1、教师公开招聘考试（小学数学）模拟试卷 31 及答案与解析一、选择题1 已知 M=235，那么 M 全部因数的个数有( ) 。（A）3 个（B） 7 个（C） 8 个（D）无数个2 盒中有 8 个球，上面分别写着 2，3，4，5，7，8，10，12 八个数，甲乙两人玩摸球游戏，下面规则中对双方都公平的是( )。（A）任意摸一球，是质数甲胜，是合数乙胜（B）任意摸一球，是 2 的倍数甲胜，是 3 的倍数乙胜（C）任意摸一球，小于 5 甲胜，大于 5 乙胜（D）任意摸一球，是奇数甲胜，是偶数乙胜3 一个用正方体摆出的立体图形，从正面、从左侧面看到的图形都是 。这个立体图形可能是下面的( )。4 果汁
2、糖每千克 285 元，牛奶糖每千克 465 元，现要求混合后糖的单价为每千克 32 元，则取的果汁糖和牛奶糖的质量比为( )。（A）29：7（B） 7：29（C） 31：19（D）19：315 现在是 3 时整，再经过( )分钟，时针正好与分针重合。6 关于反比例函数 y= ，下列说法不正确的是( ) 。（A）点(-2， -1)在它的图象上（B）它的图象在第一、三象限（C）当 x0 于，y 随 x 增大而增大（D）当 x0 时，y 随 x 增大而减小7 甲和乙入选学校的定点投篮大赛，他们每天训练后投 10 个球测试，记录命中的个数，五天后记录的数据绘制成折线统计图，则下列对甲、乙数据的描述正确
3、的是( )。（A）甲的方差比乙的方差小（B）甲的方差比乙的方差大（C）甲的平均数比乙的平均数小（D）甲的平均数比乙的平均数大8 甲、乙两人以相同路线前往离学校 12 千米的地方参加植树活动，甲、乙两人前往目的地所行驶的路程 S(千米)随时间 t(分)变化的函数图象如图所示，则每分钟乙比甲多行驶的路程是( ) 。（A）05 千米（B） 1 千米（C） 15 千米（D）2 千米9 如图，ABC 的顶点 A、B、C 均在 O 上，若 ABC+AOC=90，则 AOC 的大小是( ) 。（A）30（B） 45（C） 60（D）7010 平面 3x-2y+z+3=0 与平面 x+5y+7z-1=0 的位
4、置关系( )。（A）平行（B）垂直（C）相交且不垂直（D）重合11 如果 ，则 ab 的值是( ) 。（A）2（B） -4（C） 8（D）-1612 行列式 的值为( )。（A）0（B） 1（C） 2（D）313 如果 x0 时， 与 cosx-1 是等价无穷小，则常数 a 的值为( )。（A）-1（B）（C） -2（D）-314 义务教育数学课程标准(2011 年版)中提出数学课程的内容的核心：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、( )、模型思想，以及应用意识和创新意识。（A）操作能力（B）阅读能力（C）表达能力（D）推理能力15 教师应根据评价的目的合理设计试题的类
5、型，为考查学生从具体情境中获取信息的能力，可以设计( ) 的问题。（A）阅读分析（B）探索规律（C）具有实际背景（D）开放性二、填空题16 不等式x+1+ x 2 的解集为_。17 若直线 l1：(a+1)x+a 2y-3=0 与直线 l2：2x+ay-2a-1=0 平行，则 a=_。18 若 (nN*)展开中的第五项为常数，则 n 等于_。19 x，y 满足的约束条件 若目标函数 z=ax+by(a0，b0)的最大值为 10，则 的最小值_。20 xarctanxdx=_。21 关于 x 的方程 2cos2x-sinx+a=0 在区间 上恰好有两个不等实根，则实数a 的取值范围是 _。三、解
6、答题21 已知三棱柱 A2B1C1-ABC 中，A 1B1A1C1，A 1B1=A1C1=1。A 1A=2，D 为 B1C1 中点，A 1 在底面 ABC 上有射影恰为 BC 中点。22 求证：A 1D 上平面 A1BC。23 若二面角 A1-BD-B1 的平面角的余弦值。23 如图已知圆 O，点 P 在圆外，D，E 在圆上，PE 交圆于 C，PD 与圆相切，G 为CE 上一点，且满足 PC=PD。连接 DG 并延长交圆于 A，作弦 ABEP，垂足为F。24 求证：AB 为圆的直径。25 若 AC=BD，AB=5，求弦 DE 的长。25 “星光大道 ”民间歌手选拨现场有数百观众和 5 名参赛选
7、手，5 名参赛选手代号分别为 1 至 5 号。现场观众根据自己的喜好投票，选出最佳歌手，每位观众只能独立在选票上选 3 名歌手，其中观众 A 是 1 号选手的粉丝，必须选 1 号，不选 2 号，另需在 3 至 5 号中随机选 2 名，观众 B，C 没有偏爱，可从 5 名选手中随机选出 3名。26 求 5 号选手被 A 选中，但不被 B 选中概率。27 设 X 表示 5 号选手得到观众 A，B，C 的票数和，求 X 的分布列及数学期望。27 已知函数 f(x)= .ex，直线 y=ex+2-e 为曲线在点(1，f(1)处的切线方程。28 求 a，b 的值。29 证明 f(x)-10。29 已知抛
8、物线 C：y=ax 2(a0)，焦点 F 到直线 L： y=x-2 的距离为 ，设 P为直线 L 上的点，过点 P 作抛物线的两条切线 PA，PB，切点为 A，B。30 求抛物线 C 的方程。31 当点 P 为直线 l 上定点时，且坐标为(x 0，y 0)，求直线 AB 的方程。32 当点 P 在直线 l 上移动时，求AF .BF的最小值。四、分析题33 五年级有 47 名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是 100 分。已知 3名学生的成绩在 60 分以下，其余学生的成绩均在 7595 分之间。问：至少有几名学生的成绩相同?34 把三个数 24，56，104 分别除以正整数 k 时，它
9、们都有相同的余数，试求 k 的最大值。35 在数学活动课上，九年级(1)班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：(1)在大树前的平地上选择一点 A，测得由点 A 看大树顶端 C 的仰角为 35；(2)在点 A 和大树之间选择一点B(A，B，D 在同一直线上)，测得由点 B 看大树顶端 C 的仰角恰好为 45；(3)量出A、B 两点间的距离为 45 米，请你根据以上数据求出大树 CD 的高度。(可能用到的参考数据：sin35057 cos35082 tan35070)35 如图，在 RtABC 中，C=90，AC=6，BC=8，动点 P 由起点 A 沿边 AB
10、向终点 B 运动，每秒 2 个单位，动点 Q 由起点 B 沿边 BC 向终点 C 运动，每秒 1 个单位，P、Q 两点同时由起点开始运动，记运动时间为 t 秒。36 设BPQ 的面积为 S，求 S 的最大值。37 当BPQ 与ABC 相似时，求 t 的值。教师公开招聘考试（小学数学）模拟试卷 31 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 M=30，30 的因数自 1，2，3，5，6，10，15，30，一共 8 个。若某正整数 M 分解质囚数为 M=a1p1a2p2anpn，其中 a1，a 2，a n 均为质数，则其因数的个数为(p 1+1)(p2+1)(pn+1)。题中 2，3，
11、5 都为质因数，故 M 全部因数的个数为(1+1)(1+1)(1+1)=8。2 【正确答案】 A【试题解析】 质数是 2，3，5，7，合数是 4，8，10，12，所以，甲乙胜的概率均是3 【正确答案】 D【试题解析】 从题干分析可知，立体图形底层方块应占据三行和三列，而上层只有一个方块，故选 D。4 【正确答案】 A【试题解析】 设果味糖和牛奶糖的质量比是 x：y，则 285x+465y=32(x+y)，解得 x：y=29：7。5 【正确答案】 C【试题解析】 分针每分钟走 6。，时针每分钟走 05。3 时整，分针“落后”时针90，经过 90(6-05)= 分钟后，时针与分针重合。6 【正确答
12、案】 C【试题解析】 当 x0 时，y 随 x 增大而减小。7 【正确答案】 B【试题解析】 方差的大小反映数据的稳定性，甲的数据稳定性差，因此甲的方差大。通过计算。甲乙的平均数相等。故正确答案为 B。8 【正确答案】 A【试题解析】 据函数图象知：甲用了 24 分钟行驶了 12 千米，乙用(18-6)分钟行驶了 12 千米，甲每分钟行驶 1224=05 千米，乙每分钟行驶 1212=1 千米，所以每分钟乙比甲多行驶 1-05=05 千米。9 【正确答案】 C【试题解析】 ABC 和AOC 是同弧所对的圆周角和圆心角，所以ABC= AOC。又 ABC+AOC=90。解得 AOC=60。10 【
13、正确答案】 B【试题解析】 由已知得平面 3x-2y+z+3=0 的法向量为 n=(3，-2，1)，平面x+5y+7z-1=0 的法向量为 m=(1，5，7)。mn=0，故两个平面相互垂直。11 【正确答案】 D【试题解析】 由已知得 可知 x2+ax+b=(x-2)(x+m)且 x=2 时，有 =2，即 m=4。则 x2+ax+b=x2+2x-8，ab=2(-8)=-16。12 【正确答案】 A【试题解析】 由已知得， (有两行相同的行列式值为 0)。13 【正确答案】 B【试题解析】 由已知得 与 cosx-1 是等价无穷小，故，可得14 【正确答案】 D【试题解析】 义务教育数学课程标准
14、(2011 年版)规定在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。15 【正确答案】 A【试题解析】 义务教育数学课程标准(2011 年版)指出，为考查学生从具体情境中获取信息的能力，可以设计阅读分析的问题；为考查学生的探究能力，可以设计探索规律的问题；为考查学生解决问题的能力，可以设计具有实际背景的问题；为了考查学生的创造能力，可以设计开放性问题。二、填空题16 【正确答案】 【试题解析】 分三类情况：当 x-1 时，原不等式可化为-x-1-
15、x2，即x 当-1x0 时，原不等式可化为 x+1-x2，此时无解；当 x0 时，原不等式可化为 x+1+x2，即 x 。综上，该不等式的解集为17 【正确答案】 a=0【试题解析】 直线 l1直线 l2，则有，解得，a=0。18 【正确答案】 6【试题解析】 二项式 展开通项为 Tr+1=Cnr，第五项为常数，则当 r=4 时， =0，故 n=6。19 【正确答案】 5【试题解析】 可行域如图所示，由此易得，目标函数 z=ax+by(a0，b0)在点A(4，6)处取得最大值，即 4a+66=10。时，取等号，所以 的最小值为 5。20 【正确答案】 【试题解析】 21 【正确答案】 a-2
16、或-2 a1【试题解析】 2cos 2x-sinx+a=0 等价于 2sin2x+sinx-2=a，令 sinx=t，则 a=2t2+t-2，由于 x ，图象如图 2 所示。 当 t 时，有x ，此时 x 与 t 是一一对应的( 如图 1 所示)，在 t= 取得最小值为 ，t0 或 时，a-2 ，由于方程有两个不等实根，故 a( -2)；当 t(0，1)时，有 x ，此时每个 t 对应两个 x(如图 1 所示)，t1 时，a1，故 a(-2，1) ； 当 t=1 时，a=1，此时只有一个实根 x= ，不合题意；当 t= 或 0 时，a=-2，此时x=0， 或 ，方程有三个根，不合题意。综上，a
17、-2 或-2 a1。三、解答题22 【正确答案】 证明：设 BC 的中点为 E，A 1 在底面 ABC 上有射影恰为 BC 中点，AE平面 ABC， A1E平面 A1B1C1， A1EA1D。 A 1B1A1C1，A 1B1=A1C1， A1B1C1 为等腰直角三角形，又 D 为 B1C1 中点， A 1DB1C1，又 BCB1C1， A1DBC。 A1EBC=E， A 1D平面 A1BC。23 【正确答案】 以 E 为原点，AE 所在直线为 x 轴，EB 所在直线为 y 轴，EA 1 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，则 A1设平面 A1BD 的法向量为 m=(x1，y 1，z 1)，平
18、面 B1BD 的法向量为 n=(x2，y 2，z 2)，满足条件： 解得 设二面角 A1-BD-B1 的平面角为 ，cos=-cosm，n= 。24 【正确答案】 PG=PD ，PGD=PDG，又AGF=PGD， PDG=ABD， AGF=ABD，ADB= AFP=90，AB 为圆的直径。25 【正确答案】 连接AE，AC=BD=AE， ，EAD=ADB=90 ，所以弦 DE 为直径，长度为 5。26 【正确答案】 设 M 表示事件“观众 A 选中 5 号选手” ，N 表示事件“ 观众 B 选中5 号选手”则 P(M)= 事件 M 与 N 相互独立，故 5 号选手被 A 选中，但不被 B 选中
19、概率为27 【正确答案】 设 R 表示事件“观众 C 选中 5 号选手 ”，则 P(R)= X 可能的取值为 0，1，2，3，且这些取值的概率为：故 X 的分布列为X 的数学期望28 【正确答案】 函数 f(x)的定义域为(0 ，+)，f(x)=。由题意得，f(1)=2，f(1)=e，故有 a=1，b=2。29 【正确答案】 由(1)可知，f(x)=e xlnx+ ，故 f(x)-10 等价于 xlnxxe -x- 设函数 g(x)=xlnx，则 g(x)=1+lnx，所以当 x(0， )时，g(x)0，此时 g(x)单调递减；当 x( ，+)时，g(x)0，此时 g(x)单调递增，故 g(x
20、)在(0，+) 上有最小值为设函数 h(x)=xe-x- ，则 h(x)=(1-x)e-x，所以当 x(0，1)时，h(x) 0，此时 h(x)单调递增；当 x(1，+) 时，h(x) 0，此时 h(x)单调递减，故 h(x)在(0，+) 上有最大值为 h(1)= 综上，g(x) 的最小值和 h(x)的最大值不是在同一点处取得，故在(0，+)上恒有 g(x)h(x)，即 f(x)-10。30 【正确答案】 d= ，c 0，解得 c=1，所以抛物线 C 的方程为x2=4y。31 【正确答案】 设 P(x0，x 0-2)，设切点为(x， )，曲线 C：y= 则切线的斜率为 ，化简得 x2-2x0.
21、x+4x0-8=0， 设 A(x1， )，B(x 2， )，则 x1，x 2 是上述方程的两根，x 1+x2=2x0，x 1x2=4x0-8，k AB= ，直线 AB 的方程为 (x-x1)。即 y= x-x0+2。32 【正确答案】 由抛物线第二定义，AF= AF.BF=(x12+x22)+1=2x02-6x0+9 当 x0= 时，取得最小值为四、分析题33 【正确答案】 除 3 名成绩在 60 分以下的学生外，其余成绩均在 7595 分之间，7595 共有 21 个不同的数将这 21 个数作为 21 个抽屉，把 47-3=44 个学生作为物品。4421=22根据抽屉原理，至少有 1 个抽屉
22、至少有 3 件物品，即 47 名学生中至少有 3 名学生成绩是相同的。34 【正确答案】 当几个数被同一个数除同余时，它们两两的差的最大公因数就是这个数的最大值，56-24=32；104-56=48；104-24=8032，48，80 的最大公因数为 16，故 k=16。35 【正确答案】 由题意可知：CDAD 于 D，CBD=45，A=35，AB=45m 。设 CD=x，在 RtCDB 中，CDB=90，CBD=45，CD=BD=x。在 RtCDA中， CDA=90A=35，AB=45，AD=AB+BD， 45+x= 。解得：x=10 5，大树 CD 高 105 米。36 【正确答案】 作 QD 垂直于 BP 交 BP 于 D， 解得QD= ，因为 AP=-2t，AB=10，所以 BP=-10-2t；S= t2由此可得，面积 S 是关于 t 的二次函数，当 t= 时，S 取得最大值，最大值为37 【正确答案】 BPQABC，分两种情况：若 BPQ=90，则若BQP=90，则
