1、2012 年下半年中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）真题试卷及答案与解析一、单项选择题1 函数 的图象与 x 轴交点的个数是( )。（A）0（B） 1（C） 2（D）32 设 则 f(x)在 x=1 处( )。（A）不连续（B）连续，但不可导（C）连续，且有一阶导数（D）有任意阶导数3 令 x1，x 2，x 3 为方程 的三个根，则 x21+x22+x23 等于( )。 4 在曲面 x2+y2+z2-2x+2y-4z-3=0 上，过点(3 ，-2， 4)的切平面方程是( ) 。（A）2x-y+2z=0（B） 2x-y+2z=16（C） 4x-3y+6z=42（D）4x-3y+6
2、z=05 下面 4 个矩阵中，不是正交矩阵的是( )。 6 设a n为数列，A 为定数。对于“对任意 0，存在正整数 N，当 nN 时，有an-A” 的否定 是( )。（A）存在 0，对任意正整数 N，存在 nN，使得 an-A（B）对任意 0，存在正整数 N，当 nN 时，有a n-A（C）对任意 0，以及任意正整数 N，当 nN 时，有a n-A（D）存在 0，存在正整数 N，存在 nN，有 an-A7 下列关于反证法的认识，错误的是( )。（A）反证法是一种间接证明命题的方法（B）反证法的逻辑依据之一是排中律（C）反证法的逻辑依据之一是矛盾律（D）反证法就是证明一个命题的逆否命题8 普通
3、高中数学课程标准(实验)设置了四个选修系列，其中选修系列 1 是为希望在人文社会科学等方面发展学生而设置的，下列内容不属于选修系列 1 的是( )。（A）矩阵变换（B）推理证明（C）导数及应用（D）常用逻辑用语二、简答题9 若实数 a， b，c 成等差数列，求直线族 ax+by+c=0 被圆 x2+y2=5 截得线段中点的轨迹方程。10 设 是 34 矩阵，其秩为 3，考虑方程组 (1)设 1 和 2 为 PX=0 的两个解，c 1、c 2 为实数，证明 c11+c22 也是 PX=0 的解； (2)方程组，PX=0 的解空间的维数是多少?(无需证明 )11 (1)P(A)表示事件 A 发生的
4、概率，证明 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)； (2)若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件 A、B 独立；若事件 A、B、C 两两独立，且P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则称事件 A、B 、C 独立。设事件 A、B、C 独立，证明事件 AB 与事件 C 独立。 (可参考下图) 12 高中数学课程是如何体现选择性的?13 数学教学中如何贯彻严谨性与量力性相结合的原则?三、解答题14 如下图所示，设 0a b，函数 f(x)在a，b上连续，在 (a，b)可微且 f(x)0，f(a)=f(b)。设 为绕原点 O 可转动的细棍(射线)，放手后落在函数 f(x)的图象上并支撑在点
5、A(，f()上，从直观上看， 证明函数在 处取得最大值，并由此证明(*)式。 四、论述题15 对学生数学学习的评价，既要关注学习结果，也要关注学习过程，你认为对学生数学学习过程的评价应关注哪些方面?试举例说明。五、案例分析题16 案例：阅读下列三位教师关于“直线与平面垂直的判定” 的教学片段。教师甲的引入：教师甲：同学们，空间直线与平面有哪几种位置关系?学生边演示边叙述，得到直线与平面的三种位置关系。教师：直线在平面内，直线与平面的平行已研究过，直线与平面相交成为今天要研究的问题。在日常生活中，你见过哪些情景可以抽象成直线相交?举例说明。学生：日光灯的掉线与天花板相交；房子的柱子与天花板相交；
6、插在碗里的筷子与平的碗底相交。教师：想象力丰富。生活中确实有很多例子。例如，墙角与地面(图片展示)，小区的建筑，竹竿与水平面以及古诗词中的自然景观“大漠孤烟直” ，“一行白鹭上青天”。在直线与平面相交的模型中。你认为哪种相交最特殊?学生：直线与平面垂直。教师：今天我们就研究这种关系。(板书课题)教师乙的引入：教师：(用 PPT 呈现龙卷风图片 )同学们刚进教室看到这样的壮丽图片，联想起“大漠孤烟直 ”的美景，大家欣赏完之后是否想到立体几何中什么与什么的关系?学生：线面垂直。教师：很好，那生活中有没有这样的例子?学生：看电视时，视线与画面；电线杆与地面垂直。教师：这样的例子很多。比如，大桥桥柱与
7、水面。正因为生活中有很多线与面垂直关系，所以几何中有必要对此进行研究。这堂课就学习直线与平面垂直。(板书课题)教师丙的引入：教师：前面我们研究了直线与平面平行的判定与性质。今天我们要研究直线与平面的其他位置关系。(展示天安门广场上的国旗与旗杆)先请大家看一幅图：天安门广场的红旗迎风飘扬。再看另一幅图：一桥飞架南北，天堑变通途。请大家回答下面的问题。问题(1)：请同学们观察图片，说出旗杆与地面，大桥桥柱与水平面是什么位置关系?学生：垂直。教师：从教学的角度看，就是什么与什么垂直。学生：线与面。教师：你还能举出一些类似的例子吗?想一想。(同时出示课题)学生 1：箱的边缘与地面。学生 2：立竿见影，
8、竿与地面垂直。教师又展示跨栏跳高架的图片，说明跨栏的支架与地面，跳高架立竿与地面是垂直关系，请大家参照旗杆与地面这种关系画出相应的几何图形。学生画图，教师在黑板上画出图。教师：为什么画成这样呢?这样直观性强，将直线画得与表示平面的平行四边形的一边垂直。教师：接着前面的内容的学习，下面我们要学习直线与平面垂直的定义、判定与性质。问题： (1)三种引入方式各有什么特点?(2)在(1)的基础上，给出你对课题引入的观点。六、教学设计题17 请以“归纳推理 (第一课时 )”为课题，完成下列教学设计。(1)教学目标；(2)教学重点、难点；(3)教学过程 (只要求写出新课导人和新知探究、巩固、应用等)及设计
9、意图。2012 年下半年中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）真题试卷答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 ，函数 f(x)单调递增。又 f(0)=1， ， 函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有一个交点。故选 B。2 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(1+0)= ，可知 f(x)在 x=1 处连续；又 f(1+0)= (2x-2)x=1=0=f(1-0)，且 f(1+0)=20=f(10)，则 f(x)在 x=1 处有一阶导数。故选 C。3 【正确答案】 D【试题解析】 对于多项式 ax3+bx2+cx+d=0，根据根与系数关系可知，x 1+x2+x3=-
10、，x 1x2+x2x3+x3x1= ，那么 x21+x22+x23=(x1+x2+x3)2-2(x1x2+x2x3+x3x1)=，故选 D。4 【正确答案】 B【试题解析】 方法一，设球面方程为 x2+y2+z2+2px+2qy+2rz+d=0，则过球面上点(x0，y 0，z 0)的切平面方程为： x 0x+y0y+z0z+p(x+x0)+q(y+y0)+r(z+z0)+d=0。 由x2+y2+z2-2x+2y-4z-3=0 可知，此曲面为球面，且：p=-1，q=1，r=-2，d=-3，又点(3，-2，4)在球面上，则切平面方程为：2x-y+2z=16 ，故选 B。 方法二：曲面x2+y2+z
11、2-2x+2y-4z-3=0 为球面，标准方程为： (x-1) 2+(y+1)2+(z-2)2=9 球心为(1，-1，2)，半径为 3。在 A、B、C、D 四个选项中，只有 B、C 过点(3，-2，4)。故A、D 排除。同时球心到切平面的距离应该等于球的半径，选项 B，球心到平面的距离为 等于球半径，满足题意。故选 B。5 【正确答案】 C【试题解析】 A 为 n 阶矩阵，若 AA=I 或者 AA=I(I 为单位矩阵)，则称 A 为正交矩阵。选项 ，结果不是单位矩阵。故选 C。6 【正确答案】 A【试题解析】 若存在 0，对任意正整数 N，存在 nN，使得a n-A，则称数列a n的极限不是
12、A，即 ，故选 A。7 【正确答案】 D【试题解析】 反证法是假设结论的反面成立，在已知条件和“否定结论”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与公理、定理、题设、临时假定相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定结论的反面不能成立，并不是证明他的逆否命题成立。8 【正确答案】 A【试题解析】 普通高中数学课程标准(实验)中选修系列 1 由 2 个模块组成：选修 1-1(常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用)和选修 1-2(统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图)。矩阵变换属于系列 4 选修 4-2，故选 A。二、简答题9 【正确答案】 解法一：(几何法)实数 a，b，c 成等差数列，2b-
13、a-c=0，直线族可化为 ax+by+2b-a=0，必过点 A (1，-2) ，点 A 在圆 x2+y2=5 上。根据垂径定理可知，被圆截得线段中点 B 与圆 x2+y2=5 的圆心 O(0，0)连线必然垂直于直线 AB，所以 B 点在以 OA 为直径的圆上(直角所对的弦为直径)。 所以 B 在以 为圆心，以 为半径的圆上，其轨迹方程为：。 解法二：(代数法)由题意，直线 ax+by+c=0 被圆 x2+y2=5截得线段的中心即为直线 ax+by+c=0与直线 bx-ay=0交点。设该点坐标为(x，y)，联立方程 ，得 ；且该点在两条直线上，满足又实数 a，b，c 成等差数列，2b-a-c=0
14、，则，即：即为直线 ax+by+c=0 被圆 x2+y2=5 截得线段中心的轨线方程。10 【正确答案】 证明：(1) 1， 2 为 PX=0 的两个解 P1=0，P 2=0 c1P1=0，c 2P2=0 c1P1+c2P2=0 Pc11+Pc22=0 P(c11+c11)=0 即 c11+c22 也是PX=0 的解。 (2)方程组 PX=0 的解空间的维数是未知量的个数 n=4 减去系数矩阵 P的秩 3，即为 1。11 【正确答案】 证明：(1)由于 AB=A(B-AB)且 A(B-AB)=，由概率的可加性，P(AB)=P(A(B-AB)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(A
15、B)(2)事件 A、B、C 独立P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，P(AB)=P(A)P(B)且 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么，P(AB)C)=P(AC) (BC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)=P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)=P(C)(P(A)+P(B)-P(A)P(B)=P(C)(P(A)+P(B)-P(AB)=P(C)P(AB)所以，事件 AB 与事件 C 独立。12 【正确答案】 (1)选择性是整个高中课程的基本理念，也是本次高中课程改革的最大变化之一高中阶段是培养学生选择能力的最佳时期。新的高中课程方案提出
16、了在高中阶段培养学生的人生规划能力的目标。学会选择正是培养学生人生规划能力的需要。在数学教学大纲中，将普通高中的课程分为必修课和选修课两部分，设置了文科系列和理科系列的课程。在新课程标准中，加大了培养选择性的力度，这是本次课程改革最大的变化之一。(2)高中数学课程中选修课的设置体现了选择性新课程标准中将高中数学课程知识内容分为必修和选修两大部分。对于选修部分，包括 4 个系列。系列 1 是为那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的；系列 2 则是为了那些希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的。除此之外，为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生设置了系列 3 和系列 4。高中数学课
17、程中选修课的设置就是希望从不同的角度激发学生学习数学的兴趣，帮助学生发现、培养自己的兴趣、特长，希望数学能为学生的发展提供帮助，这是高中数学新课程的最高追求。13 【正确答案】 (1)认真了解学生的心理特点与接受能力，是贯彻严谨性和量力性相结合的原则的前提。“ 备课先备学生 ”的经验之谈，就出于此。也就是说，只有全面地了解学生情况，才能使制订的教学计划与内容安排真正做到有的放矢、因材施教，才能真正贯彻好这一原则。(2)在教学中，应设法安排使学生逐步适应的过程与机会，逐步提高其严谨程度，做到立论有据。例如初学平面几何的学生，对严格论证很不适应，教学时应先由教师给出证明步骤，让学生只填每一步的理由
18、，鼓励学生发扬“跳一跳够得到” 的精神。合情合理地提出教学要求，逐步过渡到学生自己给出严格证明，最后要求达到立论有据。论证简明。但绝不能消极适应学生，人为地降低教材理论要求，必须在符合内容科学性的前提下，结合学生实际组织教学。(3)在数学教学中，注意从准确的数学基础知识和语言出发培养严谨性。这就要求教师备好教材，达到熟练准确，不出毛病。另外要严防忽略公式、法则、定理成立的条件。还要注意逐步养成学生的语言精确习惯。这就要求教师有较高的教学语言素养，使自己的语言精确、简练、规范，对教学术语要求准确、得当。(4)在数学教学中，注意培养全面周密的思维习惯，逐步提高严谨程度。一般数学中所研究的是一类事物
19、所具有的性质或它们元素之间的关系，而不仅仅是个别事物。于是要求教师思考问题全面周密。总之，数学的严谨性与量力性要很好地结合，在教学中要注意教学的“分寸” ，即注意教材的深广度，从严谨着眼，从量力着手；另外，要注意阶段性，使前者为后者作准备，后者成为前者的发展，前后呼应。通过对学生严谨性的培养使学生养成良好的思考习惯。三、解答题14 【正确答案】 证明：函数 f(x)在a ，b连续，(a，b)可微，ba 0，则在a，b连续，(a，b)可微。F ，令 F(x)=0，则 F(x)在(a ，b)存在极值点满足 f(x)x-f(x)=0，即为 x=(a，b)是函数 F(x)的极值点，且。又在(a， b)
20、内，f(a)=f(b)=0 ，且 f(x)0，则 F(a)=F(b)=0，且 F()F(a)=F(b)，所以函数 在 处取得最大值。四、论述题15 【正确答案】 数学学习评价，既要关注学生数学知识与技能的理解和掌握，也要关注学生学习数学的情感与态度：既要关注学生数学学习的结果，更要关注他们在学习数学过程中的变化和发展；另外评价是与教学过程并行的同等重要的过程，评价提供的是学生强有力的信息，教师要及时给予学生指导和反馈，促进学生改进。评价还应体现以人为本的思想，构建个体的发展。具体地说，对学生数学学习过程评价应关注以下几个方面：(1)评价学生在学习过程中表现出来的对数学的认识、数学思想的感受、数
21、学学习态度、动机和兴趣等方面的变化，评价学生在学习过程中的自信心、勤奋、刻苦以及克服困难的毅力等意志品质方面的变化。注重学生数学学习的积极情感和良好学习品质的形成过程。(2)评价学生能否理解并有条理地表达数学内容，是否积极主动地参与数学学习活动，是否愿意和能够与同伴交流、与他人合作探究数学问题。注重学生参与数学学习，和同伴交流、合作的过程。(3)评价学生在学习过程中是否肯于思考、善于思考，能否不断反思自己的数学学习过程，并改进学习方法。注重学生思考方法和思维习惯的养成过程。(4)评价学生从实际情境中抽象出来的数学知识以及应用数学知识解决问题的意识和能力。五、案例分析题16 【正确答案】 (1)
22、三位教师的引入各有特色。教师甲在直线与平面位置关系的数学中，以“在这些相交关系中，你认为哪种相交最特殊?”引出课题，并伴以学生的动手操作、举例、想象和语言叙述。这一设计的特点是：注意知识的系统与联系；强调学生生活经验的作用。这样容易唤起在“直线与平面平行” 的学习中形成的经验，从而明确“研究什么 ”和“怎样研究”，使学习的自觉性得到提高。教师乙利用一张生活图片提出“是否想到在立体几何中的什么与什么的关系” ，由于“诱导”过分明显，学生就不假思索地齐声回答 “线面垂直”。虽然有后面的师生分别举例，但课题引入任务由这一句话已经完成。虽然这一引入有单刀直入、开门见山的特点，但学生对看图片的意图、当前
23、学习内容与已有知识与方法的联系与借鉴等都很难觉察到。另外，“线面垂直” 的说法不好，至少提出得太早。另外，甲、乙两位老师用的“大漠孤烟直” 的情景不能很好地反映当前学习内容的本质，不是一个好情景。教师丙的引导语“ 前面我们研究了直线与平面平行的判定与性质，今天我们要研究直线与平面的其他位置关系”以及图片，目的都是直指“ 要研究直线与平面垂直”。这样引入也稍嫌太快，学生对于“要学什么” 、“为什么要学”和“ 如何学”等的感知都不充分，要学的内容与已有经验的衔接不够自然。(2)良好的开端是成功的一半，课题引入是课堂教学的重要一环。教学设计中，应当重点考虑：如何利用新旧知识的联系与发展，以及学生相关
24、的生活经验，创设问题情境，自然、亲切地引出学习内容；如何在课题引入中融入“学什么、为什么、怎么学”的成分。六、教学设计题17 【正确答案】 一、教学分析1教学目标 (1)知识目标：了解归纳推理的概念，掌握归纳推理的基本方法与步骤，能把它们用于对问题的发现与解决。(2)能力目标：培养学生的观察、类比、猜测、归纳的能力，从而提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。(3)情感目标：体验从特殊到一般的学习规律，培养学生用联系的观点看问题，激发学生的学习兴趣，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。2教学重点、难点 重点是用归纳推理解决一般性问题；难点是学会运用联系的观点看问题，思考并
25、解决问题。二、教学过程设计1课题引入教学内容：问题 1，推理是如何定义的?它包括哪两个部分?问题 2，观察教材上几个推理案例，分析其有何特点?师生互动：师生共同研读问题。(设计意图：为学生学习新知识作准备。)2探究新知教学内容：问题 3，由几个案例，你能给出归纳推理的定义吗?(教师列出几个案例)问题 4，你能总结出归纳推理的一般模式吗?师生互动：学生互相讨论，共同寻求问题的答案并进行交流展示。(设计意图：通过问题的探究，让学生进行有目的地学习与思考。)3互动探究教学内容：问题 5，你能归纳出下列各题的规律，并在小组内进行交流吗?试试看!(教师给出几道例题 )师生互动：生生之间交流与合作学习，教
26、师适当点拨。教师点评，学生思考。(设计意图：培养学生的观察、猜想、归纳能力，并通过点拨突破难点。)4矫正反馈教学内容：考考你对知识的掌握能力。(教师给出几道测验题)师生互动：分组讨论解答，组长公布解题结果，教师及时批改表扬。(设计意图：通过巩固有利于对新知的及时反馈，查漏补缺。)5实际应用教学内容：教师给出练习题，学生练习。师生互动：学生思考探究。(设计意图：梯度性问题的培养使感性认识上升到理性思维。)6归纳小结教学内容：问题，通过本节课的学习：(1)你学到了哪些知识?(2)你最大的体验是什么?(3)你掌握了哪些知识技能?最后老师给出自己的看法，进行评价。师生互动：让学生谈本节课的收获，并进行反思。(设计意图：收获知识并体验情感。)
