：,(d),(d),n,t,转角规定： 轴正向转至截面外法线,逆时针：为“+” 顺时针：为“”,由平衡方程：,解得：,_,分析：,当 = 0时，,当 = 45时，,当 = 45时，,当 = 90时，,t,t,s,max,s,min,由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角 = 45的斜截面上作用有最大
10、压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。,四、圆轴扭转时的强度计算,强度条件：,对于等截面圆轴：,( 称为许用剪应力。),强度计算三方面：, 校核强度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷：,例题： 图示阶梯圆轴，AB段的直径d1 =120 mm ，BC段的直径 d2 = 100 mm。扭转力偶矩为 mA = 22 kN.m， mB = 36 kN.m ， mC =14 kN.m 。已知材料的许用剪应力 = 80MPa，试校核该轴的强度。,解：作轴的扭矩图,mA = 22 kN。m，,mB = 36 kN。m,mC =14 kN。m,因此，该轴满足强度要求。,分别校核两段轴的强
11、度,35 等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件,一、扭转时的变形,由公式,知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为,_,二、单位扭转角 ：,或,三、刚度条件,或,GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。, 称为许用单位扭转角。,_,_,刚度计算的三方面：, 校核刚度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷：,有时，还可依据此条件进行选材。,例题 ：图示传动轴系钢制实心圆截面轴,。,距离分别为 lAB = 300 mm 和 lAC = 500 mm。轴的直径d = 70 mm,，钢的剪变模量为 G = 80 GPa。试求截面 C 对截面B 的对扭转角。,， m2 = 955 Nm ， m
12、3 = 637 N m。截面 A与截面 B、C之间的,已知： m1 =1592 N m,解法1 ：假设 A截面不动，先分别计算截面 B、C 对截面 A 的相对扭转角AB 和AC 。,截面 C 对截面 B 的相对扭转角 BC 为,转向与 m3 相同,B,C,A,1,2,解法 2 ：设截面 B固定不动，先分别计算m1、m3 单独作用下截面 C 对截面 B 的相对扭转角 BC1 和BC2，然后叠加，即采用叠加法。,m1单独作用下截面 C 对截面 B 的相对扭转角 BC1,转向与m3同,m3 单独作用下截面 C 对截面 B 的相对扭转角BC2，,C 截面对截面 B 的相对 扭转角,A,B,C,lAB,
13、lAC,解法 3 ：设截面 B 固定不动,mAC = - m3,m3,mAB = m2,A,B,C,lAB,lAC,m3,转向与 m3 同,例题 ： 某汽车的主传动轴 是用 40 号钢的电焊钢管制成，钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，轴传递的转矩m=1.98KNm,材料的许用剪应力 = 100MPa，剪变模量为 G = 80GPa ，轴的许可扭角 = 2 /m 。试校核轴的强度和刚度。,解：轴的扭矩等于轴传递的转矩,轴的内，外径之比,由刚度条件,由强度条件,将空心轴改为同一材料的实心轴，仍使 max=96.1MPa,d=47.2mm,实心轴的直径为,实心轴的截面面积为,空心轴的截面面积
14、为,两轴材料、长度均相等同，故两轴的重量比等于两轴的横截面积之比，,在最大剪应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料。,36 等直圆杆的扭转超静定问题,解决扭转超静定问题的方法步骤：,平衡方程；,几何方程变形协调方程；,补充方程：由几何方程和物理方程得；,物理方程；,解由平衡方程和补充方程组成的方程组。,例长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226m ，G=80GPa，试求固端反力偶。,解：杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。 平衡方程为：,几何方程变形协调方程, 综合物理方程与几何方程，得补充方程：, 由平衡方程和补充方程得：,另:此题可由对称性直接求得结果。,
