1、2016 年上半年中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）真题试卷及答案与解析一、单项选择题1 极限 的值是( )。（A）e（B） 1（C）（D）02 下列级数中，不收敛的是( )。（A）（B）（C）（D）3 方程 2y 2z 21 所确定的二次曲面是 ( )。（A）椭球面（B）旋转双曲面（C）旋转抛物面（D）圆柱面4 若函数 f()在0 ，1上黎曼可积，则 f()在0，1上( )。（A）连续（B）单调（C）可导（D）有界5 矩阵 的特征值的个数为( )。（A）0（B） 1（C） 2（D）36 二次型 2 3yy 2 是( )。（A）正定的（B）负定的（C）不定的（D）以上都不是7
2、普通高中数学课程标准(实验)的课程目标提出培养数学基本能力，对于用几何方法证明“ 直线与平面平行的性质定理 ”的学习有助于培养的数学基本能力有 ( )。（A）推理论证、运算求解、数据处理（B）空间想象、推理论证、抽象概括（C）推理论证、数据处理、空间想象（D）数据处理、空间想象、抽象概括8 创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中，下面的表述中不适合在教学中培养学生创新意识的是( )。（A）发现和提出问题（B）寻求解决问题的不同策略（C）规范数学书写（D）探索结论的新应用二、简答题9 设质点在平面上的运动轨迹为 求质点在时刻 t1 的速度的大小。10 设球面方程为(
3、1) 2(y1) 2(z1) 2169。求它在点(4，5，13)处的切平面方程。11 在体育活动中，甲乙两人掷一枚六面分别标有 1，2，3，4，5，6 的质地均匀的骰子。如果结果为奇数，则甲跑一圈；若结果为 1 或 2，则乙跑一圈，请回答甲跑一圈和乙跑一圈这两个事件是否独立，并说明理由。12 普通高中数学课程标准(实验)描述“ 知识与技能” 领域目标的行为动词有“了解”“理解”“掌握”“运用”，请以“等差数列”概念为例，说明 “理解”的基本含义。13 以“余弦定理 ”教学为例，简述数学定理教学的主要环节。三、解答题14 设 A ，求子空间 A(R3)Aa a R3的一组正交基。四、论述题15
4、“严谨性与量力性相结合” 是数学教学的基本原则。 (1)简述“严谨性与量力性相结合”教学原则的内涵； (2)实数指数幂在数学上如何引入的?(3)在高中“ 实数指数幂”概念的教学中，如何体现“严谨性与量力性相结合” 的教学原则。五、案例分析题15 案例： 在等差数列的习题课教学中，教师布置了这样一个问题：等差数列前 10项和为 100，前 100 项和为 10求前 110 项的和。 两位学生的解法如下： 学生甲：设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则 所以S110110a 1 110。 学生乙：设等差数列a n前 n 项和为SnAn 2Bn，由已知得 解得 A 。 所以S110110 2 11
5、0 针对上述解法，一些学生提出了自己的想法。 学生丙：怎么刚好有 S100S 10S 110 呢?这是一种巧合吗 ?上述所得到的结论中是否隐含着一般性的规律呢? 老师：同学丙所说的规律是否就是： 一般地，在等差数列a n中，若存在正整数 p，q 且 pq，使得 Spq，S qp，则SpS qS p+q。 (*) 请同学们进行验证。 问题：16 请分析学生甲和学生乙解法各自的特点，并解释学生乙设 SnAn 2Bn 的理由。17 请验证(*)中结论是否成立。六、教学设计题18 普通高中数学课程标准(实验)关于“ 古典概型” 的教学要求是：“古典概型的教学应让学生通过实例理解古典概型的特征：实验结果
6、的有限性和每一个实验结果出现的等可能性，让学生初步学会把一些实际问题化为古典概型，教学中不要把重点放在如何计算 上” 。请完成下列任务：(1)结合上述教学要求，请设计高中“ 古典概型”起始课的教学目标；(2)请设计两个符合古典概型的正例，以及两个不符合古典概型的反例，以便理解古典概型的特征；(3)抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面分别有 1、2、3、4、5、6 个点)，请用两种不同解法求出现偶数点的概率，并说明采用两种解法对帮助学生理解古典概型的作用。2016 年上半年中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）真题试卷答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 2 【正确答案
7、】 C【试题解析】 假设调和级数 收敛，记其和为 Sn，即S 。考虑该级数的部分和 则根据数列极限的保号性。有 但是由假设可得0，这与(1)式矛盾，说明假设错误，因此调和级数发散。3 【正确答案】 B【试题解析】 旋转双曲面的一般公式为 1(单叶双曲面)，1(双叶双曲面)。4 【正确答案】 D【试题解析】 根据黎曼可积定义，即黎曼可积必有界。5 【正确答案】 D【试题解析】 由矩阵 A 的特征多项式 EA (1)3884(1)4(1)4( 1) (1) 312(1)16(1) 2(5)， 可得其特征值为1，1，5 共三个。6 【正确答案】 C【试题解析】 由已知得其二次型矩阵一阶顺序主子式为1
8、0，2 阶顺序主子式为A ，故选 C。7 【正确答案】 B【试题解析】 “直线与平面平行的性质定理”的学习过程中对数据处理的能力提升没有很明显的作用，因此选择 B。8 【正确答案】 C【试题解析】 创新意识是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。二、简答题9 【正确答案】 因为 速度大小v ，所以 t1 时速度大小 v1。10 【正确答案】 因为球面方程为(1) 2(y1) 2(z1) 2169，故可设F(，y ，z) (1) 2(y1) 2(z 1) 21
9、69，有 F(，y，z)2(1)，Fy(，y ，z) 2(y1) ，F z(，y，z)2(z1) ，所以 F(4，5，13)2(41)6，F y(4，5，13)2(51)8，F z(4，5，13)2(131)24，所以在点(4，5， 13)处， n(6，8，24) 是法线的一个方向向量。由此可得球面在点(4，5， 13)处的切平面方程为 6(4)8(y5)24(13)0，化简得：3(4)4(y 5)12(13) 0。11 【正确答案】 令甲跑一圈为事件 A，乙跑一圈为事件 B，因为 P(A) ，P(B) ，而事件 A，B 同时发生只有一种情况，即出现点数为 1的情况，P(AB) ，所以 P(A
10、B)P(A)P(B)，所以事件 A 和事件 B 为独立事件。12 【正确答案】 行为动词中的“理解” 就是把握内在逻辑联系，对知识作出解释、扩展、提供证据、判断等。以“等差数列的概念” 为例，教学目标中理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。这些都属于“理解”的目标层次。学生在学习过程中，能够把握等差数列的概念，通过内在逻辑联系以此为前提进行推导，探索并总结等差数列的通项公式，同时能够对日常所见的等差数列问题作出解释、解决相应的问题，并能够拓展到等差数列与一次函数之间的关系。13 【正
11、确答案】 教学过程： (I)创设情境，提出问题 问题：以千岛湖求两岛间的距离引入，已知两岛分别与第三座岛的距离及夹角如何求这两岛间的距离。 老师活动：以上问题能否用正弦定理来解决，请同学们尝试一下，如果解决不了，思考它是已知三角形两边及夹角。求第三边的问题。能否也象正弦定理那样，寻找它们之间的某种定量关系? (2)求异探新，证明定理 问题 1：这是一个已知三角形两边 a和 b 及两边的夹角 C，求出第三边 c 的问题。我们知道已知三角形两边分别为 a和 b，这两边的夹角为 C，角 C 满足什么条件时较易求出第三边 c?(由勾股定理导入) 问题 2：自学提纲 学生活动：小组合作探究，完成填空。证
12、明过程：因为 _(向量的什么法则) a 2_b 2 所以c2a 2b 2_，当 C90时，上式变为_ 。 类似地可以证明b2_，a 2_ 。 老师活动：引导学生从特殊入手，用已有的初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题，从而寻找出这些量之间存在的某种定量关系。得出结论，上式就是余弦定理。师生强调：得出了余弦定理，还应引导学生联想、类比、转化，思考是否还有其他方法证明余弦定理。 问题 3：让学生观察以下各式的结构有什么特征? 能用语言描述吗 ? a2b 2c 22bccosA b2a 2c 22accosB c 2b 2a 22bacosC 师生共同总结：余弦定理的内容是三角形任何一边的平方
13、等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。(3)巩固新知，运用练习 询问学生这节课的收获，能否学以致用。请小组继续自学教材上的两个例题。比一比，赛一赛。看哪一个小组先发现这两个生活实际问题的解决能否用今天学的余弦定理?如何解决? (4)运用定理，解决问题 让学生观察余弦定理及推论的构成形式，思考用余弦定理及推论可以解决那些类型的三角形问题。 定理学习的一般环节： (1)了解定理的内容，能够解决什么问题(创设情境，提出问题中体现)；(2)理解定理的含义，认识定理的条件和结论，如在公式推导过程中对条件引起注意，通过对结论从结构，功能，性质，使用步骤等角度分析以加深印象和理解(求异探
14、新，证明定理中体现)；(3) 定理的证明或推导过程：学生与老师一起研究证明方法，如不需证明，学生根据老师提供的材料体会定理规定的合理性(求异探新，证明定理中体现)；(4)熟悉定理的使用。循序渐进地定理的应用，将定理纳入到已有的知识体系中去(巩固新知，运用练习中体现)；(5)引申和拓展定理的运用(运用定理，解决问题中体现)。三、解答题14 【正确答案】 取 R3 上一组基：e 1(1，0，0)， e2(0，1，0)，e 3(0，0，1) Ae1(1，1，3) 1， Ae 2(1，2，4) 2， Ae 3(0，1，1) 3， 则 A(R3)AaaR 3( 1， 2， 3) 所以 r(1， 2， 3
15、)2， 又因为 1， 2 线性无关，所以 A(R3)( 1， 2) 将 1， 2 进行Smitch 正交化可得 11(1，1，3)， 2 2 所以子空间 A(R3)Aaa R3的一组正交基是 1(1，1，3)， 2。四、论述题15 【正确答案】 (1)数学的严谨性，是指数学具有很强的逻辑性和较高的精确性，即逻辑的严格性和结论的确定性。量力性是指学生的可接受性。这一原则，说明教学中的数学知识的逻辑严谨性与学生的可接受性之间相适应的关系。理论知识的严谨程度要适合学生的一般知识结构与智力发展水平，随着学生知识结构的不断完善，心理发展水平的提高，逐渐增强理论的严谨程度；反过来，又要通过恰当的理论严谨性
16、逐渐促进学牛的接受能力。显然，这一原则是根据数学本身的特点及学生心理发展的特点提出的。但是，在学习过程中，学生的心理发展是逐步形成的，不同的年龄阶段，其感知、记忆、想象、思维、能力等心理因素都有不同的发展水平。这种心理发展的渐变性决定了在教学中不可能对数学理论的研究达到完全严密的程度，而应该在不同的教学阶段，依据不同的教学目的和内容而提出不同的严谨性要求。即数学教学的严谨性是相对的。(2)对于实数指数幂在教学上，首先可以从初中学习的整数指数幂的概念和运算性质出发，比如回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的 n 次方根的定义，从而把指数推广到分数指数，进而推广到有理数指数。再推广到实数指数，并
17、将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂。(3)在高中“实数指数幂”的概念教学中，对严谨性要求，设法安排学生逐步适应的过程与机会，逐步提高其严谨程度，做到立论有据。比如学生初学分数指数幂很不适应，教师可以引导学生研究已学过整数指数幂的概念属性，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质，并学习分数指数幂和根式之间的互化，渗透“转化”的数学思想，最后达到知识点之间的密切联系，达到概念的产生有根有据。五、案例分析题16 【正确答案】 学生甲的解法是先根据已知条件求出等差数列的首项 a1 和公差d，然后根据等差数列的前 n 项和公式求出前 110 项的和；学生乙的解法是根据数列与函数的关系求解，因
18、为等差数列的前 n 项和公式为 Snna 1，可以把前 n 项和 Sn 看成 n 的二次函数，令SnAn 2Bn 的形式。17 【正确答案】 (*)中结论是成立的。 由等差数列的前 n 项和公式可得：由于 pq，联立可解得：d 则 SpS qS p+qa 1(pq) 代入得：SpS qS p+qpqpq 2pq2(pq)dpq 代入可得：S pS qS pq 0 故(*)中结论是成立的。六、教学设计题18 【正确答案】 (1)结合上述教学要求，将“ 古典概型” 起始课的教学目标设计如下：知识与技能：学生能依据古典概型的特征判断古典概型，能够利用概率公式求解一些简单的古典概型的概率。 过程与方法
19、：通过从实际问题中抽象出数学模型的过程，提升从具体到抽象、从特殊到一般的分析问题的能力。 情感态度与价值观：在体会概率意义、数学严密性的同时，通过合作学习交流，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神。 (2)符合古典概型的两个正例为：有红心 1，2，3 和黑桃 4，5 共 5 张扑克牌，将其牌点向下置于桌上，现从 中任意抽取一张；掷两枚硬币，可能出现的结果。 不符合古典概型的两个反例为：射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个，命中 10 环，命中 9 环命中 1 环和命中 0 环(即不命中)；向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆面内任意一点
20、都是等可能的。 解析：古典概型概念：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等。只有同时具有这两个特点的概率模型，称为古典概率概型，简称古典概型。举例子时针对古典概型中的两种特性举出即可。 正例中：是古典概型是因为试验的所有可能结果是 5 个，从中任意抽取张每个结果出现的可能性相等；是古典概型是因为试验的所有可能结果是 3 个，结果的可能性相等。 反例中：中不是古典概型是因为试验的所有可能结果虽然是有限个，而命中 10 环、命中 9环命中 5 环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件；中不是古典概型是因为试验结果是无限个的，不是有限个。 (3)设抛掷一枚质地均匀的骰子，出现偶数点为事件 A。 古典概型的计算公式为 P(A)第一种解法：基本事件为出现点数 1、2、3、4、5、6，而A 包含的基本事件为出现点数 2、4、6。P(A) 第二种解法：对于投掷骰子实验，出现奇数点与偶数点的概率相等，即 P(奇数点) P(偶数点)。由概率的加法公式，得 P(奇数点)P(偶数点)P(必然事件) 1，P(A) 。 采用两种解法对帮助学生理解古典概型的作用在于，既能帮助学生理解古典概型的特点：试验中每个基本事件出现的可能性相等。还能激发学生采用不同方法探究知识，求解答案。两答案的相互对比，也能起到检验的效果。
