1、2017 年下半年中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）真题试卷及答案与解析一、单项选择题1 （A）0（B） 1（C） 2（D）32 当 xx 0，与 xx 0。等价的无穷小是( )（A）sin(xx 0)（B）（C） (xx 0)2（D）ln|xx 0|3 下列四个级数的中发散的是( )4 下列关于椭圆的叙述，正确的是( )（A）平面内两个定点的距离之和等于常数的动点轨迹是椭圆（B）平面内到定点和定直线距离之比小于 1 的动点轨迹是椭圆（C）从椭圆的一个焦点发出的射线，经椭圆反射后通过椭圆的另一个焦点（D）平面与圆柱面的截线是椭圆5 以下多项式是二次型的是( )（A）x 12+x
2、22+2x1x2+x3（B） x12+x22+x32+2x1（C） 2x123x 2x3+x32+1（D）3x 1+2x2x34x 1x36 已知随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，假设随机变量 Y=2X，Y 服从分布是( )（A）N(2，2 2)（B） N(4，4 2)（C） N(2，4 2)（D）N(4， 2)7 “矩形”和“菱形”的概念关系是那个( )（A）同一关系（B）交叉关系（C）属种关系（D）矛盾关系8 下列图形不是中心对称图形的是( )（A）线段（B）正五边形（C）平行四边形（D）椭圆二、简答题8 将平面曲线 y=x2 分别绕 y 轴和 x 轴旋转一周，所得旋转面分别为 S
3、1 和 S29 在空间直角坐标系中，分别写出曲面 S1 和 S2 的方程；10 求平面 y=4 与曲面 S1 所围成的几何体的体积11 据统计，在参加某类职业资格考试的考生中，有 60是本专业考生，有 40是非本专业考生，其中，本专业考生的通过率是 85，非本专业的考生通过率是50某位考生通过了考试，求该考生是本专业考生的概率12 在平面有界区域，连续曲线 C 围成封闭图形，证明：存在实数 使直线 y=x+平分该封闭图形的面积13 给出平行四边形和实数的定义，并说明定义方式14 请用韦达定理简述设置选学内容的意义三、解答题14 线性空间 R3 中，已知向量 =(1，2，1)， =(2，1，4)
4、 ， =(0，3，2)，记V1= |，R， V2=k |kR，令V3=t11+t22|t1，t 2R， 1V1， 2V215 求子空间 V3 的维数；16 求子空间 V3 的一组标准正交基四、论述题16 数学的产生与发展过程蕴含着丰富的数学文化17 以“勾股定理 ”教学为例，说明在数学教学中如何渗透数学文化；18 阐述数学文化对学生数学学习的作用五、案例分析题18 案例：某学校的初二年级数学备课组针对“一次函数” ，拟对“兴趣班”的学生上一次拓展课，经过讨论，拟定了如下教学目标： 进一步理解一次函数解析式y=kx+b(k0)中参数的含义 探索两个一次函数图像的位置关系 【教师甲】先出示问题：一
5、次函数图像是直线，两个一次函数表示的直线平行时，它所对应的一次函数解析式中参数 k 有什么特点呢?然后得出一般结论： 若函数y=k1x+b1(k10)，y=k 2x+b2(k20) 表示的两条直线平行，则有 k1=k2，接着通过具体案例，让学生体会参数 k 的含义 【教师乙】同一坐标系下，作一次函数，体会后的含义画 y=x+1 ， y=x+2；y=1 2x3，y=12x+1 观察每组位置关系，体会 k 的含义 问题：19 对该备课组拟定的教学目标进行评析；20 分析教师甲、乙的教学思路特点六、教学设计题20 在学习了平行四边形、三角形的中位线定理后，某老师设计了一个教学目标进一步理解三角形中位
6、线定理和平行四边形判定定理 运用三角形中位线定理、平行四边形判定定理解决问题提高发现解决问题的能力他的教学过程设计包含以下一道例题：如图 1，在四边形 ABCD 中，EFGH 分别是AB、BC、CD、DA 中点； 问题一：求证四边形EFGH 是平行四边形；问题二：如何改变问题条件，从而分别得到菱形、矩形、正方形针对上述材料，完成下列任务21 结合目标分析该例题设计意图22 类比上述例题问题二设计一个新问题，使之符合教学目标要求23 设计该例题简要教学流程并给出解题的小结提纲2017 年下半年中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）真题试卷答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 D【
7、试题解析】 对矩阵进行初等行变换如下从而可知原矩阵秩为 32 【正确答案】 A【试题解析】 等价无穷小的比值的极限为 1，ln|xx 0|=0，相 P除 B， D 选项； (xx 0)=013 【正确答案】 A【试题解析】 交错级数随着 n 增大|a n|值越来越小且极限为 0，则收敛，所以排除C，D.A 选项中的级数是调和级数，发散4 【正确答案】 C【试题解析】 A 选项，当距离之和等于|F 1F2|时是线段；B 选项，定点和定直线距离之比小于 1 且大于 0 时为椭圆，D 选项，平面与圆柱面的截线还可以是圆和两条平行直线5 【正确答案】 D【试题解析】 二次型需要每一项的次数是 2，不包
8、含一次项和常数项，A 选项包含x3，B 选项包含 2x1，C 选项包含 1所以选择 D6 【正确答案】 C【试题解析】 正态分布的期望是 ，方差是 2，因为 E(Y)=E(2x)=2E(x)=2，D(y)=D(2X)=22D(X)=42，所以 Y 服从 N(2，4 2)分布7 【正确答案】 B【试题解析】 矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形菱形：邻边相等的平行四边形是菱形可以看出“矩形”和“菱形”是交叉关系，交叉点是“正方形”8 【正确答案】 B【试题解析】 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 180，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形A ，C ，D 都是中心
9、对称图形二、简答题9 【正确答案】 在空间直角坐标系中，y=x 2 若绕 x 轴旋转，则 x 不变，将 y 变为，代入可得 S2：x 2= ，同理，S 1：y=x 2+z210 【正确答案】 y= 04( )2dy=04ydy=811 【正确答案】 设 A=通过考试 ，B= 本专业考生 ，则原问题可转化为求条件概率 P(B|A)由题意知 P(B)=06，P( )=04，P(A|B)=085，P(A| )=05，12 【正确答案】 证明：设 y=x+ 与该图形相交，将其面积分别分为 S1，S 2，则S1S 2 是关于 的连续函数，记 F()=S1()S 2()，可知 Fmax=S(S 为封闭曲线
10、的面积)，F min= S根据连续函数介值定理，一定存在实数 ，使 F()=0，即 S1()=S2()，所以存在实数 使 y=x+ 平分 S13 【正确答案】 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形定义方式为属加种差定义其中属概念是四边形，种差是两组对边分别平行实数：有理数和无理数统称为实数定义方式为外延定义14 【正确答案】 对于选修课来说，可以扩宽学生的知识与技能，丰富学生的数学素养以韦达定理为例，韦达定理与一元二次方程根的判别式的关系是密不可分的，而根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理又很好的解释了根与系数的关系，无论方程是否有实数根，根据韦达定理公式都能快速的求
11、出方程两根的关系，因此韦达定理应用广泛，在初等数学、平面几何和解析几何等知识中均有体现三、解答题15 【正确答案】 因为 V3=t11+t22|t1，t 2R， 1V1， 2V2，可以得出所以 1， 2 线性无关，所以dim(V3)=216 【正确答案】 可以知道 1， 2 为 V3 的一组基，所以对 1， 2 正交化，得出1=1=(1，2， 1)， 2 对 1， 2 单位化，则可得 V3 的一组标准正交基是四、论述题17 【正确答案】 在导入部分，通过数学史中毕达哥拉斯在朋友家做客，发现地板中三角形的三边关系这一情境来导入新课，让学生感受数学文化；在新课讲授阶段，通过运用赵爽弦图对勾股定理进
12、行证明，由求边的关系转化到求面积关系，这其中渗透了转化的数学思想，在用面积证明勾股定理的过程中，通过移、补、凑、合，使得面积不变，向学生展示割补原理并渗透数形结合的数学思想；在巩固练习阶段，通过运用勾股定理解决实际问题，培养学生的应用意识；在小结阶段，让学生寻找有关勾股定理的资料，并对相关问题进行探究，进一步培养学生的探究精神18 【正确答案】 数学文化有利于激发学生的学习兴趣数学文化给学生带来的不仅是数学命题、数学方法和数学语言等，还包括数学思想、数学意识等在教学中可以通过数学家的故事让学生感受数学文化的博大精深数学文化有利于培养学生数学思维能力以及创新意识和探索精神，这也符合了新课改的要求
13、数学文化中的历史文化和故事均能激发学生的创新意识和探索精神数学文化有利于发展学生的应用意识数学文化的意义不仅在于知识本身和它的内涵，还在于它的应用价值数学源于生活，因此在实际教学中要有意识的结合学生的知识结构，加强数学与实际生活的联系，增强数学的应用性，将数学知识生活化，让学生体验到数学文化的价值就在于生活中，各个领域中都要用到数学五、案例分析题19 【正确答案】 本次课为拓展课，针对的是兴趣班的学生评析分为以下几点：该备课组所拟定的目标，目标主体正确，行为动词恰当就知识与技能目标而言，进一步理解参数含义，符合拓展课的需求以及兴趣班的学情，而探索两个函数图像的关系体现了本课堂的具体过程；就过程
14、与方法而言，有过程却无明显的方法体现，这一点目标拟定有所不足三维目标还包括情感态度与价值观，尤其是兴趣班学生的拓展课，一定要体现出学生正确积极的情感态度和价值观，而该备课组所拟定的目标在这一点也没有具体体现20 【正确答案】 教师甲先出示了问题，之后给出了平行直线中一次函数解析式中k 值相等的结论这种设计思路是为了让学生直接对问题的结论有一个深刻的印象，产生一定的认知，再举出一些具体的实例，让学生体会参数 k 的含义，这样也是对结论进行了巩固但这样的设计思路也有一些不足，没有考虑到学生的自主性，对学生发现问题的能力培养上是有所缺陷的，启发性有些不足教师乙在授课中并没有直接给出参数 k 的含义，
15、而是在学生动手实践、自主探索与合作交流的基础上得到本节课的知识内容先将学生分组，进一步合作画图归纳总结出答案，使课程内容不仅包括了数学结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的思想方法，体现了学生是学习的主体，有利于学生对于知识的学习和掌握六、教学设计题21 【正确答案】 意图：解决这道题的第一问首先需要学生利用三角形中位线定理得到四边形 EF 伽的对边平行且相等的结论，其次利用平行四边形的判定定理，判定四边形是平行四边形因此在练习过程中可以加深学生对三角形中位线定理和平行四边形判定定理的理解又因为需要同时利用两个定理求解，所以可以提高学生对两者的综合运用能力，顺利达到两个教学目标第一问可以一题多
16、解，可以锻炼学生的思维，还可以加深学生对平行四边形判定定理的应用此外问题二是一道开放性题目，由学生自己设定条件自主解答，因此可以达到第三个教学目标：问题二的解决又需要学生从对角线的角度出发，对平行四边形及特殊的平行四边形的性质和判定有深刻的认识，通过本问题的解决，兼顾到了目标一和二22 【正确答案】 连接 HF、GE 交于一点 O，取 DE、OG、OH、OF 的中点分别为P、M、N 、Q ，连接 PN、 PQ、MN、MQ，改变题干中什么条件四边形 PQMN 会是矩形、菱形、正方形，并说明理由23 【正确答案】 教师呈现图片和问题，学生独立进行思考作答如果学生遇到了一定的难度，可以组织学生小组讨
17、论，共同讨论或者教师通过提问进行启发引导，降低题目难度，对于第一问可以提出问题：追问一：平行四边形的判定定理有哪些?追问二：从题干和图形中，我们可以得到哪些边角相等，哪些平行?对于第二问，可以提出问题，：平行四边形在什么样的情况下可以转变为菱形、矩形?学生进行充分思考，多数学生得出结果之后，指定学生进行回答要求说明结果和做题思路教师及时给予积极有效的反馈点评，针对学生的回答进行总结、强调最后通过黑板呈现答案小结提纲 1：解决有关平行四边形类的题目时，往往先利用其它四边形或三角形的相关几何知识得到相关信息，进而求解因此需要我们从整体上把握几何图形的性质和判定定理，以及其中的内在联系小结提纲 2：平行四边形的判定通常可以从边、角以及边角之间的位置、数量关系来进行判定，特殊的平行四边形如菱形、矩形、正方形具有平行四边形的所有性质，可以分别找出与平行四边形之间的联系与区别小结提纲 3：证明一个四边形是平行四边形，要找这个四边形对边或对角线存在的关系证明一个四边形是矩形、菱形、正方形，可以先从这个图形是平行四边形出发，在平行四边形的基础上，添加适当的边、角、对角线的条件，从而证明得到矩形、菱形、正方形
